La raíz cuadrada de un número \(a\) es un número cuyo cuadrado es igual a \(a\), y aritmética se llama solo su valor no negativo: \(\sqrt{25} = 5\). Solo se pueden extraer raíces de números no negativos, pero las propiedades de la raíz transforman expresiones voluminosas en cortas. En esta página: definición y dominio, todas las propiedades de la raíz cuadrada con fórmulas, tabla de raíces cuadradas del 1 al 20, métodos para extraer la raíz y sacar un factor, ejemplos resueltos, errores comunes y simulador interactivo.
Qué es la raíz cuadrada de un número
La raíz cuadrada de un número \(a\) es un número tal que su cuadrado es igual a \(a\). La extracción de la raíz y la elevación al cuadrado son operaciones inversas: de \(7^2 = 49\) se deduce inmediatamente que la raíz cuadrada de 49 es 7.
Pero un número positivo tiene exactamente dos raíces cuadradas, y se diferencian solo por el signo: \(5^2 = 25\) y \((-5)^2 = 25\), es decir, las raíces cuadradas de 25 son tanto \(5\) como \(-5\). Para que la notación \(\sqrt{25}\) represente un único número, se acordó: el signo \(\sqrt{\phantom{a}}\) se usa solo para la raíz no negativa. A esta se le llama raíz aritmética.
La notación tiene sus nombres: el signo \(\sqrt{\phantom{a}}\) es el radical, y el número o expresión debajo de él es la expresión subradical.
Raíz cuadrada aritmética: definición y dominio
Se llama raíz cuadrada aritmética de un número no negativo \(a\) al número no negativo cuyo cuadrado es igual a \(a\). Se denota por \(\sqrt{a}\) y se lee «raíz de a».
En la definición hay dos condiciones, y ambas son igualmente importantes:
- la expresión subradical es no negativa: \(a \ge 0\);
- el valor de la raíz es no negativo: \(\sqrt{a} \ge 0\).
De aquí obtenemos inmediatamente: \(\sqrt{25} = 5\), y no \(-5\); \(\sqrt{0} = 0\); y la notación \(\sqrt{-9}\) no tiene sentido en los números reales — no existe un número cuyo cuadrado sea negativo.
La primera condición define el dominio de la expresión con la raíz. Por ejemplo, \(\sqrt{x-7}\) tiene sentido si \(x - 7 \ge 0\), es decir, si \(x \ge 7\): cualquier valor menor de \(x\) introduce un número negativo bajo la raíz.
De la definición también se deduce la igualdad \((\sqrt{a})^2 = a\) para \(a \ge 0\): elevar la raíz al cuadrado devuelve el número subradical. Funciona incluso cuando no podemos calcular la raíz exacta: \((\sqrt{31})^2 = 31\).
Tabla de raíces cuadradas: cuadrados de números del 1 al 20
La raíz se extrae de forma exacta solo cuando el número subradical es un cuadrado perfecto. Por eso, la tabla de cuadrados funciona también como tabla de raíces cuadradas: se lee en ambas direcciones — \(14^2 = 196\), por lo tanto \(\sqrt{196} = 14\).
La tabla ayuda no solo con números enteros:
- decimales: \(\sqrt{0{,}64} = 0{,}8\), porque \(0{,}8^2 = 0{,}64\);
- fracciones ordinarias: \(\sqrt{\dfrac{16}{81}} = \dfrac{4}{9}\) — la raíz se extrae por separado del numerador y del denominador;
- números redondos: \(\sqrt{2500} = 50\), ya que \(2500 = 25 \cdot 100\), y se conoce la raíz de cada factor.
Propiedades de la raíz cuadrada
Las propiedades de la raíz cuadrada permiten calcular expresiones sin extraer cada raíz por separado y simplificar la respuesta.
La raíz de un producto es igual al producto de las raíces: \(\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\) para \(a \ge 0\) y \(b \ge 0\). Por ejemplo, \(\sqrt{9 \cdot 16} = 3 \cdot 4 = 12\) — el mismo resultado que \(\sqrt{144}\).
La raíz de un cociente es igual al cociente de las raíces: \(\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\) para \(a \ge 0\) y \(b > 0\). Por ejemplo, \(\sqrt{\dfrac{36}{49}} = \dfrac{6}{7}\). La condición \(b > 0\) es estricta: no se puede dividir por cero.
La raíz del cuadrado es igual al valor absoluto: \(\sqrt{a^2} = |a|\), y esto es cierto para cualquier número \(a\). Aquí está el principal matiz de todo el tema. Si \(a \ge 0\), nada cambia: \(\sqrt{7^2} = 7\). Pero si \(a\) es negativo, el signo se «endereza»: \(\sqrt{(-6)^2} = \sqrt{36} = 6\), y no \(-6\) — porque la raíz aritmética no puede ser negativa.
El cuadrado de la raíz devuelve el número subradical: \((\sqrt{a})^2 = a\) para \(a \ge 0\).
Pero para la suma y la resta no existen propiedades similares: la raíz de una suma no es igual a la suma de las raíces. Este es el error más común del tema, el análisis está más abajo.
| Propiedad y condición | Ejemplo |
|---|---|
| √(a · b) = √a · √bpara a ≥ 0 y b ≥ 0 | √(4 · 25) = 2 · 5 = 10 |
| √(a / b) = √a / √bpara a ≥ 0 y b > 0 | √(81 / 16) = 9 / 4 |
| √(a²) = |a|para cualquier a | √((−12)²) = 12 |
| (√a)² = apara a ≥ 0 | (√13)² = 13 |
| √(a² · b) = |a| · √bpara b ≥ 0 | √(25 · 3) = 5√3 |
Cómo extraer la raíz cuadrada de un número
Una calculadora no siempre está a mano, y las tareas escolares casi siempre están diseñadas para que la raíz se pueda extraer. El orden de las operaciones es el siguiente.
- Comprobar en la tabla de cuadrados. Si el número está en la tabla, la respuesta está lista: \(\sqrt{289} = 17\).
- Separar un factor redondo. Para números con ceros, es conveniente separar \(100\), \(10\,000\), etc.: \(\sqrt{6400} = \sqrt{64 \cdot 100} = 8 \cdot 10 = 80\).
- Descomponer en factores primos. Este es un método universal: \(576 = 2^6 \cdot 3^2\), dividimos los exponentes por la mitad y obtenemos \(\sqrt{576} = 2^3 \cdot 3 = 24\).
- Convertir un decimal en una fracción ordinaria. \(\sqrt{1{,}44} = \sqrt{\dfrac{144}{100}} = \dfrac{12}{10} = 1{,}2\). Esto también evita la pérdida de un dígito.
- Si no hay un cuadrado perfecto, la raíz es irracional. Entonces se deja en la respuesta como símbolo (se escribe así: \(\sqrt{30}\)), o se estima entre cuadrados consecutivos.
La comprobación toma un segundo: elevamos el número obtenido al cuadrado y vemos si hemos recuperado el número subradical. \(24^2 = 576\) — correcto.
Sacar un factor de debajo del signo de raíz
Raramente se deja la raíz «cruda»: se saca todo lo que se pueda extraer. Funciona la propiedad \(\sqrt{a^2 b} = |a| \sqrt{b}\) para \(b \ge 0\): buscamos el mayor divisor cuadrado del número subradical.
- \(\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}\);
- \(\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}\);
- \(\sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = 10\sqrt{3}\).
La operación inversa es introducir un factor bajo la raíz: \(a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}\) para \(a \ge 0\). Por ejemplo, \(3\sqrt{5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}\).
Con un factor negativo, se necesita precaución: el menos no entra bajo la raíz y permanece fuera. La notación correcta es \(-2\sqrt{3} = -\sqrt{12}\), y no \(\sqrt{12}\).
¿Para qué sirve esto? Después de sacar un factor, las raíces con la misma expresión subradical se convierten en términos semejantes y se pueden sumar. Y introducir un factor bajo la raíz es la forma más rápida de comparar dos expresiones con raíces.
Cuánto es la raíz cuadrada que no se puede extraer
Si el número subradical no es un cuadrado perfecto, la raíz es un número irracional: su representación decimal es infinita y no periódica. Por ejemplo, \(\sqrt{2} \approx 1{,}4142\ldots\), y el valor exacto solo se escribe con el símbolo \(\sqrt{2}\). La respuesta redondeada solo se escribe cuando se solicita en la tarea.
Se puede estimar tal raíz sin calculadora: encontrar dos cuadrados perfectos consecutivos entre los cuales se encuentra el número subradical. Funciona la regla de comparación: para \(a \ge 0\) y \(b \ge 0\), de \(a < b\) se sigue que \(\sqrt{a} < \sqrt{b}\) — a un número subradical mayor le corresponde una raíz mayor.
Ejemplos de cálculos con raíces cuadradas
Ejemplo 1. Valor de una expresión con raíces
Calcula \(\sqrt{121} - \sqrt{0{,}36} + \sqrt{\dfrac{9}{25}}\).
Paso 1. \(\sqrt{121} = 11\), porque \(11^2 = 121\).
Paso 2. \(\sqrt{0{,}36} = 0{,}6\), porque \(0{,}6^2 = 0{,}36\).
Paso 3. La raíz de la fracción se extrae por el numerador y el denominador: \(\sqrt{\dfrac{9}{25}} = \dfrac{3}{5} = 0{,}6\).
Paso 4. Sumamos: \(11 - 0{,}6 + 0{,}6 = 11\).
Respuesta: 11.
Ejemplo 2. Raíz de un producto
Calcula \(\sqrt{8} \cdot \sqrt{18}\).
Paso 1. Por separado, estas raíces no se pueden extraer, por lo tanto, las unimos en una: \(\sqrt{8} \cdot \sqrt{18} = \sqrt{8 \cdot 18}\).
Paso 2. Calculamos el producto bajo la raíz: \(8 \cdot 18 = 144\).
Paso 3. \(\sqrt{144} = 12\).
Otro camino: sacar factores de antemano: \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\) y \(\sqrt{18} = 3\sqrt{2}\), entonces \(2\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2} = 6 \cdot (\sqrt{2})^2 = 6 \cdot 2 = 12\). Las respuestas coinciden.
Respuesta: 12.
Ejemplo 3. Extracción de raíz por descomposición en factores
Calcula \(\sqrt{576}\) y \(\sqrt{6400}\).
Paso 1. El número 576 no está en la tabla de cuadrados, por lo tanto, lo descomponemos en factores primos: \(576 = 2^6 \cdot 3^2\).
Paso 2. Dividimos los exponentes por la mitad: \(\sqrt{2^6 \cdot 3^2} = 2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24\).
Paso 3. Comprobación. \(24^2 = 576\) — correcto.
Paso 4. Para el número 6400, es más conveniente separar un factor redondo: \(\sqrt{6400} = \sqrt{64 \cdot 100} = 8 \cdot 10 = 80\). Comprobación: \(80^2 = 6400\).
Respuesta: \(\sqrt{576} = 24\), \(\sqrt{6400} = 80\).
Ejemplo 4. Sacar un factor y reducir términos semejantes
Simplifica \(2\sqrt{98} - \sqrt{300} + \sqrt{72}\).
Paso 1. Sacamos factores de debajo de cada raíz: \(\sqrt{98} = \sqrt{49 \cdot 2} = 7\sqrt{2}\), por lo tanto \(2\sqrt{98} = 14\sqrt{2}\).
Paso 2. \(\sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = 10\sqrt{3}\).
Paso 3. \(\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}\).
Paso 4. Solo se pueden sumar raíces con la misma expresión subradical: \(14\sqrt{2} + 6\sqrt{2} = 20\sqrt{2}\), y el término con \(\sqrt{3}\) queda aparte.
Respuesta: \(20\sqrt{2} - 10\sqrt{3}\).
Ejemplo 5. Raíz del cuadrado de una variable
Simplifica \(\sqrt{(x-4)^2}\) para \(x < 4\).
Paso 1. Por la propiedad de la raíz del cuadrado \(\sqrt{(x-4)^2} = |x-4|\) — escribimos inmediatamente el valor absoluto, no \(x - 4\).
Paso 2. Eliminamos el valor absoluto según la condición. Si \(x < 4\), entonces la diferencia \(x - 4\) es negativa, y el valor absoluto de un número negativo es el número opuesto: \(|x-4| = 4 - x\).
Paso 3. Comprobación. Tomemos \(x = 1\): a la izquierda \(\sqrt{(1-4)^2} = \sqrt{9} = 3\), a la derecha \(4 - 1 = 3\) — coincide.
Respuesta: \(4 - x\). Para comparar, si \(x \ge 4\) la respuesta sería \(x - 4\).
Ejemplo 6. Comparación de expresiones con raíces
Compara \(3\sqrt{5}\) y \(5\sqrt{2}\).
Paso 1. Ambos números son positivos, por lo tanto, introducimos el factor bajo la raíz: \(3\sqrt{5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}\).
Paso 2. \(5\sqrt{2} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{50}\).
Paso 3. Comparamos los números subradícales: \(45 < 50\), y a un número subradical mayor le corresponde una raíz mayor.
Respuesta: \(3\sqrt{5} < 5\sqrt{2}\).
Errores comunes al trabajar con raíces cuadradas
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Escriben $\sqrt{a^2} = a$, olvidando el valor absoluto.
La igualdad correcta es \(\sqrt{a^2} = |a|\). Para un número negativo esto es crucial: \(\sqrt{(-13)^2} = \sqrt{169} = 13\), y no \(-13\). La raíz aritmética no puede ser negativa, por lo tanto, el signo bajo la raíz se «endereza».
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Creen que la raíz de una suma es igual a la suma de las raíces: $\sqrt{9 + 16} = 3 + 4$.
No existe tal propiedad. Primero realizamos la operación bajo la raíz: \(\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\), y no 7. Las propiedades solo existen para el producto y el cociente: \(\sqrt{ab} = \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\) y \(\sqrt{a/b} = \sqrt{a}/\sqrt{b}\).
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Responden que $\sqrt{49} = \pm 7$.
\(\sqrt{49} = 7\) — la raíz aritmética siempre es una y es no negativa. Dos valores aparecen en otra tarea: la ecuación \(x^2 = 49\) tiene raíces \(x = 7\) y \(x = -7\). No se debe confundir la notación de la raíz con la solución de la ecuación.
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Escriben $\sqrt{-16} = -4$, razonando «menos por menos».
Bajo la raíz no puede haber un número negativo: \((-4)^2 = 16\), y no \(-16\), por lo tanto, \(\sqrt{-16}\) no tiene sentido en los números reales. Pero la expresión \(-\sqrt{16} = -4\) es completamente correcta — el signo menos está delante de la raíz, no debajo de ella.
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Introducen un factor negativo bajo la raíz: $-2\sqrt{3} = \sqrt{12}$.
La regla \(a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}\) solo funciona para \(a \ge 0\). El signo menos permanece fuera: \(-2\sqrt{3} = -\sqrt{12}\). Comprobación con signos: \(-2\sqrt{3} \approx -3{,}46\), y \(\sqrt{12} \approx 3{,}46\) — son números opuestos.
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Pierden un dígito en un decimal: $\sqrt{0{,}04} = 0{,}02$.
Comprueba con la elevación al cuadrado inversa: \(0{,}02^2 = 0{,}0004\), no coincide. Correctamente \(\sqrt{0{,}04} = 0{,}2\), porque \(0{,}2^2 = 0{,}04\). Un método fiable es pasar a fracción ordinaria: \(\sqrt{\dfrac{4}{100}} = \dfrac{2}{10} = 0{,}2\).
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Están seguros de que la raíz siempre es menor que el número mismo.
Esto es cierto solo para números mayores que uno. En el intervalo de 0 a 1, todo es al revés: \(\sqrt{0{,}25} = 0{,}5\), y \(0{,}5\) es mayor que \(0{,}25\). Y para 0 y 1, la raíz es igual al número mismo.
Preguntas y respuestas
¿Qué es la raíz cuadrada aritmética en palabras sencillas?
Es un número no negativo que, al elevarse al cuadrado, da el número subradical. Se escribe \(\sqrt{a}\), y la expresión subradical debe ser no negativa: \(a \ge 0\). Por ejemplo, \(\sqrt{64} = 8\), porque \(8 \ge 0\) y \(8^2 = 64\).
¿En qué se diferencia la raíz cuadrada de la raíz cuadrada aritmética?
Un número positivo tiene dos raíces cuadradas — opuestas en signo. A la raíz aritmética se le llama solo la no negativa, y es a esta a la que se refiere el signo \(\sqrt{\phantom{a}}\). Por eso \(\sqrt{25} = 5\), aunque la ecuación \(x^2 = 25\) tiene dos raíces: 5 y \(-5\).
¿Cómo extraer la raíz cuadrada de un número sin calculadora?
Primero, comprueba el número en la tabla de cuadrados. Si no está allí, descompónlo en factores y extrae los cuadrados perfectos: \(784 = 16 \cdot 49\), por lo tanto \(\sqrt{784} = 4 \cdot 7 = 28\). Siempre comprueba la respuesta con la operación inversa: \(28^2 = 784\).
¿Se puede extraer la raíz cuadrada de un número negativo?
En los números reales, no: el cuadrado de cualquier número es no negativo, por lo tanto, la expresión \(\sqrt{-9}\) no tiene sentido. Precisamente a partir de esta condición se busca el dominio: por ejemplo, \(\sqrt{x-7}\) existe solo si \(x \ge 7\).
¿Cuánto es la raíz del cuadrado de un número?
El valor absoluto de ese número: \(\sqrt{a^2} = |a|\). Si \(a\) es no negativo, será el propio número, si es negativo, será el opuesto: \(\sqrt{(-6)^2} = 6\).
¿Cómo sacar un factor de debajo del signo de raíz?
Encuentra el mayor divisor cuadrado del número subradical y aplica la propiedad \(\sqrt{a^2 b} = |a|\sqrt{b}\). Por ejemplo, \(\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}\). La operación inversa es introducir un factor bajo la raíz: \(3\sqrt{5} = \sqrt{45}\).
¿Cuánto es la raíz cuadrada de 2?
El número \(\sqrt{2}\) es irracional: su representación decimal es infinita y no periódica, \(\sqrt{2} \approx 1{,}4142\). No existe un valor exacto en forma de fracción, por lo tanto, en las respuestas se deja como símbolo \(\sqrt{2}\), y solo se redondea si la condición lo requiere.
¿Cómo comparar dos números con raíces sin calcularlos?
Introduce los factores bajo la raíz y compara los números subradícales: a un número subradical mayor le corresponde una raíz mayor. Por ejemplo, \(\sqrt{17}\) y 4: como \(4 = \sqrt{16}\) y \(17 > 16\), entonces \(\sqrt{17} > 4\).
¿En qué grado se estudian las raíces cuadradas?
En 8º grado en las clases de álgebra: primero la definición de raíz cuadrada aritmética y sus propiedades, luego la transformación de expresiones con raíces y la resolución de ecuaciones del tipo \(x^2 = a\). Más adelante, las raíces aparecen en la fórmula del discriminante y en ejercicios de la OGE y el EGE.
