Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma \(ax^2 + bx + c = 0\), donde \(a \neq 0\). El número de sus raíces lo determina el discriminante \(D = b^2 - 4ac\), y las raíces se calculan mediante la fórmula \(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\). En esta página encontrarás todo sobre el tema: forma estándar y coeficientes, tres tipos de ecuaciones incompletas, el discriminante y sus tres casos, la fórmula general y su variante «par», la ecuación reducida y el teorema de Viète, factorización y ecuaciones bicuadradas, con ejemplos paso a paso, análisis de errores comunes y un simulador interactivo.
Qué es una ecuación cuadrática
Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma
Donde \(x\) es la incógnita, y \(a\), \(b\), \(c\) son números (coeficientes), con \(a \neq 0\). Esta escritura se llama forma estándar de la ecuación cuadrática: a la izquierda los términos van en orden descendente de grado, y a la derecha hay un cero.
La condición \(a \neq 0\) no es una formalidad. Es el término \(ax^2\) lo que hace que la ecuación sea cuadrática: si \(a = 0\), queda \(bx + c = 0\), es decir, una ecuación lineal común con una sola raíz. Por eso, en problemas con parámetros, lo primero que se comprueba es si el coeficiente principal se anula.
Casi siempre se puede llevar una ecuación a su forma estándar: expandiendo paréntesis, moviendo todos los términos a la izquierda y simplificando términos semejantes. Por ejemplo, \(5x^2 = 3x - 2\) se convierte en \(5x^2 - 3x + 2 = 0\) tras mover los términos, donde \(a = 5\), \(b = -3\), \(c = 2\). El término «ecuación de segundo grado» significa exactamente lo mismo; es solo otro nombre.
Ecuaciones cuadráticas completas e incompletas
Si los tres coeficientes son distintos de cero, la ecuación se llama completa. Si \(b\) o \(c\) (o ambos) son iguales a cero, es incompleta. Existen exactamente tres tipos de ecuaciones incompletas, y ninguna requiere el uso del discriminante: cada una se resuelve en una o dos líneas, siendo la forma más rápida de ahorrar tiempo en un examen.
La idea clave para \(ax^2 + bx = 0\) es extraer el factor común. El producto \(x(ax + b)\) es igual a cero si y solo si al menos uno de los factores es cero, lo que nos da dos raíces inmediatamente. Para \(ax^2 + c = 0\), la idea es distinta: despejar \(x^2\) y observar el signo del número resultante, ya que el cuadrado de un número real nunca es negativo.
| Tipo de ecuación | Cómo resolver |
|---|---|
| ax2 + c = 02x2 − 50 = 0 | Mover c a la derecha y dividir por a: x2 = −c/a. Extraer la raíz, sin olvidar el segundo signo.x = 5 y x = −5 |
| ax2 + bx = 0x2 + 7x = 0 | Extraer x como factor común: x(ax + b) = 0. El producto es cero cuando uno de los factores es cero.x = 0 y x = −7 |
| ax2 = 09x2 = 0 | Dividir por a y extraer la raíz de cero. La raíz es siempre única.x = 0 |
Discriminante: cómo hallarlo y cuántas raíces habrá
El discriminante es un número que se calcula a partir de los coeficientes de una ecuación completa:
La palabra misma significa «distinguidor»: el discriminante no resuelve la ecuación por sí mismo, solo distingue tres situaciones: dos raíces, una raíz o ninguna raíz real. Por lo tanto, la pregunta «cuántas raíces tiene la ecuación» se resuelve sin necesidad de hallar las raíces.
Calcular \(D\) requiere cuidado: \(b^2\) siempre es positivo, incluso si \(b\) es negativo, y los signos de \(a\) y \(c\) se incluyen en el producto \(4ac\) tal cual. Tomemos \(x^2 + 4x - 5 = 0\): aquí \(a = 1\), \(b = 4\), \(c = -5\), por lo que \(D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36\). El discriminante es positivo, por lo que habrá dos raíces.
Fórmula de las raíces de la ecuación cuadrática
Cuando \(D \ge 0\), las raíces se encuentran mediante la fórmula principal del tema:
El signo \(\pm\) implica dos cálculos: uno sumando y otro restando. Cuando \(D = 0\), ambos cálculos dan el mismo número \(x = -\dfrac{b}{2a}\); esta raíz se llama raíz doble.
Dos lugares donde se cometen errores frecuentes: en el numerador hay un menos \(b\) (para \(b = -7\) esto es \(+7\)), y en el denominador hay \(2a\), no solo \(2\). Cuando \(a = 1\) la diferencia no se nota, por lo que el error aparece precisamente cuando el coeficiente principal es distinto de uno.
Resolvamos \(2x^2 - 9x - 5 = 0\): \(D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 81 + 40 = 121\), \(\sqrt{D} = 11\), por lo tanto \(x_1 = \dfrac{9 + 11}{4} = 5\) y \(x_2 = \dfrac{9 - 11}{4} = -0{,}5\).
Segundo coeficiente par: fórmula con D₁
Si \(b\) es un número par, es conveniente escribirlo como \(b = 2k\) y calcular el discriminante «reducido»:
Los números en los cálculos se vuelven cuatro veces menores (\(D = 4D_1\)), y el signo de \(D_1\) es el mismo que el de \(D\), por lo que la conclusión sobre el número de raíces no cambia.
Ejemplo: \(3x^2 + 8x - 3 = 0\). Aquí \(b = 8\), es decir, \(k = 4\), y \(D_1 = 4^2 - 3 \cdot (-3) = 16 + 9 = 25\), \(\sqrt{D_1} = 5\). Entonces \(x_1 = \dfrac{-4 + 5}{3} = \dfrac{1}{3}\) y \(x_2 = \dfrac{-4 - 5}{3} = -3\). Con la fórmula normal habríamos trabajado con \(D = 100\); el resultado es el mismo, pero con más aritmética.
Ecuación reducida y teorema de Viète
Una ecuación con \(a = 1\) se llama reducida y se escribe como \(x^2 + px + q = 0\). Cualquier ecuación cuadrática se puede llevar a esta forma dividiendo por \(a\): por ejemplo, \(4x^2 - 12x + 8 = 0\) tras dividir por 4 se convierte en \(x^2 - 3x + 2 = 0\).
La forma reducida es valiosa porque para ella funciona el teorema de Viète: la suma de las raíces es igual a \(-p\), y el producto es igual a \(q\). Para \(x^2 - 7x + 10 = 0\) necesitamos dos números cuya suma sea 7 y cuyo producto sea 10: son 2 y 5, y no hubo necesidad de calcular el discriminante.
La búsqueda por Viète ayuda cuando las raíces son enteras y pequeñas, y además sirve para verificar gratuitamente la respuesta hallada mediante el discriminante: la suma debe dar \(-p\) y el producto \(q\). Las fórmulas para la forma general, el teorema recíproco y el algoritmo de búsqueda se explican en un material aparte: teorema de Viète.
Factorización del trinomio cuadrático
Si se hallan las raíces \(x_1\) y \(x_2\), el trinomio cuadrático se factoriza como:
No se debe olvidar el factor \(a\); sin él, la igualdad deja de ser cierta. Verificar la factorización siempre es fácil: expandir los paréntesis y comparar con el trinomio original. Por ejemplo, en \(x^2 + 2x - 8\) las raíces son 2 y \(-4\), por lo que \(x^2 + 2x - 8 = (x - 2)(x + 4)\).
También funciona el camino inverso: si el trinomio se puede factorizar mentalmente, las raíces se ven de inmediato y el discriminante no es necesario. Aquí ayudan las fórmulas de productos notables; por ejemplo, \(x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)\) da las raíces \(4\) y \(-4\) al instante.
Un tercer método para prescindir de la fórmula general es completar el cuadrado. En \(x^2 + 6x + 5 = 0\), los dos primeros términos se completan para formar un cuadrado de suma: \((x + 3)^2 - 9 + 5 = 0\), es decir, \((x + 3)^2 = 4\), de donde \(x + 3 = \pm 2\) y \(x = -1\) o \(x = -5\). Precisamente con este método se deduce la fórmula general de las raíces.
Ecuaciones reducibles a cuadráticas: bicuadradas
Una ecuación bicuadrada tiene la forma \(ax^4 + bx^2 + c = 0\): solo hay potencias pares. Se resuelve mediante la sustitución \(t = x^2\), obligatoriamente con la condición \(t \ge 0\), ya que el cuadrado de un número real no puede ser negativo.
Tras la sustitución, se obtiene una ecuación cuadrática común \(at^2 + bt + c = 0\). Se resuelve con el discriminante y luego, para cada raíz no negativa \(t\), se vuelve a \(x = \pm\sqrt{t}\). De ahí el número de raíces: hasta cuatro.
Por ejemplo, \(x^4 - 5x^2 + 4 = 0\) tras la sustitución da \(t^2 - 5t + 4 = 0\) con raíces \(t = 1\) y \(t = 4\). Ambas son positivas, por lo que \(x = \pm 1\) y \(x = \pm 2\); un total de cuatro raíces. Si una de las \(t\) hubiera sido negativa, simplemente se habría descartado.
Con el mismo método se resuelven ecuaciones fraccionarias racionales (tras reducir a común denominador y descartar valores prohibidos) y ecuaciones con sustituciones del tipo \(t = x^2 + 3x\).
Ejemplos de resolución de ecuaciones cuadráticas
Ejemplo 1. Ecuación completa, D > 0
Resolver \(3x^2 - 7x + 2 = 0\).
Paso 1. La ecuación ya está en forma estándar: \(a = 3\), \(b = -7\), \(c = 2\).
Paso 2. \(D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25 > 0\) — hay dos raíces.
Paso 3. \(\sqrt{D} = 5\), por lo tanto \(x_{1,2} = \dfrac{7 \pm 5}{6}\): \(x_1 = \dfrac{12}{6} = 2\), \(x_2 = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}\).
Paso 4. Verificación por sustitución. \(3 \cdot 2^2 - 7 \cdot 2 + 2 = 12 - 14 + 2 = 0\); \(3 \cdot \left(\tfrac{1}{3}\right)^2 - 7 \cdot \tfrac{1}{3} + 2 = \tfrac{1}{3} - \tfrac{7}{3} + 2 = 0\).
Respuesta: \(x_1 = 2\), \(x_2 = \dfrac{1}{3}\).
Ejemplo 2. Discriminante igual a cero
Resolver \(4x^2 - 12x + 9 = 0\).
Paso 1. \(a = 4\), \(b = -12\), \(c = 9\).
Paso 2. \(D = (-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 144 - 144 = 0\) — hay una raíz.
Paso 3. \(x = -\dfrac{b}{2a} = \dfrac{12}{8} = 1{,}5\).
Paso 4. Verificación. \(4 \cdot 1{,}5^2 - 12 \cdot 1{,}5 + 9 = 9 - 18 + 9 = 0\).
Respuesta: \(x = 1{,}5\). Nota: la parte izquierda es un cuadrado perfecto \((2x - 3)^2\), por eso la raíz es única.
Ejemplo 3. Discriminante negativo
Resolver \(2x^2 + 3x + 5 = 0\).
Paso 1. \(a = 2\), \(b = 3\), \(c = 5\).
Paso 2. \(D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 9 - 40 = -31 < 0\).
Paso 3. El discriminante es negativo, lo que significa que no se puede extraer \(\sqrt{D}\) entre los números reales. No es necesario aplicar la fórmula de las raíces; la resolución termina aquí.
Respuesta: no hay raíces reales. Esta es una respuesta completa, no un signo de error: la gráfica de la función \(y = 2x^2 + 3x + 5\) simplemente no cruza el eje \(x\).
Ejemplo 4. Ecuación incompleta de tipo ax² + c = 0
Resolver \(3x^2 - 27 = 0\).
Paso 1. Movemos el término independiente: \(3x^2 = 27\).
Paso 2. Dividimos por 3: \(x^2 = 9\).
Paso 3. El cuadrado es 9 para dos números: \(x = 3\) y \(x = -3\). El segundo signo es lo que más se olvida.
Paso 4. Verificación. \(3 \cdot 3^2 - 27 = 0\); \(3 \cdot (-3)^2 - 27 = 27 - 27 = 0\).
Respuesta: \(x_1 = 3\), \(x_2 = -3\). Compara con la ecuación \(2x^2 + 8 = 0\): allí \(x^2 = -4\), y no hay raíces reales.
Ejemplo 5. Ecuación incompleta de tipo ax² + bx = 0
Resolver \(5x^2 - 15x = 0\).
Paso 1. Extraemos el factor común: \(5x(x - 3) = 0\).
Paso 2. El producto es cero cuando uno de los factores es cero: \(5x = 0\) o \(x - 3 = 0\).
Paso 3. De aquí \(x_1 = 0\), \(x_2 = 3\).
Paso 4. Verificación. \(5 \cdot 0^2 - 15 \cdot 0 = 0\); \(5 \cdot 3^2 - 15 \cdot 3 = 45 - 45 = 0\).
Respuesta: \(x_1 = 0\), \(x_2 = 3\). Si simplificas la ecuación original dividiendo por \(x\), solo quedará \(x = 3\); la raíz \(x = 0\) se perderá. No se puede dividir por una expresión con incógnita.
Ejemplo 6. Segundo coeficiente par
Resolver \(5x^2 - 22x + 8 = 0\).
Paso 1. \(b = -22\) es par, por lo tanto \(k = -11\), \(a = 5\), \(c = 8\).
Paso 2. \(D_1 = k^2 - ac = (-11)^2 - 5 \cdot 8 = 121 - 40 = 81\), \(\sqrt{D_1} = 9\).
Paso 3. \(x_{1,2} = \dfrac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a} = \dfrac{11 \pm 9}{5}\): \(x_1 = 4\), \(x_2 = \dfrac{2}{5} = 0{,}4\).
Paso 4. Verificación. \(5 \cdot 4^2 - 22 \cdot 4 + 8 = 80 - 88 + 8 = 0\); \(5 \cdot 0{,}4^2 - 22 \cdot 0{,}4 + 8 = 0{,}8 - 8{,}8 + 8 = 0\).
Respuesta: \(x_1 = 4\), \(x_2 = 0{,}4\). El discriminante normal habría dado \(D = 324\); la respuesta es la misma, pero habrías tardado más en calcular.
Ejemplo 7. Primero llevar a la forma estándar
Resolver \((x - 3)(x + 5) = 9\).
Paso 1. Expandimos los paréntesis: \(x^2 + 5x - 3x - 15 = 9\), es decir, \(x^2 + 2x - 15 = 9\).
Paso 2. Movemos el nueve a la izquierda: \(x^2 + 2x - 24 = 0\). Solo ahora podemos identificar los coeficientes: \(a = 1\), \(b = 2\), \(c = -24\).
Paso 3. \(D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100\), \(\sqrt{D} = 10\), \(x_{1,2} = \dfrac{-2 \pm 10}{2}\): \(x_1 = 4\), \(x_2 = -6\).
Paso 4. Verificación en la ecuación original. \((4 - 3)(4 + 5) = 1 \cdot 9 = 9\); \((-6 - 3)(-6 + 5) = (-9) \cdot (-1) = 9\).
Respuesta: \(x_1 = 4\), \(x_2 = -6\). Un error común aquí es igualar cada paréntesis a 9: la regla «el producto es cero» solo funciona para el cero.
Ejemplo 8. Factorización del trinomio
Factorizar \(2x^2 - 5x - 3\) en factores.
Paso 1. Igualamos el trinomio a cero y hallamos las raíces: \(D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49\), \(\sqrt{D} = 7\), \(x_{1,2} = \dfrac{5 \pm 7}{4}\): \(x_1 = 3\), \(x_2 = -\dfrac{1}{2}\).
Paso 2. Sustituimos en la fórmula \(a(x - x_1)(x - x_2)\): \(2(x - 3)\left(x + \tfrac{1}{2}\right)\).
Paso 3. Es conveniente introducir el dos en el segundo paréntesis: \((x - 3)(2x + 1)\).
Paso 4. Verificación expandiendo. \((x - 3)(2x + 1) = 2x^2 + x - 6x - 3 = 2x^2 - 5x - 3\).
Respuesta: \(2x^2 - 5x - 3 = (x - 3)(2x + 1)\).
Ejemplo 9. Ecuación bicuadrada
Resolver \(x^4 - 13x^2 + 36 = 0\).
Paso 1. Sustitución \(t = x^2\), donde \(t \ge 0\). La ecuación se convierte en \(t^2 - 13t + 36 = 0\).
Paso 2. \(D = (-13)^2 - 4 \cdot 36 = 169 - 144 = 25\), \(\sqrt{D} = 5\), \(t_{1,2} = \dfrac{13 \pm 5}{2}\): \(t_1 = 9\), \(t_2 = 4\).
Paso 3. Ambos valores son no negativos, por lo que volvemos a \(x\): de \(x^2 = 9\) obtenemos \(x = \pm 3\), de \(x^2 = 4\) — \(x = \pm 2\).
Paso 4. Verificación. \(3^4 - 13 \cdot 3^2 + 36 = 81 - 117 + 36 = 0\); \(2^4 - 13 \cdot 2^2 + 36 = 16 - 52 + 36 = 0\). Para valores negativos, las potencias pares dan los mismos números.
Respuesta: \(x = \pm 2\) y \(x = \pm 3\) — cuatro raíces.
Errores comunes al resolver ecuaciones cuadráticas
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Calcular el discriminante sin llevar la ecuación a la forma estándar: para $2x^2 + 3x = x^2 + 5$ toman directamente $a = 2$, $b = 3$, $c = 0$.
Primero movemos todo a la izquierda y simplificamos: \(2x^2 + 3x - x^2 - 5 = 0\), es decir, \(x^2 + 3x - 5 = 0\). Solo de aquí \(a = 1\), \(b = 3\), \(c = -5\). La fórmula general solo funciona con la forma estándar.
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Perder el signo al elevar $b$ al cuadrado: para $x^2 - 9x + 14 = 0$ escriben $D = -81 - 56$.
El cuadrado de cualquier número es no negativo: \((-9)^2 = 81\), no \(-81\). Lo correcto es \(D = 81 - 56 = 25\), raíces \(x = \dfrac{9 \pm 5}{2}\), es decir, 7 y 2. Verificación: \(49 - 63 + 14 = 0\) y \(4 - 18 + 14 = 0\).
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En el numerador dejan $b$ en lugar de $-b$: para $x^2 + 5x - 6 = 0$ calculan $x = \dfrac{5 \pm 7}{2}$.
En la fórmula hay un \(-b\), por lo que para \(b = 5\) en el numerador habrá \(-5\): \(x = \dfrac{-5 \pm 7}{2}\), de donde \(x_1 = 1\), \(x_2 = -6\). La sustitución lo confirma: \(1 + 5 - 6 = 0\) y \(36 - 30 - 6 = 0\).
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Cuando $D = 0$ escriben «no hay raíces»: en $x^2 + 14x + 49 = 0$ el discriminante es cero y abandonan la resolución.
No hay raíces solo cuando \(D < 0\). Cuando \(D = 0\) hay una sola raíz: \(x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{14}{2} = -7\). Verificación: \(49 - 98 + 49 = 0\).
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Simplificar la ecuación $4x^2 - 9x = 0$ dividiendo por $x$ y obtener la única raíz $x = 2{,}25$.
No se puede dividir por una expresión con incógnita: \(x\) puede ser cero, y la raíz \(x = 0\) se pierde. Lo correcto es extraer el factor común: \(x(4x - 9) = 0\), de donde \(x_1 = 0\) y \(x_2 = 2{,}25\). Verificación: \(4 \cdot 2{,}25^2 - 9 \cdot 2{,}25 = 20{,}25 - 20{,}25 = 0\).
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En la ecuación $x^2 = 16$ escriben solo $x = 4$.
El cuadrado es 16 también para el número \(-4\). Se deben escribir ambas raíces: \(x = \pm 4\). Es más seguro resolver mediante la forma estándar \(x^2 - 16 = 0\), es decir, \((x - 4)(x + 4) = 0\) — así ambos factores se ven de inmediato.
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No comprobar la condición $a \neq 0$ en una ecuación con parámetros: en $(m - 2)x^2 + 3x - 1 = 0$ calculan directamente el discriminante.
Cuando \(m = 2\), el coeficiente principal se anula y la ecuación se vuelve lineal \(3x - 1 = 0\) con la única raíz \(x = \dfrac{1}{3}\). El caso \(m = 2\) se analiza por separado, y la fórmula general solo se aplica cuando \(m \neq 2\).
Preguntas y respuestas
¿Qué es una ecuación cuadrática?
Es una ecuación de la forma \(ax^2 + bx + c = 0\), donde \(a\), \(b\), \(c\) son números y \(a \neq 0\). La incógnita aparece elevada al cuadrado, por lo que puede haber dos, una o ninguna raíz.
¿Cómo es la forma estándar de una ecuación cuadrática?
La forma estándar (general) es \(ax^2 + bx + c = 0\): todos los términos están a la izquierda en orden descendente de grado, y a la derecha hay un cero. Cualquier ecuación cuadrática se lleva a esta forma antes de calcular el discriminante.
¿Cómo hallar el discriminante?
Mediante la fórmula \(D = b^2 - 4ac\), sustituyendo los coeficientes junto con sus signos. Por ejemplo, para \(x^2 + 3x - 10 = 0\) obtenemos \(D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49\), y las raíces son \(\dfrac{-3 \pm 7}{2}\), es decir, 2 y \(-5\).
¿Cuál es la fórmula de las raíces de la ecuación cuadrática?
\(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), o más brevemente \(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\). Se aplica cuando \(D \ge 0\); en el denominador va \(2a\), no solo 2.
¿Cuántas raíces puede tener una ecuación cuadrática?
No más de dos. Cuando \(D > 0\) hay dos raíces, cuando \(D = 0\) hay una (doble), cuando \(D < 0\) no hay raíces reales.
¿Qué es una ecuación cuadrática incompleta?
Es una ecuación donde \(b = 0\), \(c = 0\) o ambos: \(ax^2 + c = 0\), \(ax^2 + bx = 0\), \(ax^2 = 0\). Las tres se resuelven sin discriminante, moviendo el término o extrayendo \(x\) como factor común.
¿Cómo resolver ecuaciones cuadráticas sin discriminante?
Hay tres caminos: búsqueda de raíces por el teorema de Viète para la ecuación reducida, factorización y completar el cuadrado. Lo más rápido es la búsqueda cuando las raíces son números enteros pequeños.
¿Qué hacer si el discriminante es negativo?
Escribir que no hay raíces reales y terminar la resolución. Un discriminante negativo es una respuesta normal: la gráfica de la parábola correspondiente no cruza el eje \(x\). En ese caso, las raíces solo existen entre los números complejos, que se estudian más adelante.
¿Cómo verificar las raíces halladas?
Sustituir cada raíz en la ecuación original; debe resultar una igualdad verdadera. Para la ecuación reducida también existe una verificación rápida por el teorema de Viète: la suma de las raíces es \(-p\), el producto es \(q\).
¿Ecuación cuadrática y de segundo grado son lo mismo?
Sí, son dos nombres para el mismo objeto \(ax^2 + bx + c = 0\). No la confundas con la función cuadrática \(y = ax^2 + bx + c\): las raíces de la ecuación son precisamente las abscisas de los puntos donde la gráfica de la función cruza el eje \(x\).
¿En qué grado se estudian las ecuaciones cuadráticas?
En 8º grado en álgebra: primero ecuaciones incompletas, luego el discriminante, la fórmula de las raíces y el teorema de Viète. Más adelante el tema aparece en la función cuadrática, inecuaciones y exámenes de ingreso.
