Los criterios de divisibilidad son reglas que permiten saber si un número es divisible exactamente por otro, sin necesidad de realizar la división: basta con observar los últimos dígitos o sumar todos los dígitos del número. En esta página se presenta una tabla de criterios de divisibilidad por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11 y 25, un análisis visual de los criterios por 3 y por 9 a través de la suma de dígitos, ejemplos resueltos, errores comunes y un simulador interactivo donde puedes ponerte a prueba inmediatamente.
¿Qué es un criterio de divisibilidad?
Un criterio de divisibilidad es una regla que permite saber si un número es divisible exactamente por otro número, sin realizar la división. Basta con observar los últimos dígitos o sumar todos los dígitos del número.
Los criterios de divisibilidad son útiles en cualquier situación donde necesites entender rápidamente la "estructura" de un número:
- al simplificar fracciones — se ve inmediatamente por qué factor simplificar el numerador y el denominador;
- al descomponer un número en factores primos;
- al buscar el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo;
- al comprobar rápidamente la respuesta en ejercicios y problemas.
Es importante no confundir dos preguntas diferentes. "¿Es 3726 divisible por 9?" — a esto responde el criterio de divisibilidad: la suma de los dígitos 3 + 7 + 2 + 6 = 18 es divisible por 9, por lo tanto sí. Y "¿cuánto da?" — esto ya es la división en sí: 3726 : 9 = 414. El criterio solo da una respuesta de "sí" o "no", pero instantáneamente y mentalmente.
Tabla de criterios de divisibilidad
Es útil tener todos los criterios de divisibilidad escolares a la vista en una sola tabla. El color indica dónde mirar: el último dígito, la suma de los dígitos, la "cola" de dos o tres últimos dígitos o directamente dos criterios.
| Por | Criterio de divisibilidad | Ejemplo |
|---|---|---|
| 2 | el último dígito es 0, 2, 4, 6 u 8 | 3726 → 6 |
| 3 | la suma de los dígitos es divisible por 3 | 4512 → 4+5+1+2 = 12 |
| 4 | los dos últimos dígitos forman un número divisible por 4 | 1316 → 16 : 4 = 4 |
| 5 | el último dígito es 0 o 5 | 1435 → 5 |
| 6 | es divisible por 2 y por 3 simultáneamente | 5124 → 4 y 12 |
| 8 | los tres últimos dígitos forman un número divisible por 8 | 3512 → 512 : 8 = 64 |
| 9 | la suma de los dígitos es divisible por 9 | 3726 → 3+7+2+6 = 18 |
| 10 | el último dígito es 0 | 2340 → 0 |
| 11 | los dígitos alternando signos desde la derecha; la suma es divisible por 11 | 2838 → 8−3+8−2 = 11 |
| 25 | los dos últimos dígitos son 00, 25, 50 o 75 | 1875 → 75 |
Criterios de divisibilidad por 2, 5 y 10
El grupo más sencillo: solo miramos el último dígito, los demás no importan.
- son divisibles por 2 todos los números pares — aquellos que terminan en 0, 2, 4, 6 u 8;
- son divisibles por 5 — los números que terminan en 0 o 5;
- son divisibles por 10 — los números que terminan en 0.
La longitud del número no importa: 987 654 320 es divisible por 2, por 5 y por 10 porque termina en cero. Y 1435 es divisible por 5 (último dígito 5), pero no es divisible ni por 2 ni por 10 — es un número impar.
De aquí se deriva una conclusión útil: los números divisibles por 10 son exactamente aquellos que son divisibles tanto por 2 como por 5 simultáneamente.
Criterios de divisibilidad por 3 y 9: suma de dígitos
Aquí el último dígito no decide nada — funciona la suma de todos los dígitos del número:
- un número es divisible por 3 si la suma de sus dígitos es divisible por 3;
- un número es divisible por 9 si la suma de sus dígitos es divisible por 9.
Si la suma resulta grande, puedes aplicar el criterio de nuevo a la suma: para el número 899 991, la suma de los dígitos es 8 + 9 + 9 + 9 + 9 + 1 = 45, y para 45 la suma es 4 + 5 = 9 — por lo tanto, el número original es divisible por 9 y por 3.
Los criterios son similares, pero no se reemplazan mutuamente. Cualquier número divisible por 9 también es divisible por 3 — ya que el propio nueve es divisible por tres. Lo contrario no es cierto: la suma de los dígitos puede ser divisible por 3 y no ser divisible por 9, y entonces el número solo cumple uno de los dos criterios. Ambos casos se analizan a continuación.
Criterios de divisibilidad por 4, 8 y 25: mirar la "cola" del número
Un solo último dígito no es suficiente aquí — se necesita una "cola" de varios últimos dígitos:
- un número es divisible por 4 si sus dos últimos dígitos forman un número divisible por 4;
- es divisible por 8 si sus tres últimos dígitos forman un número divisible por 8;
- es divisible por 25 si sus dos últimos dígitos forman 00, 25, 50 o 75.
Por qué basta con la cola: 100 es divisible por 4 y por 25, y 1000 es divisible por 8. Por lo tanto, todo lo que está a la izquierda ya es divisible por el número deseado y no afecta el resultado.
De aquí se deriva una consecuencia importante: la paridad no es suficiente para el cuatro y el ocho. Un número puede ser par, pero si su cola de dos o tres dígitos no es divisible exactamente, entonces el número completo tampoco lo es. El análisis de las colas se encuentra en el recuadro a continuación.
Criterio de divisibilidad por 6
El seis no tiene una regla separada: 6 = 2 · 3, y los factores son coprimos. Por lo tanto, el criterio es compuesto — un número es divisible por 6 si es divisible simultáneamente por 2 y por 3.
Comprobemos 5124: el último dígito es 4 — el número es par, por lo tanto es divisible por 2; la suma de los dígitos 5 + 1 + 2 + 4 = 12 es divisible por 3. Ambas condiciones se cumplen → 5124 : 6 = 854.
La paridad por sí sola no es suficiente: 1000 es par, pero la suma de sus dígitos es 1 y no es divisible por 3, por lo tanto el número no es divisible por 6. Tampoco funciona la otra mitad: la suma de los dígitos de 4521 es 12, divisible por 3, pero el número en sí es impar — tampoco es divisible por 6.
De manera similar se construyen otros criterios compuestos: por 12 — divisible por 3 y por 4, por 15 — por 3 y por 5, por 18 — por 2 y por 9, por 45 — por 5 y por 9.
Criterio de divisibilidad por 11
El criterio de divisibilidad por 11 utiliza la suma alternante de los dígitos. Los dígitos se suman, comenzando desde el último, cambiando alternativamente el signo: más, menos, más, menos. Si el resultado es divisible por 11 (incluido cero), entonces todo el número es divisible por 11.
Este mismo criterio a menudo se formula de manera diferente: la diferencia entre la suma de los dígitos en posiciones impares y la suma de los dígitos en posiciones pares debe ser divisible por 11. Es la misma regla.
Ejemplos de criterios de divisibilidad
Ejemplo 1. ¿Por qué números es divisible 7254?
Ejercicio. Determinar por cuáles de los números 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10 es divisible 7254.
Paso 1. Por 2. El último dígito es 4 — par. Es divisible: 7254 : 2 = 3627.
Paso 2. Por 5 y por 10. El número termina en 4, no en 0 o 5. No es divisible ni por 5 ni por 10.
Paso 3. Por 3 y por 9. Suma de los dígitos: 7 + 2 + 5 + 4 = 18. Es divisible tanto por 3 como por 9. Por lo tanto, 7254 : 3 = 2418 y 7254 : 9 = 806.
Paso 4. Por 6. El número es divisible por 2 y por 3 — por lo tanto, es divisible por 6: 7254 : 6 = 1209.
Paso 5. Por 4. Los dos últimos dígitos forman 54, y 54 no es divisible por 4. No es divisible.
Respuesta. 7254 es divisible por 2, 3, 6 y 9.
Ejemplo 2. ¿Es 4715 divisible por 3 y por 9?
Ejercicio. Comprobar la divisibilidad del número 4715 por 3 y por 9.
Paso 1. Sumamos los dígitos: 4 + 7 + 1 + 5 = 17.
Paso 2. Por 3. 17 no es divisible por 3 (los múltiplos más cercanos son 15 y 18). Por lo tanto, 4715 tampoco es divisible por 3.
Paso 3. Por 9. 17 tampoco es divisible por 9. Por lo tanto, 4715 tampoco es divisible por 9.
Lo que el número sí puede hacer. El último dígito es 5 → el número es divisible por 5: 4715 : 5 = 943. No es divisible por 2 ni por 10 — es impar.
Respuesta. El número 4715 no es divisible ni por 3 ni por 9.
Ejemplo 3. Divisibilidad por 4 y por 8: número 6248
Ejercicio. Comprobar si 6248 es divisible por 4 y por 8.
Paso 1. Por 4. Tomamos los dos últimos dígitos: 48. El número 48 es divisible por 4 (48 : 4 = 12), por lo tanto 6248 también es divisible: 6248 : 4 = 1562.
Paso 2. Por 8. Tomamos los tres últimos dígitos: 248. Dividimos: 248 : 8 = 31 — es divisible. Por lo tanto, 6248 : 8 = 781.
Cuidado con el razonamiento inverso. La divisibilidad por 4 no implica la divisibilidad por 8: para el número 6244, la cola 44 es divisible por 4 (6244 : 4 = 1561), pero los tres últimos dígitos 244 no son divisibles por 8 — el número no es divisible por 8.
Respuesta. 6248 es divisible por 4 y por 8.
Ejemplo 4. Criterio de divisibilidad por 11: número 2926
Ejercicio. Comprobar si 2926 es divisible por 11.
Paso 1. Escribimos los dígitos y colocamos los signos desde el final: el último dígito con signo más, luego alternando menos y más.
Paso 2. Calculamos la suma alternante: 6 − 2 + 9 − 2 = 11.
Paso 3. El resultado 11 es divisible por 11 → todo el número también lo es.
Comprobación con división. 2926 : 11 = 266.
Respuesta. 2926 es divisible por 11.
Ejemplo 5. Simplificamos una fracción usando criterios de divisibilidad
Ejercicio. Simplificar la fracción 270/378.
Paso 1. Calculamos las sumas de los dígitos: 2 + 7 + 0 = 9 y 3 + 7 + 8 = 18. Ambas son divisibles por 9 → tanto el numerador como el denominador son divisibles por 9.
Paso 2. Simplificamos por 9: 270 : 9 = 30, 378 : 9 = 42. Obtenemos 30/42.
Paso 3. Ambos números son pares → simplificamos por 2: 30 : 2 = 15, 42 : 2 = 21. Obtenemos 15/21.
Paso 4. Las sumas de los dígitos 6 y 3 son divisibles por 3 → simplificamos por 3.
Respuesta. 270/378 = 5/7.
Errores comunes en los criterios de divisibilidad
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Comprobar la divisibilidad por 6 solo por paridad: si el número es par, entonces es divisible por 6.
Se necesitan ambas condiciones a la vez: por 2 y por 3. El número 7124 es par, pero la suma de sus dígitos 14 no es divisible por 3, por lo tanto no es divisible por 6. Y viceversa: 3471 cumple el criterio del tres (suma 15, 3471 : 3 = 1157), pero es impar — tampoco es divisible por 6.
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Para la divisibilidad por 4, se mira un solo último dígito: "8 es divisible por 4, así que 9138 también servirá".
Para el cuatro, se toman DOS últimos dígitos. En 9138 son 38, y 38 no es divisible por 4. Ejemplo correcto: en 9136 la cola es 36, 36 : 4 = 9, por lo tanto 9136 : 4 = 2284. Para el ocho, la cola es aún más larga — tres dígitos.
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El criterio de divisibilidad por 9 se comprueba por el último dígito: se buscan números que terminen en 9 o en 0.
El último dígito no significa nada para el nueve. Se suma todos los dígitos: en 4563 es 18, la suma es divisible por 9 — y el número es divisible (4563 : 9 = 507), aunque termine en 3.
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Se cree que si un número es divisible por 3, entonces también es divisible por 9.
Solo funciona en una dirección: divisible por 9 → divisible por 3. Lo contrario no es cierto. En 8241 la suma de los dígitos es 15: es divisible por 3 (8241 : 3 = 2747), pero no por 9.
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Para el criterio del 11, simplemente se suman todos los dígitos, como para el 3 y el 9.
Para el once, la suma es alternante: los dígitos se suman desde el final, cambiando el signo cada uno. Para 6479 es 9 − 7 + 4 − 6 = 0 → es divisible (6479 : 11 = 589). La suma normal de los dígitos aquí es 26 y no dice nada.
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Se confunde el criterio de divisibilidad con la división en sí: a la pregunta "¿es 5391 divisible por 9?" se responde "sí, 18".
18 es la suma de los dígitos, un resultado intermedio del criterio. El cociente se calcula por separado: 5391 : 9 = 599. El criterio solo responde "divisible / no divisible".
Preguntas y respuestas
¿Qué es un criterio de divisibilidad en palabras sencillas?
Es una regla que permite saber si un número se dividirá exactamente, sin realizar la división. Normalmente basta con mirar los últimos dígitos del número o sumar todos sus dígitos.
¿Cómo saber si un número es divisible por 3?
Suma todos los dígitos del número. Si la suma resultante es divisible por 3, entonces el número en sí es divisible por 3. Por ejemplo, en 2571 la suma de los dígitos es 2 + 5 + 7 + 1 = 15, y 15 es divisible por 3 → 2571 : 3 = 857.
¿En qué se diferencia el criterio de divisibilidad por 3 del criterio por 9?
La regla es la misma — se suma los dígitos, pero se comprueba la suma con números diferentes: para el tres, la suma debe ser divisible por 3; para el nueve, por 9. Por lo tanto, cualquier número divisible por 9 también es divisible por 3, pero lo contrario no siempre es cierto: en 9420 la suma de los dígitos es 15, divisible por 3 (9420 : 3 = 3140), pero no por 9.
¿Qué hacer si la suma de los dígitos resulta grande?
Aplica el criterio de nuevo — ya a la suma. Para el número 777 771, la suma de los dígitos es 36; para 36, la suma es 3 + 6 = 9. Nueve es divisible por 9, por lo tanto el número original también es divisible por 9 (y también por 3): 777 771 : 9 = 86 419.
¿Existe un criterio de divisibilidad por 7?
No hay una regla sencilla como la suma de los dígitos para el siete, y no se incluye en la tabla escolar de criterios. Existe un procedimiento: quitar el último dígito, duplicarlo y restarlo del número restante. Por ejemplo, para 343: quitamos el 3, lo duplicamos — 6, calculamos 34 − 6 = 28. El número 28 es divisible por 7, por lo tanto 343 también es divisible: 343 : 7 = 49.
¿Cuáles son los criterios de divisibilidad por 12, 15 y 45?
Son compuestos — el número debe cumplir dos criterios a la vez: por 12 — ser divisible por 3 y por 4; por 15 — por 3 y por 5; por 45 — por 5 y por 9. Es importante que los factores sean coprimos: la descomposición 12 = 2 · 6 no es válida, ya que 18 es divisible por 2 y por 6, pero no por 12.
¿En qué curso se estudian los criterios de divisibilidad?
En 6º grado en las clases de matemáticas: primero los criterios por 10, 5 y 2, luego por 3 y por 9. Los criterios por 4, 8, 11 y 25 suelen analizarse adicionalmente — serán útiles al simplificar fracciones y en olimpiadas.
