Ratsionaalne võrratus on võrratus kujul \(\frac{P(x)}{Q(x)} > 0\), kus \(P(x)\) ja \(Q(x)\) on polünoomid ning \(>\) märgi asemel võib olla \(<\), \(\ge\) või \(\le\). Selliseid võrratusi lahendatakse intervallimeetodil: kõik viiakse vasakule poolele, lahutatakse teguriteks, märgitakse arvteljel lugeja nullkohad ja nimetaja nullkohad ning paigutatakse märgid. Allpool on definitsioon, täielik algoritm, tühjade punktide reegel, juurte kordsus, lahendatud näited ja harjutaja koos kontrolliga.
Mis on ratsionaalne võrratus
Ratsionaalne võrratus on võrratus, mille mõlemad pooled on esitatud ratsionaalavaldistena, st polünoomidena ja polünoomidest koosnevatest murdudena. Pärast kõike ühele poole viimist taandub see alati kujule
kus \(P(x)\) ja \(Q(x)\) on polünoomid ning \(\vee\) asemel on üks märkidest \(<\), \(>\), \(\le\), \(\ge\). Paremal pool peab olema null – see on tingimus, ilma milleta intervallimeetod ei tööta.
Ratsionaalsed võrratused jagunevad kahte liiki. Kui muutuja esineb ainult lugejas, nimetatakse võrratust täisratsionaalseks: pole millega jagada ja sobivad kõik \(x\) väärtused. Kui muutuja on nimetajas, on võrratus murruliseks ratsionaalseks (seda nimetatakse ka murdvõrratuseks või võrratuseks murruga) – ja siis tekib kohe piirang \(Q(x) \neq 0\).
Miks ei tohi võrratuse mõlemat poolt nimetajaga korrutada
Suurim kiusatus murrulise võrratuse lahendamisel on „vabaneda nimetajast“, korrutades sellega mõlemat poolt. Võrranditega võib nii teha, võrratustega – ei. Põhjus on lihtne: negatiivse arvuga korrutades pöördub võrratuse märk, aga avaldise \(Q(x)\) märk on ette teadmata – see sõltub \(x\)-st.
Vaatame võrratust \(\frac{5}{x-3} < 1\). Korrutame mõlemat poolt \(x - 3\) ga, nagu oleks see positiivne arv: saame \(5 < x - 3\), ehk \(x > 8\). Kontrollime vastust, asetades \(x = 0\): \(\frac{5}{0-3} = -\frac{5}{3} < 1\) – võrratus on tõene, seega ka null on lahend, aga vastusesse \(x > 8\) ta ei mahtunud. Vastus on kadunud.
Õige tee on viia kõik vasakule ja taandada üheks murruks:
Viimasel sammul korrutasime mõlemat poolt \(-1\) ga ja pöörasime märgi – see on lubatud, sest \(-1\) on alati negatiivne. Edasi töötab intervallimeetod ja vastus tuleb \(x \in (-\infty; 3) \cup (8; +\infty)\) – selles on ka kadunud null.
Lihtsaim meeldejätmine: avaldisega muutujaid sisaldava avaldisega ei tohi korrutada, liidetavaid võib alati üle tuua. Ületoomine võrratuse märki ei muuda.
Intervallimeetod: lahendusalgoritm samm-sammult
Intervallimeetod tugineb ühele omadusele: kahe järjestikuse nullkoha vahel on ratsionaalavaldisel püsiv märk. Seega piisab kõigi punktide leidmisest, kus lugeja või nimetaja nulliks läheb, nende abil arvtelje jaotamisest ning märgi määramisest igal lõigul – ühe proovipunkti või juurte kordsuse abil.
Tühjad ja täidetud punktid: ODZ ja võrratuse märk
Ühe sulu viga muudab õige lahenduse valeks vastuseks, seega tasub punktide reegel eraldi selgeks õppida. Kehtivad täpselt kaks põhimõtet.
Esimene – lubatud väärtuste hulk (ODZ). Nimetaja nullkoht tühjendatakse alati, ükskõik millise võrratuse märgiga. Selles punktis murd lihtsalt ei eksisteeri: nulliga jagamine pole lubatud, seega arv ei saa olla lahend, isegi kui märk pole rangelt.
Teine – rangelt või mittetüüpiline märk. Lugeja nullkohad muudavad murru nulliks. Mittetüüpilisel märgil (\(\le\) või \(\ge\)) sobib nulliga võrdsustamine, seega punkt täidetakse ja kuulub vastusesse kandilise suluga. Rangelt märgil (\(<\) või \(>\) ) null ei sobi ja punkt tühjendatakse.
Näiteks võrratusel \(\frac{x-6}{x+1} \le 0\) punkt \(x = 6\) täidetakse (lugeja nullkoht, mittetüüpiline märk), aga punkt \(x = -1\) tühjendatakse (nimetaja nullkoht). Vastus: \(x \in (-1; 6]\).
| Mis tüüpi punkt | Kuidas märkida |
|---|---|
| Nimetaja nullkoht, Q(x) = 0 | tühi alati, ükskõik millise märgiga – punkt ei kuulu ODZ-i |
| Lugeja nullkoht, rangelt märk < või > | tühi murd on null, aga vajalik on rangelt teine märk |
| Lugeja nullkoht, mittetüüpiline märk ≤ või ≥ | täidetud võrdsus nulliga sobib, punkt kuulub vastusesse |
Juure kordsus: kus märk muutub ja kus mitte
Vahemike märgid ei pruugi lihtsalt vahelduda – see on teema kõige sagedasem eksiarvamus. Vaheldumine töötab ainult siis, kui kõik sulud on esimeses astmes. Reegel on täpsemalt sõnastatud juure kordsuse kaudu – vastava sulu astme näitaja.
Üle paaritu kordsusega juure (aste 1, 3, 5) liikumisel avaldise märk muutub. Üle paaris kordsusega juure (aste 2, 4) liikumisel märk ei muutu: paaris astmes olev sulg on mitte-negatiivne ja ei riku avaldise märki. Kordsust loetakse ühtemoodi nii lugeja kui ka nimetaja jaoks.
Võtame \((x-9)^2(x+3) > 0\). Juured: \(x = 9\) kordsusega 2 ja \(x = -3\) kordsusega 1. Üheksast paremal pool on avaldis positiivne. Liikudes üle 9 – kordsus on paaris, märk säilib, vahemikul \((-3; 9)\) on samuti pluss. Liikudes üle \(-3\) – kordsus on paaritu, märk muutub miinuseks. Rangelt võrratuse vastus: \(x \in (-3; 9) \cup (9; +\infty)\), punkt 9 on tühi, sest seal on avaldis null, aga mittetüüpilisel \((x-9)^2(x+3) \ge 0\) vastus on juba teine: \(x \in [-3; +\infty)\) – üheksa täidetakse ja „liimib“ kaks vahemikku üheks.
| Juure kordsus | Märk üleminekul |
|---|---|
| Paaritu: (x − a), (x − a)3 | muutub |
| Paaris: (x − a)2, (x − a)4 | ei muutu |
Arvtelje märgid näite abil: paigutame märgid
Paneme kõik kokku võrratuse \(\frac{x+7}{(x-2)(x-5)} < 0\) näitel. Lugeja nullkohad: \(x = -7\). Nimetaja nullkohad: \(x = 2\) ja \(x = 5\), need on ka ODZ. Kõik kolm sulgu on esimeses astmes, seega märgid vahelduvad. Proovipunkt \(x = 10\) kõige parempoolsemas vahemikus annab \(\frac{17}{8 \cdot 5} > 0\) – alustame plussist ja liigume vasakule, muutes märki igas punktis.
Ratsionaalsete võrratuste lahendamise näited
Näide 1. Lihtne murdvõrratus
Lahendada \(\frac{x-3}{x+5} \ge 0\).
Samm 1. Paremal on juba null, murd on juba üks – pole vaja üle tuua ega taandada.
Samm 2. ODZ. \(x + 5 \neq 0\), ehk \(x \neq -5\).
Samm 3. Nullkohad. Lugeja on nulliks, kui \(x = 3\), nimetaja – kui \(x = -5\).
Samm 4. Punktid teljel. \(x = 3\) täidetakse (lugeja nullkoht, mittetüüpiline märk), \(x = -5\) tühjendatakse (nimetaja nullkoht).
Samm 5. Märgid. Proovipunkt \(x = 4\): \(\frac{1}{9} > 0\) – paremal pluss. Mõlemad sulud on esimeses astmes, seega märgid vahelduvad: vahemikul \((-5; 3)\) miinus, vahemikul \((-\infty; -5)\) pluss. Kontrollime: \(x = -6\) korral saame \(\frac{-9}{-1} = 9 > 0\) – klapib.
Samm 6. Vastus. Vajalik on märk „pluss või null“: \(x \in (-\infty; -5) \cup [3; +\infty)\).
Näide 2. Paremal pole null – toome üle
Lahendada \(\frac{2x+1}{x-4} \le 1\).
Samm 1. Toome üheksa vasakule. Korrutada \(x - 4\) ga ei tohi, selle avaldise märki ei teata:
Samm 2. Taandame üheks murruks.
Samm 3. ODZ. \(x \neq 4\).
Samm 4. Punktid. \(x = -5\) – lugeja nullkoht, mittetüüpiline märk, täidetakse. \(x = 4\) – nimetaja nullkoht, tühjendatakse.
Samm 5. Märgid. Kui \(x = 5\), murru väärtus on \(\frac{10}{1} > 0\). Seega vahemikul \((4; +\infty)\) on pluss, vahemikul \((-5; 4)\) miinus, vahemikul \((-\infty; -5)\) pluss.
Samm 6. Vastus. \(x \in [-5; 4)\). Piiripunktide kontroll: \(x = -5\) korral on murru väärtus null – sobib \(\le\) jaoks; \(x = 4\) korral murdu pole – ei sobi.
Näide 3. Paaris kordsusega juur ja isoleeritud punkt
Lahendada \(\frac{(x-2)^2(x+6)}{x-9} \ge 0\).
Samm 1. ODZ. \(x \neq 9\).
Samm 2. Nullkohad ja kordsused. \(x = 2\) – kordsus 2 (paaris), \(x = -6\) – kordsus 1, \(x = 9\) – kordsus 1 nimetajas.
Samm 3. Punktid. \(x = 2\) ja \(x = -6\) täidetakse (lugeja nullkohad mittetüüpilisel märgil), \(x = 9\) tühjendatakse.
Samm 4. Märgid. Proovipunkt \(x = 10\): lugeja on positiivne, nimetaja on 1 – pluss. Liigume vasakule. Üle 9 (paaritu kordsus) märk muutub: vahemikul \((2; 9)\) miinus. Üle 2 ( paaris kordsus) märk ei muutu: vahemikul \((-6; 2)\) samuti miinus. Üle \(-6\) (paaritu kordsus) märk muutub: vahemikul \((-\infty; -6)\) pluss.
Samm 5. Vastus. Võtame „pluss“ vahemikud pluss kõik punktid, kus avaldis on null. Punkt \(x = 2\) asub miinusvahemiku sees, aga avaldis ise on seal null, seega kuulub ta vastusesse eraldi:
Selline „üksik“ punkt vastuses on paaris kordsusega juure õige tunnus mittetüüpilisel märgil.
Näide 4. Murru lihtsustamine: ODZ lõks
Lahendada \(\frac{25x^2-10x+1}{5x^2+9x-2} \le 0\).
Samm 1. Lahutame teguriteks. Lugeja on täisruut: \(25x^2-10x+1 = (5x-1)^2\). Nimetaja diskriminandi leiame: \(D = 81 + 40 = 121\), juured \(x_1 = \frac{1}{5}\) ja \(x_2 = -2\), seega \(5x^2+9x-2 = (5x-1)(x+2)\).
Samm 2. ODZ – enne igasugust lihtsustamist. \(5x - 1 \neq 0\) ja \(x + 2 \neq 0\), ehk \(x \neq \frac{1}{5}\) ja \(x \neq -2\).
Samm 3. Lihtsustame. \(\frac{(5x-1)^2}{(5x-1)(x+2)} = \frac{5x-1}{x+2}\), aga ainult juhul kui \(x \neq \frac{1}{5}\) – lihtsustamine ei too tühjendatud punkti tagasi.
Samm 4. Lahendame \(\frac{5x-1}{x+2} \le 0\). Nullkohad: \(\frac{1}{5}\) ja \(-2\). Kui \(x = 1\), murru väärtus on \(\frac{4}{3} > 0\). Seega vahemikul \((\frac{1}{5}; +\infty)\) on pluss, vahemikul \((-2; \frac{1}{5})\) miinus, vahemikul \((-\infty; -2)\) pluss.
Samm 5. Taastame ODZ. Vahemik \((-2; \frac{1}{5}]\) sobiks märgilt, aga punkt \(\frac{1}{5}\) on tühi: algses võrratuses läheb nimetaja \(5x^2+9x-2\) punktis \(x = \frac{1}{5}\) nulliks, murdu seal lihtsalt pole.
Vastus: \(x \in \left(-2; \frac{1}{5}\right)\) – mõlemad sulud on ümarad.
Näide 5. Ruutkolmliige lugejas
Lahendada \(\frac{x^2-7x+10}{x+4} < 0\).
Samm 1. Lahutame lugeja teguriteks. Viete teoreemi järgi on juurte summa 7, korrutis 10, seega \(x^2-7x+10 = (x-2)(x-5)\). Võrratus omandab kuju \(\frac{(x-2)(x-5)}{x+4} < 0\).
Samm 2. ODZ. \(x \neq -4\).
Samm 3. Punktid. Kõik kolm punkti on tühjad: \(-4\) – nimetaja nullkoht, \(2\) ja \(5\) – lugeja nullkohad rangelt märgi korral.
Samm 4. Märgid. Proovipunkt \(x = 6\): \(\frac{4 \cdot 1}{10} > 0\). Kõik sulud on esimeses astmes, seega märgid vahelduvad: vahemikul \((5; +\infty)\) pluss, vahemikul \((2; 5)\) miinus, vahemikul \((-4; 2)\) pluss, vahemikul \((-\infty; -4)\) miinus.
Samm 5. Vastus. Vajalik on rangelt miinus: \(x \in (-\infty; -4) \cup (2; 5)\). Kontroll sisestamisega: \(x = -5\) korral saame \(\frac{70}{-1} < 0\), \(x = 3\) korral saame \(\frac{-2}{7} < 0\) – mõlemad vahemikud sobivad.
Ratsionaalsete võrratuste sagedased vead
-
Korrutatakse mõlemat poolt nimetajaga: $\frac{3}{x-8} > 1$ muudetakse $3 > x - 8$ ja kirjutatakse $x < 11$.
Avaldise \(x - 8\) märki ei teata ette, aga negatiivsega korrutades pöördub võrratus. Kontroll: \(x = 0\) annab \(\frac{3}{-8} < 1\) – null pole lahend, kuigi sattus vastusesse \(x < 11\). Õige: \(\frac{3-(x-8)}{x-8} > 0\), ehk \(\frac{11-x}{x-8} > 0\), millest \(x \in (8; 11)\).
-
Täidetakse nimetaja nullkoht, sest märk on mittetüüpiline: $\frac{x-1}{x-7} \ge 0$ korral kirjutatakse vastusesse seitsme juurde kandiline sulg.
Nimetaja nullkoht tühjendatakse alati, ükskõik millise märgiga: selles punktis murdu lihtsalt ei eksisteeri. Õige vastus: \(x \in (-\infty; 1] \cup (7; +\infty)\) – ühe juures on kandiline sulg, seitsme juures ümar.
-
Lihtsustatakse murdu ja kaotatakse ODZ: $\frac{(x+3)^2}{(x+3)(x-5)} \le 0$ korral saadakse $\frac{x+3}{x-5} \le 0$ ja vastusesse lisatakse punkt $x = -3$.
ODZ kirjutatakse välja enne lihtsustamist, algse nimetaja järgi: \(x \neq -3\) ja \(x \neq 5\). Lihtsustatud murd \(\frac{x+3}{x-5}\) on mitte-positiivne vahemikul \([-3; 5)\) – kui \(x = 0\), on selle väärtus \(-0{,}6\), mis vastab nõutud märgile \(\le\). Aga punkt \(-3\) on ODZ järgi tühi, seega vastus on \((-3; 5)\), mitte \([-3; 5)\).
-
Arvatakse, et vahemike märgid vahelduvad alati ja $\frac{(x-1)^2}{x+4} > 0$ korral pannakse ühest paremal pool miinus.
Vaheldumine on õige ainult esimeses astmes olevate sulgude korral. Juurel \(x = 1\) on kordsus 2, seega märk selle ületamisel ei muutu. Avaldis on positiivne kogu vahemikul \((-4; +\infty)\), välja arvatud ise üks, kus see on null. Vastus: \(x \in (-4; 1) \cup (1; +\infty)\).
-
Muudetakse võrratuse märki liidetava ületoomisel: $\frac{x}{x-2} \le 3$ korral tehakse $\frac{x}{x-2} - 3 \ge 0$.
Liidetava ühest osast teise ületoomine ei muuda võrratuse märki – muutub ainult liidetava enda märk. Märk pöördub ainult siis, kui mõlemat poolt korrutatakse või jagatakse negatiivse arvuga. Õige: \(\frac{x}{x-2} - 3 \le 0\), edasi \(\frac{x-3(x-2)}{x-2} \le 0\), ehk \(\frac{6-2x}{x-2} \le 0\).
-
Märgitakse teljele ainult lugeja nullkohad, nimetajat kontrollitakse „hiljem“: $\frac{x+11}{x^2-16} > 0$ korral pannakse üks punkt $-11$.
Teljele märgitakse kõik nullkohad korraga – nii lugeja kui ka nimetaja omad, muidu jäävad vahemikud valeks. Siin \(x^2-16 = (x-4)(x+4)\), seega punkte on kolm: \(-11\), \(-4\) ja \(4\), mitte üks. Kõik on tühjad (rangelt märk), vastus: \(x \in (-11; -4) \cup (4; +\infty)\).
Küsimused ja vastused
Mis on ratsionaalne võrratus?
See on võrratus, mille mõlemad pooled on ratsionaalavaldised (polünoomid ja polünoomidest koosnevad murrud). Pärast kõike vasakule poolele viimist taandub see kujule \(\frac{P(x)}{Q(x)} > 0\), kus \(P(x)\) ja \(Q(x)\) on polünoomid ning \(>\) asemel võib olla \(<\), \(\le\) või \(\ge\).
Kuidas lahendada ratsionaalseid võrratusi?
Intervallimeetodil kuue sammuga: viige kõik vasakule, et paremal jääks null; taandage üheks murruks ja lahutage lugeja ja nimetaja teguriteks; kirjutage välja ODZ (\(Q(x) \neq 0\)); märkige arvteljele lugeja ja nimetaja nullkohad; paigutage vahemikele märgid proovipunkti ja juurte kordsuse abil; kirjutage vastuseks vajaliku märgiga vahemikud.
Mille poolest erineb murruliseks ratsionaalne võrratus täisratsionaalsest?
Täisratsionaalsel võrratusel on muutuja ainult lugejas, näiteks \((x-1)(x+4) > 0\), ja ODZ – kõik reaalarvud. Murruliseks ratsionaalsel võrratusel on muutuja nimetajas, näiteks \(\frac{x-1}{x+4} > 0\), ja tekib piirang \(x \neq -4\). Algoritm on seejuures üks ja sama – muutuvad ainult tühjad punktid.
Kuidas lahendada võrratusi murruga?
Nagu iga ratsionaalset: kõigepealt viige kõik vasakule ja taandage üheks murruks, mitte ärge vabanegage nimetajast. Näiteks \(\frac{x}{x+2} \ge 1\) muutub kujuks \(\frac{x-(x+2)}{x+2} \ge 0\), ehk \(\frac{-2}{x+2} \ge 0\). Lugeja on konstantne ja negatiivne, seega murd on mitte-negatiivne ainult negatiivse nimetaja korral: \(x + 2 < 0\). Vastus: \(x \in (-\infty; -2)\).
Miks ei tohi võrratuse mõlemat poolt nimetajaga korrutada?
Sest nimetaja märk sõltub \(x\)-st: positiivse avaldisega korrutades võrratuse märk säilib, aga negatiivsega korrutades – pöördub. Ette teadmata, kumb juhtum ees seisab, seetõttu osa lahendeid kaob ja osa lisandub valesti. Liidetavaid võib alati üle tuua – ületoomine võrratuse märki ei muuda.
Kuidas leida ODZ võrratuses?
Ratsionaalse võrratuse jaoks on ODZ kõik need \(x\) väärtused, mille korral nimetaja ei lähe nulliks. Pange nimetaja võrduma nulliga, lahendage võrrand ja välistage leitud arvud. ODZ tuleb kirjutada välja algse nimetaja järgi, enne murru lihtsustamist – muidu kaovad tühjad punktid.
Millised punktid on tühjad, millised täidetud?
Nimetaja nullkohad tühjendatakse alati, ükskõik millise võrratuse märgiga. Lugeja nullkohad täidetakse mittetüüpilisel märgil (\(\le\) või \(\ge\)) ja tühjendatakse rangelt märgil (\(<\) või \(>\)). Vastuse kirjutamisel vastab tühjale punktile ümar sulg, täidetud punktile – kandiline.
Mis on juure kordsus ja milleks seda intervallimeetodis vaja on?
Kordsus on aste, milles sulg sisaldub teguriteks lahutamisel. Paaritu kordsusega juure ületamisel avaldise märk muutub, paaris kordsusega juure ületamisel – säilib. Just seepärast märgid mitte alati lihtsalt ei vaheldu: \((x-9)^2(x+3)\) korral punktis 9 märk jääb samaks.
Mis klassis õpetatakse ratsionaalseid võrratusi?
- klassis algebra tundides, pärast ruutvõrratusi ja polünoomide teguriteks lahutamist. Intervallimeetodit kasutatakse edasi eksponent-, logaritm- ja irratsionaalsete võrratuste jaoks, samuti OGE ja profiileksami EGÉ ülesannetes.
