Una progresión aritmética es una secuencia en la que cada término siguiente es mayor que el anterior en un número fijo \(d\) (la diferencia de la progresión). Cualquier término se encuentra con la fórmula \(a_n = a_1 + (n-1)d\), y la suma de los primeros \(n\) términos con la fórmula \(S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2}\cdot n\). En esta página se explican la definición y la diferencia, ambas fórmulas de suma, la propiedad característica, la comprobación de si un número pertenece a la progresión, la diferencia con la progresión geométrica, problemas típicos de la OGE y un simulador interactivo para autoevaluación.
¿Qué es una progresión aritmética?
Una progresión aritmética es una secuencia numérica en la que cada término siguiente se obtiene del anterior sumándole un mismo número. Este número se llama diferencia de la progresión y se denota por la letra \(d\).
Definición en una fórmula: una secuencia \(a_1, a_2, a_3, \dots\) se llama progresión aritmética si para cualquier índice \(n\) se cumple la igualdad
Tomemos la secuencia 3, 7, 11, 15, 19, … El primer término aquí es \(a_1 = 3\), y la diferencia \(d = 4\): cada número siguiente es exactamente 4 unidades mayor que el anterior. Por lo tanto, el término siguiente es 23, y antes del tres (si continuáramos hacia atrás) habría un uno con signo negativo.
Toda la progresión se define con solo dos números: el primer término \(a_1\) y la diferencia \(d\). Conociendo este par, podemos determinar cualquier término, calcular la suma de cualquier número de los primeros términos y comprobar si un número dado aparece en la secuencia. La progresión se denota por el símbolo \((a_n)\), y sus términos por \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\), etc., donde el subíndice siempre indica el número del término, no su valor.
Diferencia de una progresión aritmética: cómo encontrar d
La diferencia es siempre el término siguiente menos el anterior:
El orden de la resta es importante: si restas al revés, el signo de la diferencia será opuesto. Para la secuencia 20, 17, 14, 11, 8, la diferencia es \(17 - 20 = -3\), no \(+3\).
El signo de \(d\) determina completamente el comportamiento de la progresión:
- \(d > 0\) — la progresión es creciente, los términos aumentan;
- \(d < 0\) — la progresión es decreciente, los términos disminuyen;
- \(d = 0\) — todos los términos son iguales, por ejemplo, 6, 6, 6, 6, … Esta también es una progresión aritmética, simplemente constante.
Si se conocen dos términos con índices diferentes, la diferencia se encuentra con la fórmula
Ejemplo. Supongamos que \(a_4 = 30\) y \(a_{10} = 6\). Entonces \(d = \dfrac{6 - 30}{10 - 4} = \dfrac{-24}{6} = -4\), y el primer término es \(a_1 = a_4 - 3d = 30 + 12 = 42\). Verifiquemos el inicio de la progresión: 42, 38, 34, 30 — el cuarto término es efectivamente 30.
La diferencia no tiene por qué ser un número entero: la secuencia 1; 1,5; 2; 2,5 tiene una diferencia de 0,5, y es una progresión aritmética completa.
Fórmula del término n-ésimo de una progresión aritmética
La fórmula principal del tema permite encontrar cualquier término sin tener que escribir todos los anteriores:
¿De dónde viene \(n - 1\)? Para llegar del primer término al n-ésimo, la diferencia se suma no \(n\) veces, sino una vez menos: al segundo término hay un paso, al tercero dos, al vigésimo diecinueve.
Ejemplo. Para la progresión 3, 7, 11, 15, 19, … tenemos \(a_1 = 3\) y \(d = 4\), por lo tanto
Esta forma compacta es muy útil: se ve inmediatamente que \(a_{20} = 4\cdot 20 - 1 = 79\), y \(a_{100} = 399\). Además, sugiere la diferencia: la fórmula del término n-ésimo de cualquier progresión aritmética es lineal, de la forma \(a_n = dn + c\), y el coeficiente de \(n\) es la diferencia.
A veces el primer término es desconocido, pero se da otro. Entonces, la misma idea funciona en forma general: \(a_n = a_k + (n - k)d\).
Propiedad característica de la progresión aritmética
Cualquier término de la progresión, excepto el primero, es igual a la media aritmética de sus vecinos:
Precisamente por eso la progresión se llama aritmética. Esta igualdad también funciona a la inversa: si en una secuencia cada término central es igual a la semisuma de sus vecinos, entonces la secuencia es una progresión aritmética. Esta afirmación se llama criterio de la progresión aritmética, y en los problemas se utiliza para demostrar que tres números forman una progresión.
Ejemplo. Los números 7, \(x\), 23 son tres términos consecutivos de una progresión. Entonces \(x = \dfrac{7 + 23}{2} = 15\). Comprobación: 7, 15, 23 — las diferencias son 8 y 8, todo concuerda.
Una forma conveniente de escribir la misma propiedad es \(2a_n = a_{n-1} + a_{n+1}\), es decir, el término central duplicado es igual a la suma de los extremos. De esta forma, la propiedad es más fácil de aplicar cuando los términos se dan como expresiones algebraicas.
Suma de los primeros n términos de una progresión aritmética
La suma \(S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n\) se calcula con una de las dos fórmulas:
La idea de la primera fórmula es la misma que, según la leyenda, descubrió el escolar Gauss al sumar los números del 1 al 100. Si sumas el primer término con el último, el segundo con el penúltimo y así sucesivamente, todos los pares darán la misma suma. De ahí \(1 + 2 + \dots + 100 = \dfrac{1 + 100}{2}\cdot 100 = 5050\).
La segunda fórmula se obtiene de la primera sustituyendo \(a_n = a_1 + (n-1)d\) — se utiliza cuando el último término no se conoce y no se quiere calcular por separado.
Ejemplo. Calculemos la suma de los primeros veinte términos de la progresión 3, 7, 11, 15, 19, …
Con la primera fórmula: \(a_{20} = 79\), por lo tanto \(S_{20} = \dfrac{3 + 79}{2}\cdot 20 = 41\cdot 20 = 820\).
Con la segunda: \(S_{20} = \dfrac{2\cdot 3 + 19\cdot 4}{2}\cdot 20 = \dfrac{6 + 76}{2}\cdot 20 = 41\cdot 20 = 820\).
Las respuestas coinciden — esta es la mejor comprobación de los cálculos.
Cómo saber si un número pertenece a una progresión aritmética
La pregunta «¿es un número un término de la progresión?» se resuelve con una ecuación. Un número pertenece a la progresión si y solo si su índice \(n\) resulta ser un número natural: 1, 2, 3, etc. Un \(n\) fraccionario o no positivo significa que dicho término no existe.
Ejemplo 1. ¿Pertenece el número 99 a la progresión 3, 7, 11, 15, 19, …? La fórmula del término n-ésimo es \(a_n = 4n - 1\), por lo tanto resolvemos \(4n - 1 = 99\), de donde \(4n = 100\) y \(n = 25\). El índice es natural — ¡significa que 99 está en la progresión, es su vigésimo quinto término!
Ejemplo 2. ¿Y el número 2026? De \(4n - 1 = 2026\) obtenemos \(4n = 2027\) y \(n = 506{,}75\). El índice es fraccionario, por lo tanto 2026 no es un término de esta progresión.
Un consejo útil para una estimación rápida: en una progresión con la fórmula \(a_n = 4n - 1\), todos los términos al dividirlos por 4 dan un resto de 3. El número 2026 da un resto de 2, por lo tanto «falla» la progresión.
Problemas típicos de la OGE sobre progresión aritmética
En el examen OGE de matemáticas, las progresiones aparecen cada año, y casi todas las tareas se reducen a cuatro tipos.
Encontrar un término dado su índice. Se dan \(a_1\) y \(d\) (o los primeros términos) — sustituimos en \(a_n = a_1 + (n-1)d\).
Encontrar el índice dado el valor. Se da un número — lo igualamos a la fórmula del término n-ésimo y resolvemos la ecuación respecto a \(n\).
Encontrar la suma. Calculamos \(S_n\) con cualquiera de las dos fórmulas; si falta \(a_n\) — primero lo encontramos.
Encontrar el número de términos. De la fórmula del término n-ésimo se obtiene una consecuencia útil: \(n = \dfrac{a_n - a_1}{d} + 1\).
Por separado, está el problema de texto, donde la progresión está oculta en la trama. Por ejemplo: el primer día un trabajador fabricó 12 piezas, y cada día siguiente fabricó 3 piezas más que el día anterior; ¿cuántas piezas fabricará en 15 días? Aquí \(a_1 = 12\), \(d = 3\), \(n = 15\). Calculamos el último término: \(a_{15} = 12 + 14\cdot 3 = 54\). Entonces \(S_{15} = \dfrac{12 + 54}{2}\cdot 15 = 33\cdot 15 = 495\) piezas.
El principal consejo para este tipo de problemas: primero, anota por separado qué se da (\(a_1\), \(d\), \(n\), \(a_n\), \(S_n\)) y qué hay que encontrar. La mitad de los errores en el examen ocurren no por las fórmulas, sino porque se confunde el índice con el valor del término.
Progresión aritmética y geométrica: en qué se diferencian
Ambas progresiones son reglas para obtener el siguiente término a partir del anterior. La diferencia está en la operación: en la aritmética se suma un mismo número \(d\), en la geométrica se multiplica por un mismo número \(q\), llamado razón de la progresión.
De ahí su diferente comportamiento. Una progresión aritmética crece uniformemente, «por escalones»: 3, 7, 11, 15 — cada paso añade 4. Una progresión geométrica crece como una avalancha: 3, 6, 12, 24 — cada paso duplica el número, y después de diez pasos el término será mayor que mil quinientos.
Comprobar el tipo de secuencia es fácil: calcula las diferencias de los términos adyacentes y sus cocientes. Diferencias iguales — progresión aritmética, cocientes iguales — progresión geométrica. Si ni lo uno ni lo otro coincide, tienes simplemente una secuencia: por ejemplo, 1, 4, 9, 16 — son los cuadrados de los números naturales, y no es una progresión (las diferencias 3, 5, 7 son distintas, los cocientes también).
En el currículo escolar, ambos temas se estudian consecutivamente en 9º grado, por lo que las fórmulas se pueden confundir fácilmente. Ten en mente una referencia: en la aritmética la diferencia \(d\) se resta, en la geométrica la razón \(q\) se divide. Todo lo demás son consecuencias.
Ejemplos de resolución de problemas sobre progresión aritmética
Ejemplo 1. Encontrar el primer término y la diferencia a partir de dos términos
Dado. \(a_3 = 14\), \(a_7 = 30\). Encontrar \(a_1\), \(d\) y \(a_{20}\).
Paso 1. Desde el tercer término hasta el séptimo hay exactamente \(7 - 3 = 4\) pasos, en cada uno se suma \(d\). Por lo tanto, \(a_7 = a_3 + 4d\), es decir, \(30 = 14 + 4d\), de donde \(4d = 16\) y \(d = 4\).
Paso 2. Retrocedemos al primer término: \(a_1 = a_3 - 2d = 14 - 8 = 6\).
Paso 3. Escribimos la fórmula del término n-ésimo: \(a_n = 6 + (n-1)\cdot 4 = 4n + 2\).
Paso 4. Calculamos el término deseado: \(a_{20} = 4\cdot 20 + 2 = 82\).
Comprobación. Escribamos el inicio de la progresión: 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30. El tercer término es 14, el séptimo es 30 — coincide.
Respuesta: \(a_1 = 6\), \(d = 4\), \(a_{20} = 82\).
Ejemplo 2. Suma de los primeros 30 términos (ambas fórmulas)
Dado. Progresión \(-5,\ -2,\ 1,\ 4,\ \dots\) Encontrar \(S_{30}\).
Paso 1. Determinamos los parámetros: \(a_1 = -5\), \(d = -2 - (-5) = 3\).
Paso 2. Encontramos el trigésimo término: \(a_{30} = -5 + 29\cdot 3 = -5 + 87 = 82\).
Paso 3. Calculamos con la primera fórmula: \(S_{30} = \dfrac{-5 + 82}{2}\cdot 30 = \dfrac{77}{2}\cdot 30 = 77\cdot 15 = 1155\).
Paso 4. Comprobación con la segunda fórmula. Primero el numerador: \(2\cdot(-5) + 29\cdot 3 = -10 + 87 = 77\).
Luego como en el paso tres: \(S_{30} = \dfrac{77}{2}\cdot 30 = 1155\).
Ambos caminos dieron 1155 — por lo tanto, la aritmética es correcta.
Respuesta: \(S_{30} = 1155\).
Ejemplo 3. Suma de todos los números de dos dígitos múltiplos de 7
Tarea. Encontrar la suma de todos los números de dos dígitos que son múltiplos de 7.
Paso 1. Estos números forman por sí mismos una progresión aritmética con diferencia 7. El menor múltiplo de siete de dos dígitos es 14, el mayor es 98 (el siguiente, 105, ya tiene tres dígitos). Obtenemos \(a_1 = 14\), \(d = 7\), \(a_n = 98\).
Paso 2. Calculamos el número de términos: \(n = \dfrac{98 - 14}{7} + 1 = \dfrac{84}{7} + 1 = 12 + 1 = 13\).
Paso 3. Calculamos la suma: \(S_{13} = \dfrac{14 + 98}{2}\cdot 13 = \dfrac{112}{2}\cdot 13 = 56\cdot 13 = 728\).
Paso 4. Comprobación con la segunda fórmula. \(S_{13} = \dfrac{2\cdot 14 + 12\cdot 7}{2}\cdot 13 = \dfrac{28 + 84}{2}\cdot 13 = 56\cdot 13 = 728\).
Respuesta: 728.
Ejemplo 4. Comprobar si un número pertenece a una progresión
Tarea. ¿Es el número 145 un término de la progresión \(7,\ 12,\ 17,\ \dots\)? ¿Y el número 142?
Paso 1. Parámetros de la progresión: \(a_1 = 7\), \(d = 5\), por lo tanto \(a_n = 7 + (n-1)\cdot 5 = 5n + 2\).
Paso 2. Comprobamos 145: la ecuación \(5n + 2 = 145\) da \(5n = 143\) y \(n = 28{,}6\). El índice es fraccionario, por lo tanto 145 no pertenece a la progresión.
Paso 3. Comprobamos 142: \(5n + 2 = 142\), de donde \(5n = 140\) y \(n = 28\). El índice es natural — el número pertenece.
Paso 4. Comprobación por sustitución. \(a_{28} = 7 + 27\cdot 5 = 7 + 135 = 142\). Correcto.
Respuesta: 145 no pertenece a la progresión; 142 pertenece y es su 28º término.
Ejemplo 5. Propiedad característica con términos literales
Tarea. ¿Para qué valor de \(x\) los números \(x - 3\), \(2x + 1\), \(4x - 1\) son tres términos consecutivos de una progresión aritmética?
Paso 1. Según la propiedad característica, el término central duplicado es igual a la suma de los extremos:
Paso 2. Desarrollamos los paréntesis: \(4x + 2 = 5x - 4\).
Paso 3. Resolvemos: \(2 + 4 = 5x - 4x\), es decir, \(x = 6\).
Paso 4. Comprobación. Sustituimos \(x = 6\): el primer término es \(6 - 3 = 3\), el segundo \(2\cdot 6 + 1 = 13\), el tercero \(4\cdot 6 - 1 = 23\). Diferencias: \(13 - 3 = 10\) y \(23 - 13 = 10\) — son iguales.
Respuesta: \(x = 6\), la progresión es 3, 13, 23 con diferencia 10.
Ejemplo 6. ¿Cuántos términos negativos hay en la progresión?
Tarea. ¿Cuántos términos negativos tiene la progresión \(-21,\ -18,\ -15,\ \dots\)?
Paso 1. Parámetros: \(a_1 = -21\), \(d = 3\). Fórmula del término n-ésimo: \(a_n = -21 + (n-1)\cdot 3 = 3n - 24\).
Paso 2. Escribimos la condición «el término es negativo»: \(3n - 24 < 0\), de donde \(3n < 24\) y \(n < 8\).
Paso 3. Los índices son naturales, por lo tanto son válidos \(n = 1, 2, \dots, 7\) — en total siete términos.
Paso 4. Comprobación del límite. \(a_7 = 3\cdot 7 - 24 = -3\) — negativo. \(a_8 = 3\cdot 8 - 24 = 0\) — el cero no es un número negativo, por lo tanto el octavo término ya no se cuenta. \(a_9 = 3\) — positivo.
Respuesta: siete términos negativos.
Errores frecuentes en problemas de progresión aritmética
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En la fórmula del término n-ésimo se escribe $a_n = a_1 + nd$ en lugar de $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Desde el primer término hasta el n-ésimo hay un paso menos que el índice. Para la progresión \(5,\ 9,\ 13,\ \dots\) el décimo término es \(a_{10} = 5 + 9\cdot 4 = 41\), no 45. Comprobación rápida de la fórmula: sustituye \(n = 1\) — debería dar exactamente \(a_1\).
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Se calcula la diferencia al revés: $d = a_1 - a_2$, y el signo resulta opuesto.
La diferencia es el término siguiente menos el anterior: \(d = a_2 - a_1\). Para la progresión \(40,\ 34,\ 28,\ \dots\) es correcto \(d = 34 - 40 = -6\). El signo menos aquí no es un error, sino un indicio de una progresión decreciente.
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En la fórmula de la suma se olvida dividir por 2 o multiplicar por $n$: se escribe $S_n = (a_1 + a_n)\cdot n$.
Se suman pares «primero con último», hay exactamente \(\dfrac{n}{2}\) de ellos, por lo tanto, dividir por 2 es obligatorio. Para la progresión \(2,\ 9,\ 16,\ \dots\) tenemos \(a_{10} = 2 + 9\cdot 7 = 65\) y \(S_{10} = \dfrac{2 + 65}{2}\cdot 10 = 67\cdot 5 = 335\), no 670.
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Al comprobar la pertenencia de un número se obtiene $n = 0$ o $n$ negativo y aun así se responde «pertenece».
El índice de un término es un número natural, el conteo comienza desde uno. Por ejemplo, para la progresión \(10,\ 14,\ 18,\ \dots\) la ecuación \(10 + 4(n-1) = 6\) da \(n = 0\), lo que significa que 6 no pertenece a la progresión: este número estaría antes del primer término.
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Se confunde lo que se ha encontrado: se sustituye el valor del término donde se necesita su índice, y viceversa.
\(a_n\) es el valor, \(n\) es el índice ordinal. Si la tarea pregunta «¿qué término en orden es igual a 142?», la respuesta será 28, no 142. Un hábito útil: antes de resolver, anota la línea «dado: \(a_1 = \dots\), \(d = \dots\), encontrar: \(n\)».
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Se asume que la progresión debe ser creciente y consistir en números enteros.
La diferencia puede ser negativa (\(20,\ 17,\ 14,\ \dots\)), fraccionaria (1; 1,5; 2; 2,5) o incluso cero (8, 8, 8, …). Los tres casos son progresiones aritméticas legítimas, y todas las fórmulas para ellas funcionan sin cambios.
Preguntas y respuestas
¿Qué es una progresión aritmética en palabras sencillas?
Es una secuencia de números en la que cada número siguiente se obtiene del anterior sumándole un mismo número \(d\) — la diferencia de la progresión. Por ejemplo, 3, 7, 11, 15, 19, … — una progresión con primer término 3 y diferencia 4.
¿Cuál es la fórmula del término n-ésimo de una progresión aritmética?
\(a_n = a_1 + (n-1)d\), donde \(a_1\) es el primer término, \(d\) es la diferencia, \(n\) es el índice. Si se conoce no el primer término, sino otro, funciona la forma general \(a_n = a_k + (n-k)d\).
¿Cómo encontrar la diferencia de una progresión aritmética?
Restar el término anterior a cualquier término: \(d = a_n - a_{n-1}\). Si se dan dos términos con índices diferentes, usa \(d = \dfrac{a_k - a_m}{k-m}\). Por ejemplo, con \(a_5 = 23\) y \(a_9 = 43\) obtenemos \(d = \dfrac{43-23}{9-5} = 5\), y el primer término es \(23 - 4\cdot 5 = 3\).
¿Cómo encontrar el primer término de una progresión aritmética?
De la fórmula del término n-ésimo: \(a_1 = a_n - (n-1)d\). Por ejemplo, si \(a_{12} = 60\) y \(d = 4\), entonces \(a_1 = 60 - 11\cdot 4 = 60 - 44 = 16\). Comprobación: \(16 + 11\cdot 4 = 60\).
¿Cómo encontrar la suma de los primeros n términos de una progresión aritmética?
Con la fórmula \(S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2}\cdot n\), si se conoce el último término, o con la fórmula \(S_n = \dfrac{2a_1 + (n-1)d}{2}\cdot n\), si solo se conocen el primer término y la diferencia. Ambas dan el mismo resultado, por lo que la segunda es útil como comprobación de la primera.
¿Cómo encontrar el número de términos de una progresión aritmética?
De la fórmula del término n-ésimo: \(n = \dfrac{a_n - a_1}{d} + 1\). Por ejemplo, en la progresión \(8,\ 13,\ 18,\ \dots,\ 98\) la diferencia es 5, por lo tanto \(n = \dfrac{98-8}{5} + 1 = 18 + 1 = 19\) términos.
¿En qué se diferencia una progresión aritmética de una geométrica?
En la aritmética se suma la diferencia \(d\) a cada término, mientras que en la geométrica cada término se multiplica por la razón \(q\). Fórmulas del término n-ésimo: \(a_n = a_1 + (n-1)d\) frente a \(b_n = b_1 q^{\,n-1}\). Para determinar el tipo, calcula las diferencias de los términos adyacentes y sus cocientes: diferencias iguales — aritmética, cocientes iguales — geométrica.
¿Puede la diferencia ser negativa o cero?
Sí. Si \(d < 0\), la progresión es decreciente (por ejemplo, 20, 17, 14, 11); si \(d = 0\), todos los términos son iguales (6, 6, 6, …) — es una progresión constante. La diferencia también puede ser fraccionaria: 1; 1,5; 2; 2,5 — también es una progresión aritmética.
¿En qué grado se estudia la progresión aritmética?
En 9º grado en las clases de álgebra, junto con la progresión geométrica y las secuencias numéricas. Los problemas sobre progresiones forman parte del OGE: normalmente se pide encontrar un término dado su índice, un índice dado su valor, el número de términos o la suma de los primeros \(n\) términos.
