Lühendatud korrutamise valemid (LKV) on valmis algebralised samasused, mis võimaldavad sulge avada ja avaldisi teguriteks lahutada ilma pika korrutamiseta. Sellel lehel on tabel kõigi seitsme valemiga: summa ja vahe ruut, ruutude vahe, summa ja vahe kuup, kuupide summa ja vahe. Iga valemit selgitame koos tuletuskäigu ja näidetega ning lõpus on interaktiivne treeningülesanne, kus saad kohe harjutada LKV rakendamist.
Mis on lühendatud korrutamise valemid
Lühendatud korrutamise valemid on samasused, mis tekivad, kui korrutada polünoomid üks kord hoolikalt läbi ja jätta tulemus meelde. Edaspidi pole vaja iga kord sulge avada: piisab, kui tunned ära „mustri“ ja asendad oma arvud või tähed.
- klassi algebra koolikursuses töötavad LKV-d kahes suunas:
- vasakult paremale — et kiiresti sulge avada ja avaldis ruutu või kuupi tõsta;
- paremalt vasakule — et polünoom teguriteks lahutada (seda on vaja murdude taandamiseks ja võrrandite lahendamiseks).
Kokku õpitakse seitse valemit. Allpool on tabel-meelespea ja seejärel iga valemi eraldi selgitus.
Lühendatud korrutamise valemite tabel
Kõiki seitset lühendatud korrutamise valemit on mugav hoida silme ees ühes tabelis. Tähed \(a\) ja \(b\) on siin mis tahes avaldised: arv, muutuja või terve monoom nagu \(2x\).
| Valem | Kirje |
|---|---|
| Summa ruut | (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 |
| Vahe ruut | (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 |
| Ruutude vahe | a2 − b2 = (a − b)(a + b) |
| Summa kuup | (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 |
| Vahe kuup | (a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3 |
| Kuupide summa | a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2) |
| Kuupide vahe | a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2) |
Summa ruut ja vahe ruut
Summa ruut tekib, kui korrutada \((a+b)\) iseendaga:
Sõnadega: summa ruut võrdub esimese avaldise ruuduga pluss kahekordne esimese ja teise avaldise korrutis pluss teise avaldise ruut. Täpselt samamoodi tuletatakse vahe ruut — keskmise liikme märk muutub miinuseks:
Peamine on mitte kaotada keskmist liiget \(2ab\): just selle tõttu \((a+b)^2 \neq a^2 + b^2\). Summa ruudu ja vahe ruudu puhul erineb ainult märk \(2ab\) ees, aga äärmised liikmed \(a^2\) ja \(b^2\) on alati plussmärgiga.
Näide. \((x+3)^2 = x^2 + 2\cdot x\cdot 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9.\)
Summa ruudul on selge geomeetriline tähendus: see on suure ruudu pindala küljega \((a+b)\).
Ruutude vahe
Kui korrutada samade avaldiste summa ja vahe, siis keskmised liikmed taanduvad:
Saame ruutude vahe valemi: \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). See on kõige kasulikum LKV teguriteks lahutamiseks: niipea kui näed kahe ruudu vahet, lahuta see kohe korrutiseks.
Näide (sulgude avamine). \((x-7)(x+7) = x^2 - 49.\)
Näide (teguriteks lahutamine). \(x^2 - 16 = x^2 - 4^2 = (x-4)(x+4).\)
Oluline: ruutude summa \(a^2 + b^2\) selle valemi järgi teguriteks ei lahutu — töötab ainult vahe.
Summa kuup, vahe kuup, kuupide summa ja vahe
Summa kuup ja vahe kuup sisaldavad juba nelja liiget:
Vahe kuubi puhul märgid vahelduvad: \(+\,-\,+\,-\). Ja jälle sage lõks: \((a+b)^3 \neq a^3 + b^3\) — astendajat ei saa lihtsalt „laiali jagada“, keskmisi liikmeid \(3a^2b\) ja \(3ab^2\) ei tohi kaotada.
Näide. \((x+2)^3 = x^3 + 3x^2\cdot 2 + 3x\cdot 2^2 + 2^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8.\)
Eraldi seisavad kuupide summa ja vahe — need vastupidi lahutavad avaldise teguriteks:
Teist tegurit nimetatakse summa või vahe mittetäielikuks ruuduks. Märk selle keskmises liikmes on alati vastupidine esimese sulu märgile: kuupide summa puhul \(-ab\), kuupide vahe puhul \(+ab\).
Näide. \(x^3 - 8 = x^3 - 2^3 = (x-2)(x^2 + 2x + 4).\)
Lühendatud korrutamise valemite rakendamise näited
Näide 1. Ava sulud: summa ruut
Ülesanne. Tõsta ruutu \((2x+5)^2\).
1. samm. Tuvastame summa ruudu valemi: \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\), kus \(a = 2x\), \(b = 5\).
2. samm. Arvutame iga liikme:
- \(a^2 = (2x)^2 = 4x^2\);
- \(2ab = 2\cdot 2x\cdot 5 = 20x\);
- \(b^2 = 5^2 = 25\).
Vastus. \((2x+5)^2 = 4x^2 + 20x + 25.\)
Näide 2. Koonda ruutude vahe valemisse
Ülesanne. Leia korrutis \((3x-4)(3x+4)\).
1. samm. Meil on ees samade avaldiste vahe ja summa korrutis — see on ruutude vahe \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\), kus \(a = 3x\), \(b = 4\).
2. samm. Tõstame iga avaldise ruutu: \(a^2 = (3x)^2 = 9x^2\), \(b^2 = 4^2 = 16\).
Vastus. \((3x-4)(3x+4) = 9x^2 - 16.\)
Näide 3. Lahuta teguriteks
Ülesanne. Lahuta teguriteks \(x^2 - 36\) ja \(x^3 + 27\).
Ruutude vahe. \(x^2 - 36 = x^2 - 6^2 = (x-6)(x+6).\)
Kuupide summa. Märkame, et \(27 = 3^3\), seega \(x^3 + 27 = x^3 + 3^3\). Rakendame valemit \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\), kus \(a = x\), \(b = 3\):
Pööra tähelepanu \(-3x\) märgile mittetäielikus ruudus — kuupide summa puhul on keskmine liige miinusmärgiga.
Näide 4. Summa kuup
Ülesanne. Ava sulud \((x+2)^3\).
1. samm. Summa kuubi valem: \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\), kus \(a = x\), \(b = 2\).
2. samm. Arvutame liikmed järjekorras:
- \(a^3 = x^3\);
- \(3a^2b = 3\cdot x^2\cdot 2 = 6x^2\);
- \(3ab^2 = 3\cdot x\cdot 2^2 = 12x\);
- \(b^3 = 2^3 = 8\).
Vastus. \((x+2)^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8.\)
Sagedased vead LKV-ga töötamisel
-
Unustatakse kahekordne korrutis: kirjutatakse $(a+b)^2 = a^2 + b^2$.
Summa ja vahe ruudus on alati keskmine liige \(2ab\): \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\). Seda on lihtne kontrollida — ava \((a+b)(a+b)\) tulbas ja keskmine liige tekib ise.
-
Aetakse segamini märgid vahe ruudus ja ruutude vahes.
Vahe ruudus on miinus ainult keskmisel liikmel: \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) (äärmised on plussiga). Aga ruutude vahes on miinus ruutude endi vahel: \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). Need on erinevad valemid.
-
„Jagatakse laiali“ kuubi aste: $(a+b)^3 = a^3 + b^3$.
Nii ei tohi teha. Summa kuup sisaldab nelja liiget: \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\). Valem \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\) on hoopis midagi muud (kuupide summa), see on teguriteks lahutamise kohta.
-
Mittetäielikus ruudus pannakse kuupide summa/vahe puhul kahekordne korrutis $2ab$.
Mittetäielik ruut on \(a^2 \pm ab + b^2\), ilma kaheta \(ab\) ees. Märk on vastupidine esimese sulu märgile: kuupide summa \((a+b)(a^2 - ab + b^2)\), kuupide vahe \((a-b)(a^2 + ab + b^2)\).
-
Püütakse lahutada ruutude summat $a^2 + b^2$ teguriteks.
Teguriteks lahutub ainult ruutude vahe \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). Ruutude summa \(a^2 + b^2\) koolikursuses teguriteks ei lahutu.
Küsimused ja vastused
Mitu lühendatud korrutamise valemit on kokku?
Seitse: summa ruut, vahe ruut, ruutude vahe, summa kuup, vahe kuup, kuupide summa ja kuupide vahe. Kõik need on koondatud ülaltoodud tabelisse.
Millega võrdub summa ruut?
Esimese avaldise ruuduga pluss kahekordne esimese ja teise avaldise korrutis pluss teise avaldise ruut: \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\). Vahe ruudu puhul on keskmine liige miinusmärgiga: \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).
Kuidas lahutada ruutude vahet teguriteks?
Valemi \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\) järgi. Näiteks \(x^2 - 25 = x^2 - 5^2 = (x-5)(x+5)\). Piisab, kui näed, et mõlemad liidetavad on täisruudud ja nende vahel on miinus.
Miks $(a+b)^2$ ei võrdu $a^2 + b^2$?
Sest \((a+b)(a+b)\) korrutamisel tekib veel kaks võrdset liiget \(ab\), mis annavad keskmise liikme \(2ab\). Seda ei tohi kaotada: õige on \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).
Mille poolest erineb summa kuup kuupide summast?
Summa kuup \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\) on sulgude avamine. Kuupide summa \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\) on vastupidi, avaldise teguriteks lahutamine. Need on erinevad valemid, ära aja neid segamini.
Mis klassis õpitakse lühendatud korrutamise valemeid?
Tavaliselt 7. klassis algebra tundides: alguses summa ja vahe ruut, ruutude vahe, seejärel kuupide valemid. Neid kasutatakse aktiivselt edaspidi avaldiste lihtsustamisel, murdude taandamisel ja võrrandite lahendamisel.
