Una inecuación es dos expresiones unidas por los signos <, >, ≤ o ≥. Resolver una inecuación significa encontrar todos los valores de la variable que la convierten en una inecuación numérica verdadera. La respuesta no será un solo número, sino un conjunto completo: un intervalo en el eje numérico o una unión de intervalos. En esta página se ha recopilado una base común para todos los tipos de inecuaciones: cómo leer los signos, qué transformaciones están permitidas, por qué el signo se invierte al dividir por un número negativo y cómo escribir correctamente la respuesta. Y a continuación, un resumen de todos los tipos de inecuaciones con enlaces a análisis detallados y un simulador para comprobarse.
Qué significa resolver una inecuación
Resolver una inecuación significa encontrar cualquier valor de la variable que la convierta en una inecuación numérica verdadera. Y resolver una inecuación significa encontrar todos esos valores y escribirlos como un conjunto.
Compara con una ecuación. Para la ecuación 2x = 8, la respuesta es un solo número x = 4. Para la inecuación 2x < 8, la respuesta son infinitos números: sirven 3, 0, -100 y 3.999. Es imposible escribirlos uno por uno, por lo que la respuesta se expresa como un intervalo: x < 4, es decir, (−∞; 4).
Comprobar si un número concreto es una solución es fácil: sustitúyelo en lugar de la variable y mira si obtienes una inecuación verdadera.
- x = 1 en la inecuación 2x < 8: 2 ⋅ 1 = 2 < 8 — ¡correcto, por lo tanto 1 es una solución!
- x = 5: 2 ⋅ 5 = 10 < 8 — ¡incorrecto, por lo tanto 5 no es una solución!
Dos inecuaciones se llaman equivalentes si tienen el mismo conjunto de soluciones. Toda la resolución de una inecuación es una cadena de pasos hacia una inecuación equivalente más simple hasta que solo quede una x a la izquierda.
Signos de inecuación: estrictos y no estrictos
Hay cuatro signos, y de cuál de ellos se trate depende la respuesta y la forma de escribirla. Los signos estrictos < y > no incluyen el punto límite en la respuesta, los no estrictos ≤ y ≥ sí la incluyen.
Esta diferencia se mantiene durante toda la resolución: un signo estricto da un punto vacío (hueco) en el eje y un paréntesis redondo en la respuesta, uno no estricto da un punto relleno y un corchete.
| Signo | Cómo se lee y qué indica en la respuesta |
|---|---|
| < | menor queestrictopunto vacío, paréntesis redondo |
| > | mayor queestrictopunto vacío, paréntesis redondo |
| ≤ | menor o igual queno estrictopunto relleno, corchete |
| ≥ | mayor o igual queno estrictopunto relleno, corchete |
Transformaciones equivalentes: qué se puede hacer con una inecuación
Con una inecuación se puede hacer casi lo mismo que con una ecuación, pero con una corrección importante. Se puede sumar y restar libremente: si se suma o se resta lo mismo a ambas partes, el conjunto de soluciones no cambia. Así es como los términos 'se pasan' al otro lado del signo, cambiando su signo.
Sin embargo, la multiplicación y la división dependen del signo del factor. Al multiplicar o dividir ambas partes por un número negativo, el signo de la inecuación se invierte: < se convierte en >, ≤ se convierte en ≥ y viceversa. La razón se ve en los números: de 3 < 5 (verdadero), al multiplicar por -1 se obtiene -3 y -5, y -3 > -5 — el orden de los números se ha invertido.
Lo mismo ocurre si se intercambian la parte izquierda y la derecha: de 7 < y se obtiene y > 7.
| Qué hacemos con ambas partes | Qué pasa con el signo |
|---|---|
| Sumamos o restamos el mismo número o expresión | el signo se mantiene |
| Multiplicamos o dividimos por un número positivo | el signo se mantiene |
| Multiplicamos o dividimos por un número negativo | el signo se invierte |
| Intercambiamos la parte izquierda y la derecha | el signo se invierte |
| Multiplicamos o dividimos por una expresión con variable (x - 2) | no está permitido |
Cómo escribir la respuesta: eje numérico e intervalos
Cuando la variable queda sola, la solución casi está lista, solo falta darle formato. Lo más cómodo es primero marcar la respuesta en el eje numérico y luego, desde el eje, calcular el intervalo.
Las reglas de escritura son solo tres y no cambian según el tipo de inecuación:
- Paréntesis redondo — el punto no se incluye en la respuesta (signo estricto, punto vacío);
- Corchete — el punto se incluye (signo no estricto, punto relleno);
- Para el infinito, el paréntesis siempre es redondo: (−∞; 4), [3; +∞) — la notación [−∞; 4] no existe, el infinito no es un número y no se puede alcanzar.
Si la solución resultan ser dos trozos del eje, se unen con el signo de unión ∪: por ejemplo, (−∞; −5) ∪ (3; +∞).
Tipos de inecuaciones y métodos para resolverlas
Las inecuaciones se distinguen por cómo entra la variable en ellas: si está elevada a la primera potencia, bajo un cuadrado, en el denominador o dentro de un valor absoluto. Esto es lo que determina el método de resolución, por lo que el primer paso de cualquier resolución es identificar el tipo de inecuación. La lógica general es la misma: llevar la inecuación a la forma 'expresión comparada con cero' y luego aplicar el método adecuado para este tipo. Un resumen de los tipos y métodos se encuentra en la tabla siguiente.
Por separado, hay que recordar cómo se resuelve el valor absoluto: la tabla no lo incluye. Para a > 0, la inecuación |f(x)| < a es equivalente a la inecuación doble -a < f(x) < a (se obtiene un sistema), y |f(x)| > a es equivalente a la disyunción f(x) < -a o f(x) > a (se obtiene una unión de intervalos). Si a < 0, no hay nada que pensar: el valor absoluto es no negativo, por lo que |f(x)| < a no tiene solución, y |f(x)| > a es verdadera para todas las x admisibles.
Las inecuaciones irracionales (con raíces) y exponenciales se estudian en cursos superiores: a las transformaciones habituales se añade el trabajo con el dominio de valores admisibles.
Análisis detallados de tipos específicos: inecuaciones lineales, inecuaciones racionales y método de intervalos, y las raíces de un trinomio cuadrático se encuentran fácilmente con el teorema de Vieta.
| Tipo | Cómo se ve y cómo se resuelve |
|---|---|
| Lineal | ax + b > 0movemos términos y dividimos por el coeficiente de x |
| Cuadrática | ax2 + bx + c > 0encontramos las raíces del trinomio y miramos la parábola |
| Racional | P(x) / Q(x) ≥ 0método de los intervalos, los ceros del denominador se marcan vacíos |
| Con valor absoluto | | f(x) | < aabrimos el valor absoluto según la definición |
| Sistema | dos desigualdades entre llavesresolvemos cada una, tomamos la intersección |
Sistemas y disyunciones de inecuaciones
A menudo, una inecuación se descompone en dos, y entonces es importante no confundir qué hacer con los conjuntos obtenidos.
Un sistema (llave) significa 'esto y aquello al mismo tiempo'. Se resuelve cada inecuación por separado, se marcan ambas respuestas en el mismo eje y se toma la intersección — la parte común. Si no hay parte común, el sistema no tiene solución.
Una disyunción (corchete) significa 'o esto, o aquello'. Aquí se toma la unión — todo lo que está sombreado por al menos una de las respuestas. Una disyunción aparece, por ejemplo, al resolver un valor absoluto con el signo 'mayor que'.
Por separado, está la doble inecuación del tipo -3 < 2x + 1 ≤ 7: es una forma abreviada de escribir un sistema. Las transformaciones se realizan simultáneamente en las tres partes — se resta, se divide, y al dividir por un número negativo, se invierten ambos signos juntos.
Ejemplos de resolución de inecuaciones
Ejemplo 1. Comprobar si un número es solución
Tarea. ¿Es x = -1 solución de la inecuación 3x + 5 ≥ 1?
Paso 1. Sustituimos -1 en lugar de x: 3 ⋅ (−1) + 5 = −3 + 5 = 2.
Paso 2. Comparamos con la parte derecha: 2 ≥ 1 — inecuación numérica verdadera.
Respuesta. Sí, -1 es una de las soluciones. Pero resolver la inecuación significa encontrar todos esos números, no solo uno: aquí la respuesta es x ≥ -4/3.
Ejemplo 2. Inecuación lineal con cambio de signo
Tarea. Resolver 7 - 3x < 1.
Paso 1. Movemos 7 a la derecha (es decir, restamos 7 a ambas partes — el signo de la inecuación no cambia): −3x < 1 − 7, por lo tanto −3x < −6.
Paso 2. Dividimos ambas partes por -3. El divisor es negativo, por lo tanto el signo se invierte: x > 2.
Paso 3. Marcamos en el eje: punto vacío en 2, sombreamos todo a la derecha.
Respuesta. x > 2, es decir, x ∈ (2; +∞).
Ejemplo 3. Inecuación cuadrática
Tarea. Resolver x² - 4x - 5 ≤ 0.
Paso 1. Encontramos las raíces del trinomio: D = 16 + 20 = 36, √D = 6, de donde x₁ = -1, x₂ = 5.
Paso 2. El coeficiente de x² es positivo, por lo tanto las ramas de la parábola apuntan hacia arriba: entre las raíces el trinomio es negativo, y fuera de las raíces es positivo.
Paso 3. Necesitamos el signo ≤ 0, es decir, valores negativos y las propias raíces (signo no estricto) — tomamos el segmento entre las raíces, incluyendo los extremos.
Respuesta. x ∈ [-1; 5].
Ejemplo 4. Inecuación con valor absoluto
Tarea. Resolver |x + 1| > 4.
Paso 1. El valor absoluto es mayor que un número positivo — significa que la expresión dentro del valor absoluto es mayor que 4 o menor que -4. Obtenemos una disyunción: x + 1 > 4 o x + 1 < -4.
Paso 2. Resolvemos cada una: de la primera x > 3, de la segunda x < -5.
Paso 3. Es una disyunción, por lo tanto tomamos la unión de los intervalos, no la intersección.
Respuesta. x ∈ (−∞; −5) ∪ (3; +∞).
Ejemplo 5. Sistema de inecuaciones
Tarea. Resolver el sistema de \(\begin{cases} 2x + 1 > -3 \\ x - 4 \le 0 \end{cases}\)
Paso 1. Primera inecuación: 2x > -4, dividimos por el positivo 2 — el signo se mantiene, x > -2.
Paso 2. Segunda inecuación: x ≤ 4.
Paso 3. Marcamos ambas respuestas en el mismo eje y tomamos la intersección — la parte sombreada dos veces. El límite izquierdo no se incluye (signo estricto), el derecho sí (no estricto).
Respuesta. x ∈ (−2; 4].
Errores comunes al resolver inecuaciones
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Dividieron por un número negativo y mantuvieron el signo anterior.
Al multiplicar o dividir ambas partes por un número negativo, el signo se invierte obligatoriamente por el opuesto. De -5x ≥ 10 se obtiene x ≤ -2, y no x ≥ -2. Puedes comprobarlo sustituyendo: x = -3 da 15 ≥ 10 — ¡correcto, por lo tanto la respuesta correcta es realmente 'menor o igual que'.
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Escriben un corchete para el infinito: [−∞; 7].
El infinito no es un número, no se puede 'alcanzar', por lo tanto el paréntesis junto a ∞ siempre es redondo: (−∞; 7]. El corchete solo se usa para un límite finito que se incluye en la respuesta.
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Confunden el tipo de paréntesis y el tipo de punto: un signo estricto se escribe con corchete.
Signo estricto (<, >) — el límite no se incluye: punto vacío y paréntesis redondo. No estricto (≤, ≥) — el límite se incluye: punto relleno y corchete. La comprobación es sencilla: sustituye el propio punto límite en la inecuación original y mira si el resultado es correcto.
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Multiplican ambas partes por una expresión con variable para 'eliminar la fracción'.
El signo de dicha expresión es desconocido, por lo que no está claro si invertir el signo de la inecuación o no — la transformación no es equivalente. En su lugar, se traslada todo a una parte, se reduce a una sola fracción y se aplica el método de intervalos.
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En la respuesta escriben un solo número: 'x = 3' en lugar de un conjunto.
La solución de una inecuación es un conjunto de valores. Escríbelo como un intervalo: x > 3, es decir, (3; +∞). Un solo número puede ser un elemento de la respuesta, pero no la respuesta en sí.
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Para un sistema toman la unión, y para una disyunción — la intersección.
Para un sistema (llave, 'y') — intersección, la parte común de los intervalos. Para una disyunción (corchete, 'o') — unión a través del signo ∪. Y además: la notación '-2 < x > 5' no tiene sentido — tal respuesta se expresa como una unión de dos intervalos.
Preguntas y respuestas
¿Qué significa resolver una inecuación?
Resolver una inecuación significa encontrar todos los valores de la variable que la convierten en una inecuación numérica verdadera, y escribirlos como un conjunto. La respuesta será un intervalo o una unión de intervalos, no un número aislado.
¿Qué tipos de inecuaciones existen?
Según la forma de la expresión con la variable, se distinguen lineales (ax + b > 0), cuadráticas (ax² + bx + c > 0), fraccionarias-racionales (variable en el denominador), con valor absoluto, irracionales y exponenciales. Por separado, se distinguen sistemas y disyunciones de inecuaciones. Por el signo de la inecuación, se dividen en estrictas (<, >) y no estrictas (≤, ≥).
¿Cuándo se invierte el signo de la inecuación?
En dos casos: cuando ambas partes se multiplican o dividen por un número negativo y cuando se intercambian la parte izquierda y la derecha. Al sumar, restar y dividir por un número positivo, el signo se mantiene.
¿Cuándo el paréntesis es redondo y cuándo es corchete?
Redondo — si el punto límite no se incluye en la respuesta (signo estricto, punto vacío en el eje). Corchete — si se incluye (signo no estricto, punto relleno). Cerca de +∞ y −∞, el paréntesis siempre es redondo.
¿En qué se diferencia la solución de una inecuación de la solución de una ecuación?
Las transformaciones son casi las mismas, pero para una ecuación la respuesta suele consistir en números aislados, mientras que para una inecuación son intervalos completos. Además, una inecuación tiene la regla de cambio de signo al multiplicar y dividir por un número negativo, que no existe en las ecuaciones.
¿Qué inecuación se considera fraccionaria y dónde se estudia?
Una inecuación se llama fraccionaria (fraccionaria-racional) cuando la variable está en el denominador, por ejemplo, P(x)/Q(x) ≥ 0; debido al denominador, tiene un dominio de valores admisibles y no se puede resolver con divisiones simples. El algoritmo paso a paso con ejemplos se encuentra en un material aparte inecuaciones racionales y método de intervalos.
¿En qué curso se estudian las inecuaciones?
Las inecuaciones lineales y los intervalos numéricos se estudian en 8º curso (en el temario de Merzlyak, en 9º), las inecuaciones cuadráticas y fraccionarias-racionales con el método de intervalos en 8º-9º curso, y las irracionales y exponenciales en cursos superiores.
