Kümnendmurd on arv, mille täis- ja murdosa on eraldatud komaga: 3,25 või 0,7. Kõik tehted kümnendmurdudega – liitmine, lahutamine, korrutamine ja jagamine – sooritatakse peaaegu samamoodi nagu naturaalarvudega; peamine on jälgida koma asukohta. Sellele lehele on koondatud kõik reeglid koos kirjalike näidetega, koma nihutamise spikker, levinumate vigade analüüs ja interaktiivne harjutusvahend enesekontrolliks.
Kümnendmurru järgud
Igal numbril pärast koma on oma nimetus ja kaal:
- esimene järk – kümnendikud (0,1);
- teine – sajandikud (0,01);
- kolmas – tuhandikud (0,001) ja nii edasi.
Oluline omadus: kui murdosa lõppu lisada nulle, siis arvu väärtus ei muutu: 5,7 = 5,70 = 5,700. Seda omadust kasutame pidevalt – see võimaldab liitmisel, lahutamisel ja võrdlemisel võrdsustada komakohtade arvu.
Kõik tehted kümnendmurdudega: lühike spikker
Igal tehtel on oma peamine reegel koma kohta. Neli allolevat kaarti on teema tuum, edasi on iga tehe üksikasjalikult lahti seletatud koos näidetega.
Kümnendmurdude kirjalik liitmine ja lahutamine
Liitmine ja lahutamine toimuvad sama reegli järgi:
- Kirjutame arvud kohakuti nii, et koma oleks täpselt koma all – siis satuvad samad järgud üksteise alla: kümnendikud kümnendike alla, sajandikud sajandike alla.
- Kui komakohtade arv on erinev, võrdsustame selle nullide lisamisega.
- Liidame või lahutame, komadele tähelepanu pööramata, nagu naturaalarve.
- Vastusesse paneme koma lähtearvude komade alla.
Täisarvu saab samuti kirjutada kümnendmurruna: 6 = 6,00 – see aitab näidetes nagu 6 − 2,35.
Kümnendmurdude korrutamise reegel
Korrutamine on ainus tehe, kus komasid ei pea joondama. Kümnendmurdude korrutamise reegel koosneb kahest sammust:
- Korrutame arvud, komadele tähelepanu pööramata, – nagu tavalisi naturaalarve.
- Tulemuses eraldame komaga paremalt nii mitu numbrit, kui on komakohti mõlemas teguris kokku.
Kui korrutises on vähem numbreid, kui on vaja eraldada, lisame vasakule nulle: 12 × 3 = 36, aga 0,12 × 0,3 jaoks on vaja eraldada kolm kohta, seega on vastus 0,036.
Kiire enesekontroll: kui korrutada arvuga, mis on väiksem kui üks, peab tulemus olema väiksem kui esimene tegur. Kui tuli suurem, on koma vales kohas.
Kümnendmurdude jagamine
Siin on kaks juhtu.
Jagamine naturaalarvuga. Jagame kirjalikult nagu tavaliselt, ja koma paneme jagatisesse sel hetkel, kui jagatava täisosa jagamine on lõppenud: 8,46 : 2 = 4,23.
Jagamine kümnendmurruga. Kõigepealt vabaneme komast jagajas: nihutame koma nii jagatavas kui ka jagajas paremale sama arvu kohtade võrra – ehk korrutame mõlemad arvud 10, 100 või 1000-ga. Jagatis sellest ei muutu ja jagamine taandub esimesele juhule.
Korrutamine ja jagamine 10, 100, 1000-ga
Kõige kiiremad tehted kümnendmurdudega on korrutamine ja jagamine järguühikutega. Kirjalikku arvutamist pole vaja: piisab koma nihutamisest nii mitme koha võrra, kui on nulle arvus 10, 100 või 1000. Kui numbreid ei jätku, lisame nulle.
Kümnendmurdude võrdlemine
Kümnendmurde võrreldakse järkude kaupa:
- Kõigepealt täisosi: kummal arvul on täisosa suurem, see arv ongi suurem.
- Kui täisosad on võrdsed, võrdleme kümnendikke, seejärel sajandikke, siis tuhandikke, kuni leiame erinevuse.
- Segaduse vältimiseks võrdsusta komakohtade arv nullidega: arve 5,7 ja 5,68 on lihtsam võrrelda kujul 5,70 ja 5,68 – seitsekümmend sajandikku on suurem kui kuuskümmend kaheksa, seega 5,7 > 5,68.
Arvu pikkus ei ütle midagi: 0,5 on suurem kui 0,4999, kuigi selles on vähem numbreid.
Tehted kümnendmurdudega: lahendustega näited
Näide 1. Liitmine: 5,3 + 2,47
Samm 1. Võrdsustame komakohtade arvu: 5,3 = 5,30.
Samm 2. Kirjutame arvud kohakuti, koma koma all.
Samm 3. Liidame nagu naturaalarve: 530 + 247 = 777.
Samm 4. Paneme koma liidetavate komade alla: 7,77.
Näide 2. Lahutamine täisarvust: 6 − 2,35
Samm 1. Esitame arvu 6 kümnendmurruna: 6 = 6,00.
Samm 2. Kirjutame arvud kohakuti: 6,00 − 2,35.
Samm 3. Lahutame, laenates kõrgematest järkudest: 3,65.
Kontroll. 3,65 + 2,35 = 6 – klapib.
Näide 3. Korrutamine: 2,5 × 0,04
Samm 1. Korrutame komasid arvestamata: 25 × 4 = 100.
Samm 2. Loeme komakohad kokku: üks arvus 2,5 ja kaks arvus 0,04 – kokku kolm.
Samm 3. Eraldame paremalt kolm kohta: 0,100.
Samm 4. Jätame murdosa lõpust nullid ära: 0,1.
Suurusjärgu kontroll. 0,04 on väiksem kui üks, seega peab vastus olema väiksem kui 2,5 – õige.
Näide 4. Jagamine kümnendmurruga: 1,44 : 1,2
Samm 1. Teeme jagaja täisarvuks: nihutame koma mõlemas arvus ühe koha võrra paremale – saame 14,4 : 12.
Samm 2. Jagame kirjalikult täisosa: 14 : 12 = 1, jääk 2.
Samm 3. Täisosa jagamine on lõppenud – paneme jagatisesse koma ja toome alla 4: 24 : 12 = 2.
Vastus: 1,2. Kontroll: 1,2 × 1,2 = 1,44.
Levinumad vead tehetes kümnendmurdudega
-
Liitmisel ja lahutamisel joondatakse arvud parema serva järgi nagu täisarvud: 3,25 + 4,8 kirjutatakse kohakuti koma arvestamata ja saadakse 3,73.
Joondage koma järgi, mitte viimase numbri järgi: 4,8 = 4,80, ja siis 3,25 + 4,80 = 8,05. Kümnendikud peavad olema kümnendike all, sajandikud sajandike all.
-
Korrutamisel püütakse komasid joondada või pannakse koma korrutisesse tegurite komade alla.
Korrutamisel komasid üldse ei joondata. Korrutage nagu täisarve ja eraldage paremalt nii mitu komakohta, kui neid on mõlemas teguris kokku.
-
Kui korrutises on vähem numbreid, kui on vaja eraldada, kaotatakse nullid ära: 0,12 × 0,3 = 0,36 asemel 0,036.
12 × 3 = 36 – see on ainult kaks numbrit, aga eraldada on vaja kolm. Lisage puuduvad nullid vasakule: 0,036.
-
Kümnendmurruga jagamisel nihutatakse koma ainult jagajas: 4,2 : 0,7 muudetakse 4,2 : 7-ks ja saadakse 0,6.
Koma nihutatakse mõlemas arvus sama arvu kohtade võrra: 4,2 : 0,7 = 42 : 7 = 6. Vastasel juhul väheneb jagatis 10 korda.
-
Murde võrreldakse numbrite arvu järgi: arvatakse, et 5,68 on suurem kui 5,7, sest see on pikemalt kirjutatud.
Võrdsustage komakohtade arv nullidega ja võrrelge järkude kaupa: 5,70 ja 5,68 – kümnendike kohal 7 > 6, seega 5,7 > 5,68.
-
Korrutamisel ja jagamisel 10, 100, 1000-ga nihutatakse koma vales suunas.
Korrutamine suurendab arvu – koma liigub paremale: 3,74 × 10 = 37,4. Jagamine vähendab – vasakule: 3,74 : 10 = 0,374. Kohtade arv võrdub nullide arvuga.
Küsimused ja vastused
Milliseid tehteid kümnendmurdudega õpitakse 5. klassis?
- klassis õpitakse kõiki nelja tehet – kümnendmurdude liitmist, lahutamist, korrutamist ja jagamist, samuti nende võrdlemist ja ümardamist. Tavaliselt õpitakse kõigepealt kirjalikku liitmist ja lahutamist, seejärel korrutamist ja jagamist naturaalarvuga ning lõpuks jagamist kümnendmurruga.
Kas kümnendmurru väärtus muutub, kui selle lõppu nulle lisada?
Ei: 5,7 = 5,70 = 5,700 – see on üks ja sama arv. Nullide lisamist kasutatakse komakohtade arvu võrdsustamiseks liitmisel, lahutamisel ja võrdlemisel. Kuid nulli lisamine numbrite vahele või arvu keskelt nulli eemaldamine muudab arvu väärtust.
Kuidas kümnendmurdu ümardada?
Leidke järk, milleni on vaja ümardada, ja vaadake sellest järgmist numbrit: kui see on väiksem kui 5, siis ümardatav number ei muutu (3,748 ≈ 3,7), kui see on 5 või suurem, siis ümardatavat numbrit suurendatakse ühe võrra (2,85 ≈ 2,9). Kõik paremal pool asuvad numbrid jäetakse ära.
Kuidas teisendada harilik murd kümnendmurruks?
Jagage lugeja nimetajaga: 3/4 = 3 : 4 = 0,75. Mitte iga harilik murd ei anna lõplikku kümnendmurdu: näiteks 1/3 = 0,333… – see on lõpmatu perioodiline kümnendmurd. Lõpliku kümnendmurru saab siis, kui nimetaja algteguriteks on ainult 2 ja 5.
Millises järjekorras sooritada tehteid avaldistes kümnendmurdudega?
Järjekord on sama, mis naturaalarvude puhul: kõigepealt tehted sulgudes, seejärel korrutamine ja jagamine vasakult paremale, siis liitmine ja lahutamine vasakult paremale. Arvude esitamine kümnendmurruna ei mõjuta tehete järjekorda.
Kas saab jagada väiksemat kümnendmurdu suuremaga?
Jah. Kui jagatav on jagajast väiksem, on jagatis lihtsalt väiksem kui üks: 0,3 : 0,6 = 3 : 6 = 0,5. Jagatise täisossa kirjutatakse sel juhul 0 ja jagamist jätkatakse pärast koma.
