El Teorema de Vieta relaciona las raíces de una ecuación cuadrática con sus coeficientes: para la ecuación reducida \(x^2 + px + q = 0\), la suma de las raíces es \(-p\) y el producto es \(q\). Esto permite encontrar las raíces mentalmente, por tanteo, sin usar el discriminante. En esta página encontrarás las fórmulas exactas para la ecuación reducida y para la forma general, el teorema inverso de Vieta, el algoritmo de búsqueda de raíces, ejemplos resueltos y un simulador interactivo.
¿Qué es el Teorema de Vieta
El Teorema de Vieta es una regla que relaciona las raíces de una ecuación cuadrática con sus coeficientes. Se formula así: si \(x_1\) y \(x_2\) son las raíces de la ecuación cuadrática reducida \(x^2 + px + q = 0\), entonces
En palabras: la suma de las raíces es igual al segundo coeficiente con signo opuesto, y el producto de las raíces es igual al término independiente. El signo menos en la suma es el punto más importante de todo el tema: se escribe \(-p\), no \(p\).
Para la ecuación de forma general \(ax^2 + bx + c = 0\) (donde \(a \neq 0\)), las fórmulas se obtienen dividiendo por \(a\):
El teorema funciona solo cuando existen raíces reales, es decir, cuando \(D \ge 0\). Si el discriminante es negativo, no hay nada que buscar: no existen números reales con tal suma y tal producto.
Ecuación reducida y forma general: ¿dónde dividir por a
Una ecuación cuadrática se llama reducida si el coeficiente de \(x^2\) es igual a uno: \(x^2 + px + q = 0\). Es para esta ecuación que el teorema de Vieta es más conciso, por lo que la búsqueda de raíces siempre comienza por reducirla.
Si \(a \neq 1\), la ecuación se divide primero por \(a\) término a término. Por ejemplo, \(3x^2 - 10x + 3 = 0\) después de dividir por 3 se convierte en \(x^2 - \frac{10}{3}x + 1 = 0\), es decir, \(p = -\frac{10}{3}\), \(q = 1\). De aquí \(x_1 + x_2 = \frac{10}{3}\) y \(x_1 \cdot x_2 = 1\).
La misma idea se puede escribir directamente para la forma general, sin reducir la ecuación: \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\), \(x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\). El error más común es aplicar las fórmulas 'cortas' \(-p\) y \(q\) a una ecuación no reducida y obtener una suma de 10 en lugar de \(\frac{10}{3}\).
Teorema inverso de Vieta
El teorema de Vieta tiene un inverso, y es precisamente este el que permite resolver ecuaciones por tanteo. Se formula así: si los números \(m\) y \(n\) son tales que
entonces \(m\) y \(n\) son las raíces de la ecuación \(x^2 + px + q = 0\).
La diferencia es fundamental. El teorema directo va de las raíces a los coeficientes: las raíces ya se conocen, obtenemos las relaciones entre ellas. El inverso va de los coeficientes a las raíces: adivinamos un par de números con la suma y el producto correctos, y tenemos todo el derecho a llamarlos raíces, sin necesidad de demostrar nada más.
De aquí también se deriva una regla útil: si \(x_1\) y \(x_2\) son las raíces, entonces el polinomio se descompone en factores \(x^2 + px + q = (x - x_1)(x - x_2)\). Por ejemplo, \(x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)\).
Búsqueda de raíces por el teorema de Vieta: algoritmo
La búsqueda de raíces es la principal aplicación práctica del teorema. Funciona más rápido que el discriminante cuando las raíces son enteras y consta de cinco pasos.
Signos de las raíces según los coeficientes p y q
Incluso antes de buscar las raíces, se puede determinar sus signos observando los signos de \(p\) y \(q\). Esto reduce significativamente la búsqueda: se ve de inmediato si se debe buscar un par de números positivos, un par de números negativos o números de signos opuestos.
| p y q | Raíces | Ejemplo |
|---|---|---|
| q > 0, p < 0 | ambas > 0 | x2 − 5x + 6 = 0 → 2; 3 |
| q > 0, p > 0 | ambas < 0 | x2 + 5x + 6 = 0 → −2; −3 |
| q < 0 | signos opuestos | x2 + 2x − 15 = 0 → 3; −5 |
| q = 0 | 0 y −p | x2 − 5x = 0 → 0; 5 |
Teorema de Vieta o discriminante: ¿cuál elegir
La fórmula de las raíces a través del discriminante \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\) funciona siempre, pero requiere cálculos. El teorema de Vieta funciona instantáneamente, pero solo si las raíces se pueden adivinar, generalmente son números enteros pequeños.
La regla práctica es la siguiente:
- la ecuación es reducida, y \(q\) se descompone en un par de factores pequeños → intenta la búsqueda por Vieta, la respuesta se obtiene mentalmente;
- los coeficientes son grandes o fraccionarios, las raíces no se adivinan en 10-15 segundos → calcula el discriminante;
- solo se necesita el número de raíces o los signos de las raíces, y las raíces en sí no son necesarias → basta con \(D\) y la tabla de signos anterior.
También es útil la combinación: calculaste el discriminante y encontraste las raíces → verifica la respuesta con Vieta. La suma debe dar \(-p\) y el producto \(q\). Dicha verificación toma un par de segundos y detecta casi cualquier error aritmético.
Ejemplos de resolución por el teorema de Vieta
Ejemplo 1. Búsqueda de raíces: ambas raíces son positivas
Resolver \(x^2 - 9x + 20 = 0\).
Paso 1. La ecuación es reducida: \(p = -9\), \(q = 20\).
Paso 2. Verificamos el discriminante: \(D = (-9)^2 - 4\cdot 20 = 81 - 80 = 1 > 0\) — existen dos raíces.
Paso 3. Escribimos las relaciones: \(x_1 + x_2 = -p = 9\), \(x_1 \cdot x_2 = q = 20\).
Paso 4. Probamos las descomposiciones de 20: \(1\cdot 20\) (suma 21), \(2\cdot 10\) (suma 12), \(4\cdot 5\) (suma 9) — el último par encaja. Ambos factores son positivos porque \(q > 0\) y \(p < 0\).
Paso 5. Verificación por sustitución. \(4^2 - 9\cdot 4 + 20 = 16 - 36 + 20 = 0\); \(5^2 - 9\cdot 5 + 20 = 25 - 45 + 20 = 0\).
Respuesta: \(x_1 = 4\), \(x_2 = 5\).
Ejemplo 2. Raíces de signos opuestos
Resolver \(x^2 + 3x - 28 = 0\).
Paso 1. La ecuación es reducida: \(p = 3\), \(q = -28\).
Paso 2. \(q < 0\), lo que significa que las raíces tienen signos opuestos y el discriminante es de antemano positivo: \(D = 3^2 - 4\cdot(-28) = 9 + 112 = 121 > 0\).
Paso 3. Relaciones: \(x_1 + x_2 = -3\), \(x_1 \cdot x_2 = -28\).
Paso 4. Descomposiciones de 28: \(1\cdot 28\), \(2\cdot 14\), \(4\cdot 7\). Se necesita una diferencia de 3 — el par 4 y 7 encaja. Como la suma es negativa, tomamos la raíz con mayor valor absoluto con signo menos: 4 y \(-7\).
Paso 5. Verificación. \(4^2 + 3\cdot 4 - 28 = 16 + 12 - 28 = 0\); \((-7)^2 + 3\cdot(-7) - 28 = 49 - 21 - 28 = 0\).
Respuesta: \(x_1 = 4\), \(x_2 = -7\).
Ejemplo 3. Ecuación de forma general (a ≠ 1)
Resolver \(3x^2 - 10x + 3 = 0\).
Paso 1. El coeficiente \(a = 3\), por lo tanto, no se pueden aplicar las fórmulas 'cortas' \(-p\) y \(q\). Usamos la forma general: \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = \dfrac{10}{3}\), \(x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{3}{3} = 1\).
Paso 2. El producto es 1, lo que significa que las raíces son recíprocas: si una es \(t\), la otra es \(\tfrac{1}{t}\). La suma \(t + \tfrac{1}{t} = \tfrac{10}{3}\) sugiere \(t = 3\), ya que \(3 + \tfrac{1}{3} = \tfrac{10}{3}\).
Paso 3. Verificación por sustitución. \(3\cdot 3^2 - 10\cdot 3 + 3 = 27 - 30 + 3 = 0\); \(3\cdot\left(\tfrac{1}{3}\right)^2 - 10\cdot\tfrac{1}{3} + 3 = \tfrac{1}{3} - \tfrac{10}{3} + 3 = 0\).
Respuesta: \(x_1 = 3\), \(x_2 = \tfrac{1}{3}\).
Ejemplo 4. Construir una ecuación a partir de sus raíces
Tarea. Construir una ecuación cuadrática reducida cuyas raíces sean \(-4\) y \(6\).
Paso 1. Calculamos la suma y el producto: \(x_1 + x_2 = -4 + 6 = 2\), \(x_1 \cdot x_2 = -4 \cdot 6 = -24\).
Paso 2. Según el teorema inverso de Vieta, los coeficientes son \(p = -(x_1 + x_2) = -2\) y \(q = x_1 x_2 = -24\). Aquí se esconde la principal trampa: \(p\) es la suma con signo opuesto.
Paso 3. Escribimos la ecuación: \(x^2 - 2x - 24 = 0\).
Paso 4. Verificación por sustitución. \((-4)^2 - 2\cdot(-4) - 24 = 16 + 8 - 24 = 0\); \(6^2 - 2\cdot 6 - 24 = 36 - 12 - 24 = 0\).
Respuesta: \(x^2 - 2x - 24 = 0\). La misma respuesta se obtiene de la descomposición \((x + 4)(x - 6) = 0\).
Ejemplo 5. Verificar la respuesta de otro estudiante usando el teorema de Vieta
Tarea. Un estudiante resolvió la ecuación \(x^2 + 5x + 6 = 0\) y escribió la respuesta: \(x_1 = 2\), \(x_2 = 3\). Verificar si cometió un error.
Paso 1. Por Vieta, debería ser \(x_1 + x_2 = -p = -5\) y \(x_1 \cdot x_2 = q = 6\).
Paso 2. El producto de la respuesta propuesta coincide (\(2\cdot 3 = 6\)), pero la suma no: \(2 + 3 = 5 \neq -5\). Por lo tanto, la respuesta es incorrecta: se perdió un signo.
Paso 3. Buscamos el par correcto: se necesitan números con producto 6 y suma \(-5\) — estos son \(-2\) y \(-3\) (ambos negativos porque \(q > 0\) y \(p > 0\)).
Paso 4. Verificación por sustitución. \((-2)^2 + 5\cdot(-2) + 6 = 4 - 10 + 6 = 0\); \((-3)^2 + 5\cdot(-3) + 6 = 9 - 15 + 6 = 0\).
Respuesta: las raíces correctas son \(x_1 = -2\), \(x_2 = -3\).
Errores comunes al trabajar con el teorema de Vieta
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Se pierde el signo menos en la suma: se escribe $x_1 + x_2 = p$ en lugar de $x_1 + x_2 = -p$.
El signo menos solo afecta a la suma, el producto se toma con el mismo signo: \(x_1 + x_2 = -p\), \(x_1 x_2 = q\). Compruébalo con la ecuación simple \(x^2 - 5x + 6 = 0\): aquí \(p = -5\), la suma de las raíces es 5, y las raíces son efectivamente 2 y 3.
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Se aplican las fórmulas $-p$ y $q$ a una ecuación no reducida: para $2x^2 - 9x + 4 = 0$ se dice 'suma 9, producto 4'.
Mientras \(a \neq 1\), se aplican las fórmulas de forma general: \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = \dfrac{9}{2}\), \(x_1 x_2 = \dfrac{c}{a} = 2\). Las raíces aquí son 4 y \(\tfrac{1}{2}\), no 4 y 1. O primero divide toda la ecuación por \(a\).
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Se buscan raíces por el teorema de Vieta sin verificar el discriminante: para $x^2 + x + 1 = 0$ se intenta encontrar un par de números con suma $-1$ y producto 1.
Primero asegúrate de que existan raíces: \(D = 1 - 4 = -3 < 0\), no hay raíces reales, la búsqueda no es posible. El teorema de Vieta solo funciona cuando \(D \ge 0\).
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Se busca un par solo por el producto, sin verificar la suma: para $x^2 - 8x + 12 = 0$ se toman 3 y 4 porque su producto es 12.
Hay que verificar ambas relaciones a la vez. Para \(x^2 - 8x + 12 = 0\), el producto 12 lo dan los pares (1; 12), (2; 6), (3; 4), y la suma 8 solo el par 2 y 6. Verificación: \(2^2 - 8\cdot 2 + 12 = 0\) y \(6^2 - 8\cdot 6 + 12 = 0\).
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Al construir una ecuación a partir de las raíces, se toma $p$ igual a la suma: para las raíces 2 y 5 se escribe $x^2 + 7x + 10 = 0$.
El coeficiente \(p\) es igual a la suma con signo opuesto: \(p = -(2 + 5) = -7\), \(q = 2\cdot 5 = 10\), es decir, \(x^2 - 7x + 10 = 0\). La sustitución lo confirma: \(2^2 - 7\cdot 2 + 10 = 0\), \(5^2 - 7\cdot 5 + 10 = 0\).
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Se cree que el teorema de Vieta solo es válido para raíces enteras y no se aplica para verificar respuestas.
Las relaciones \(x_1 + x_2 = -p\) y \(x_1 x_2 = q\) se cumplen para cualquier raíz real — entera, fraccionaria o irracional. Simplemente, la búsqueda mental es conveniente para las enteras, y para las demás el teorema sigue siendo una forma rápida de verificar la respuesta encontrada con el discriminante.
Preguntas y respuestas
¿Cómo suena el teorema de Vieta en palabras sencillas?
Si una ecuación cuadrática reducida \(x^2 + px + q = 0\) tiene raíces, entonces su suma es igual al segundo coeficiente con signo opuesto, y su producto es igual al término independiente: \(x_1 + x_2 = -p\) y \(x_1 x_2 = q\).
¿Cuánto son la suma y el producto de las raíces de la ecuación $ax^2 + bx + c = 0$?
Para la ecuación de forma general, la suma de las raíces es \(-\dfrac{b}{a}\) y el producto es \(\dfrac{c}{a}\). Estas fórmulas se obtienen del caso reducido dividiendo toda la ecuación por \(a\).
¿En qué se diferencia el teorema inverso de Vieta del directo?
El teorema directo va de las raíces a los coeficientes: conociendo las raíces, obtenemos la suma \(-p\) y el producto \(q\). El inverso va al revés: si un par de números da la suma y el producto correctos, entonces esos números son las raíces de la ecuación. Es el teorema inverso el que permite resolver ecuaciones por tanteo.
¿Cómo buscar raíces por el teorema de Vieta?
Reduce la ecuación a la forma \(x^2 + px + q = 0\), asegúrate de que \(D \ge 0\), escribe \(x_1 + x_2 = -p\) y \(x_1 x_2 = q\), prueba las descomposiciones del número \(q\) en pares de factores y elige el par cuya suma sea \(-p\). Por ejemplo, para \(x^2 + 6x + 8 = 0\) se necesitan números con producto 8 y suma \(-6\) — estos son \(-2\) y \(-4\).
¿Funciona el teorema de Vieta si el coeficiente de $x^2$ no es igual a uno?
Sí, pero en la forma general: \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}\), \(x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}\). Las fórmulas cortas \(-p\) y \(q\) solo son válidas para la ecuación reducida, por lo que si \(a \neq 1\), la ecuación se divide primero por \(a\).
¿Qué hacer si las raíces no se pueden encontrar por el teorema de Vieta?
Significa que las raíces no son enteras o no existen en absoluto. Calcula el discriminante: si \(D < 0\), no hay raíces reales, y si \(D \ge 0\), encuentra las raíces usando la fórmula \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\) y luego verifica la respuesta con el teorema de Vieta.
¿Cómo determinar los signos de las raíces sin resolver la ecuación?
Por los signos de \(p\) y \(q\) cuando \(D \ge 0\): si \(q > 0\) y \(p < 0\) — ambas raíces son positivas; si \(q > 0\) y \(p > 0\) — ambas son negativas; si \(q < 0\) — las raíces tienen signos opuestos; si \(q = 0\) — una de las raíces es cero.
¿En qué grado se estudia el teorema de Vieta?
En 8º grado en las clases de álgebra, inmediatamente después de las ecuaciones cuadráticas y el discriminante. Más adelante se utiliza para descomponer un trinomio cuadrático en factores \(x^2 + px + q = (x - x_1)(x - x_2)\), para investigar raíces con un parámetro y en las tareas de la OGE y el EGE.
