Una proporción es la igualdad de dos razones, por ejemplo, \(2:3 = 8:12\). Para resolver proporciones, solo necesitas una herramienta: la propiedad fundamental de las proporciones: el producto de los términos extremos es igual al producto de los términos medios. En la escuela, lo llaman la regla de "multiplicación cruzada". A continuación, se explica qué es una razón y una proporción, cómo encontrar un término desconocido, en qué se diferencia la proporcionalidad directa de la inversa, el análisis de problemas sobre recetas, escalas y precios, la introducción a los porcentajes y un simulador de 10 problemas.
Qué es una razón y una proporción
Una razón de dos números es su cociente. La razón \(2:3\) (se lee "dos a tres") indica cuántas veces un número es mayor que otro o qué parte representa uno del otro. Se puede escribir de dos maneras: \(2:3\) o como fracción \(\frac{2}{3}\) — es lo mismo.
Una proporción es la igualdad de dos razones:
En una proporción hay cuatro números, y tienen nombres. Los números en los extremos de la escritura son los términos extremos, los números en el medio son los términos medios. Una proporción es correcta cuando ambas razones son iguales al mismo número.
Propiedad fundamental de las proporciones: regla de "multiplicación cruzada"
Propiedad fundamental de las proporciones: el producto de los términos extremos es igual al producto de los términos medios.
¿Por qué sucede esto? Multipliquemos ambos lados de la igualdad \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) por \(b \cdot d\). En el lado izquierdo se cancelará \(b\), en el derecho \(d\), y quedará exactamente \(a \cdot d = c \cdot b\). Ninguna magia, solo una propiedad de las igualdades.
Esto es precisamente lo que los escolares llaman "resolver proporciones multiplicando en cruz": los números se multiplican en diagonal, cruzados. La propiedad también funciona a la inversa: si para cuatro números (ninguno de ellos cero) se cumple \(a \cdot d = b \cdot c\), entonces se puede formar una proporción correcta con ellos.
De aquí se derivan inmediatamente dos habilidades: verificar si una proporción es correcta y encontrar un número desconocido en ella.
Cómo encontrar un término desconocido en una proporción
De la propiedad fundamental se derivan dos reglas cortas:
- término extremo desconocido = producto de los medios : término extremo conocido;
- término medio desconocido = producto de los extremos : término medio conocido.
No es necesario memorizarlos. Basta con un método universal: multiplicar en cruz, obtener una igualdad del tipo "número \(\cdot\, x\) = número" y dividir. Lo analizaremos paso a paso con la proporción \(x : 7 = 12 : 21\).
El último paso, la verificación, toma cinco segundos y detecta casi cualquier error aritmético, por lo que no debe omitirse.
Proporcionalidad directa e inversa
Dos magnitudes se llaman directamente proporcionales si al aumentar una de ellas un cierto número de veces, la otra aumenta el mismo número de veces. Compramos el doble de cuadernos, pagamos el doble. En magnitudes directamente proporcionales, su razón es constante.
Las magnitudes son inversamente proporcionales si al aumentar una de ellas un cierto número de veces, la otra disminuye el mismo número de veces. El doble de trabajadores, la mitad de días para el mismo trabajo. En magnitudes inversamente proporcionales, su producto es constante.
La principal diferencia se nota al plantear la proporción. Para una dependencia directa, se plantea "tal cual": \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}\). Para una inversa, la segunda razón se invierte: \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_2}{b_1}\).
¿Por qué? Para una dependencia inversa, el producto es constante: \(a_1 \cdot b_1 = a_2 \cdot b_2\). Dividamos ambos lados por \(a_2 \cdot b_1\) y obtendremos \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_2}{b_1}\). Por lo tanto, la "inversión" no es un hechizo que deba recordarse, sino una consecuencia de que la constante es el producto, no la razón.
| Característica | Directa | Inversa |
|---|---|---|
| Relación | más → más | más → menos |
| Constante | razón a : b | producto a × b |
| Escritura | a₁ : a₂ = b₁ : b₂ | a₁ : a₂ = b₂ : b₁ |
| Ejemplo | 3 bolígrafos — 90 ₽, 5 bolígrafos — 150 ₽ | 4 pintores — 9 días, 6 pintores — 6 días |
Cómo plantear una proporción a un problema: receta, escala, precio
Los problemas de texto "de proporción" se resuelven según un mismo esquema:
- Escribir la condición en dos columnas de manera que las magnitudes iguales queden una debajo de la otra (porciones bajo porciones, gramos bajo gramos).
- Designar lo desconocido con \(x\).
- Determinar el tipo de dependencia: aumentar mentalmente la primera magnitud y observar si la segunda aumenta o disminuye.
- Plantear la proporción; para una dependencia inversa, invertir la segunda razón.
- Resolver multiplicando en cruz y verificar si la respuesta obtenida es razonable.
Mostraremos con una receta. Para 4 porciones de crepes se necesitan 300 g de harina. ¿Cuánta harina se necesita para 6 porciones? Hay más porciones, por lo tanto, se necesita más harina: la dependencia es directa, la proporción se plantea "tal cual":
Para 6 porciones se necesitan 450 g de harina. La respuesta es razonable: las porciones aumentaron 1.5 veces, y la harina necesaria también aumentó 1.5 veces.
De la misma manera se resuelven problemas de escala (la distancia en el mapa se relaciona con la distancia en el terreno de la misma manera que 1 a la cifra de la escala) y de precio (la cantidad de producto se relaciona con la cantidad de la misma manera que el costo con el costo). Los análisis completos se encuentran en los ejemplos a continuación.
Porcentajes a través de proporciones
Un porcentaje es la centésima parte de un número, por lo tanto, cualquier problema simple de porcentajes se convierte en una proporción:
En algún lugar, uno de los cuatro números es desconocido; ese es el que encontramos multiplicando en cruz.
Encontrar la parte. ¿Cuánto es el 15% de 240? Planteamos \(x : 240 = 15 : 100\), por lo tanto \(100x = 240 \cdot 15 = 3600\) y \(x = 36\).
Encontrar el todo. El número 21 representa el 35% de algún número. Planteamos \(21 : x = 35 : 100\), por lo tanto \(35x = 21 \cdot 100 = 2100\) y \(x = 60\).
Encontrar el porcentaje. ¿Qué porcentaje representa 18 de 45? Planteamos \(18 : 45 = p : 100\), por lo tanto \(45p = 18 \cdot 100 = 1800\) y \(p = 40\), es decir, 40%.
Un método — tres tipos diferentes de problemas, no hay que memorizar nada adicional. Solo la pregunta "en qué porcentaje aumentó o disminuyó la magnitud" es un caso aparte: primero se encuentra el cambio y luego se divide por el valor inicial; esa ya es la fórmula del cambio porcentual, no una proporción simple.
Ejemplos de resolución de proporciones con análisis paso a paso
Ejemplo 1. Término medio desconocido
Problema. Encuentra el término desconocido en la proporción \(15 : x = 45 : 24\).
Paso 1. Identificamos qué término es cada uno. Los extremos son 15 y 24, los medios son \(x\) y 45.
Paso 2. Aplicamos la propiedad fundamental: \(15 \cdot 24 = x \cdot 45\), es decir, \(360 = 45x\).
Paso 3. Dividimos: \(x = 360 : 45 = 8\).
Verificación. \(15 : 8 = 1{,}875\) y \(45 : 24 = 1{,}875\) — las razones son iguales.
Respuesta: \(x = 8\).
Ejemplo 2. Proporcionalidad directa: precio y cantidad
Problema. Seis cuadernos cuestan 210 ₽. ¿Cuánto cuestan 10 cuadernos iguales?
Paso 1. Más cuadernos — mayor costo, por lo tanto, la dependencia es directa.
Paso 2. Escribimos la condición de manera que las magnitudes iguales estén juntas y planteamos la proporción "tal cual":
Paso 3. Multiplicando en cruz: \(6x = 10 \cdot 210 = 2100\), por lo tanto \(x = 2100 : 6 = 350\).
Verificación. Un cuaderno cuesta \(210 : 6 = 35\) ₽, y diez cuestan \(35 \cdot 10 = 350\) ₽. Coincide.
Respuesta: 350 ₽.
Ejemplo 3. Proporcionalidad inversa: trabajadores y días
Problema. Ocho trabajadores completan un pedido en 15 días. ¿En cuántos días completarán el mismo pedido 12 trabajadores si trabajan a la misma velocidad?
Paso 1. Hay más trabajadores — se necesitarán menos días. La dependencia es inversa.
Paso 2. Planteamos la proporción invirtiendo la segunda razón:
Aquí \(x\) son los días para 12 trabajadores, y 15 son los días para 8 trabajadores: han cambiado de lugar porque la dependencia es inversa.
Paso 3. Multiplicando en cruz: \(8 \cdot 15 = 12x\), es decir, \(120 = 12x\) y \(x = 10\).
Verificación. El producto es constante: \(8 \cdot 15 = 120\) y \(12 \cdot 10 = 120\). Coincide, y la respuesta es razonable: se necesitaron menos días.
Respuesta: 10 días.
Ejemplo 4. Escala del mapa
Problema. La escala del mapa es \(1 : 200\,000\). La distancia entre dos pueblos en el mapa es de 7 cm. ¿Cuál es la distancia entre ellos en el terreno?
Paso 1. La escala \(1 : 200\,000\) significa: 1 cm en el mapa corresponde a 200 000 cm en el terreno. Esta es la razón dada.
Paso 2. Planteamos la proporción:
Paso 3. Multiplicando en cruz: \(1 \cdot x = 200\,000 \cdot 7\), es decir, \(x = 1\,400\,000\) cm.
Paso 4. Convertimos a unidades convenientes: en un kilómetro hay 100 000 cm, por lo tanto \(1\,400\,000 : 100\,000 = 14\) km.
Respuesta: 14 km.
Ejemplo 5. Porcentajes a través de proporciones
Problema. En una clase hay 25 alumnos, el 60% de ellos fueron de excursión. ¿Cuántas personas fueron de excursión?
Paso 1. El todo son los 25 alumnos, que corresponden al 100%. La parte buscada es \(x\) personas, que corresponde al 60%.
Paso 2. Planteamos la proporción "parte : todo = porcentaje : 100":
Paso 3. Multiplicando en cruz: \(100x = 25 \cdot 60 = 1500\), por lo tanto \(x = 15\).
Verificación. 15 personas de 25 es \(15 : 25 = 0{,}6\), es decir, exactamente el 60%.
Respuesta: 15 personas.
Errores comunes al resolver proporciones
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Multiplicar los números "en línea" en lugar de en cruz: en la proporción 5 : 2 = 20 : 8, calculan 5 · 2 y 20 · 8.
La propiedad fundamental relaciona los términos extremos con los medios, es decir, los números en diagonal: 5 · 8 = 40 y 2 · 20 = 40. Los productos coinciden — la proporción es correcta. Y 5 · 2 y 20 · 8 no son iguales y no dicen nada.
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En un problema de dependencia inversa, se plantea una proporción "directa". Seis bombas llenan una piscina en 10 horas; la escritura 6 : 15 = 10 : x da 25 horas para 15 bombas.
Hay más bombas — debería haber menos tiempo, pero salió más: esto significa que la proporción no se planteó correctamente. La segunda razón debe invertirse: 6 : 15 = x : 10, entonces 15x = 60 y x = 4 horas. Siempre verifica la respuesta con sentido común.
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Después de multiplicar en cruz, se divide al revés: de la igualdad 8x = 96 obtienen x = 8 : 96.
Para encontrar x, el producto se divide por el coeficiente que está junto a x: x = 96 : 8 = 12. Es un buen hábito sustituir el número encontrado de nuevo: 8 · 12 = 96, todo está correcto.
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No se unifican las unidades de medida. En un problema de escala 1 : 50 000 con 3 cm en el mapa, dan la respuesta "1,5" sin unidades o la llaman metros.
Primero calculamos en las unidades en las que se da la escala: 3 · 50 000 = 150 000 cm. Y solo después convertimos: 150 000 cm = 1500 m = 1,5 km. Las unidades en la respuesta son tan importantes como el número mismo.
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Se confunden razón y proporción: a la petición de plantear una proporción, escriben una sola razón "12 : 4".
Una razón es un cociente de dos números, por ejemplo, 12 : 4 = 3. Una proporción es la igualdad de dos razones, contiene obligatoriamente cuatro números y un signo de igualdad: 12 : 4 = 30 : 10 (verificamos: 12 · 10 = 120 y 4 · 30 = 120).
Preguntas y respuestas
¿En qué se diferencia una razón de una proporción?
Una razón es el cociente de dos números, por ejemplo, 12 : 4. Una proporción es la igualdad de dos razones, contiene cuatro números: 12 : 4 = 30 : 10. La razón responde a la pregunta "cuántas veces", mientras que la proporción afirma que dos comparaciones de este tipo dan el mismo resultado.
¿Qué son los términos extremos y medios de una proporción?
En la escritura a : b = c : d, los términos extremos son los que están en los bordes, es decir, a y d. Los medios son los que están en el centro, es decir, b y c. Si la proporción está escrita como fracciones, los términos extremos son el numerador de la primera fracción y el denominador de la segunda, y los medios son el denominador de la primera y el numerador de la segunda.
¿Cómo verificar si una proporción es correcta?
Multiplicar en cruz y comparar los productos. Por ejemplo, para 9 : 12 = 15 : 20, calculamos 9 · 20 = 180 y 12 · 15 = 180 — los números coinciden, por lo tanto, la proporción es correcta. Si los productos son diferentes, la proporción es incorrecta.
¿Se pueden intercambiar los términos de una proporción?
Sí, si se hace según las reglas. En una proporción correcta, se pueden intercambiar los términos extremos, se pueden intercambiar los términos medios, o se pueden invertir ambas partes a la vez — la proporción seguirá siendo correcta. De 4 : 6 = 10 : 15 obtenemos 4 : 10 = 6 : 15 o 6 : 4 = 15 : 10 — el producto en diagonal es siempre 60. Pero no se puede cambiar solo un número de lugar.
¿Qué significa "resolver una proporción multiplicando en cruz"?
Es el nombre coloquial de la propiedad fundamental de las proporciones. Los números se multiplican en diagonal, cruzados: el extremo por el extremo y el medio por el medio. Se obtiene una ecuación con una incógnita que se resuelve con una división. No existe un "método de la cruz" separado de la propiedad fundamental.
¿Cómo entender si la dependencia en un problema es directa o inversa?
Aumenta mentalmente la primera magnitud 2 veces y observa la segunda. Si también aumentó 2 veces, la dependencia es directa, la proporción se plantea "tal cual". Si disminuyó 2 veces, la dependencia es inversa, la segunda razón debe invertirse. Otra señal: en la dependencia directa, la razón de las magnitudes es constante; en la inversa, su producto.
¿Cómo resolver problemas de porcentajes a través de proporciones?
Plantea la proporción "parte : todo = porcentaje : 100" y encuentra la incógnita multiplicando en cruz. Por ejemplo, el 12% de 350: obtenemos x : 350 = 12 : 100, por lo tanto 100x = 4200 y x = 42. De la misma manera se busca el todo a partir de la parte conocida y el porcentaje mismo.
