La fórmula cuadrática resuelve cualquier ecuación de segundo grado de la forma \(ax^2 + bx + c = 0\) (con \(a \neq 0\)). Sus raíces vienen dadas por \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\). En esta página verás qué significa cada parte, cómo usar la fórmula paso a paso, cómo el discriminante te indica cuántas soluciones esperar y ejemplos resueltos, además de un entrenador interactivo para que practiques de inmediato.
¿Qué es la fórmula cuadrática?
Una ecuación cuadrática es cualquier ecuación que puedas escribir en la forma estándar \(ax^2 + bx + c = 0\), donde \(a\), \(b\) y \(c\) son números y \(a \neq 0\). Los números \(a\), \(b\) y \(c\) se llaman coeficientes: \(a\) es el coeficiente de \(x^2\), \(b\) es el coeficiente de \(x\) y \(c\) es el término independiente.
La fórmula cuadrática proporciona las soluciones (las raíces) directamente a partir de estos tres coeficientes, sin necesidad de factorizar. Funciona para cualquier ecuación cuadrática, incluso para aquellas que no se factorizan fácilmente.
De dónde viene (deducción): la fórmula es lo que obtienes al completar el cuadrado en la ecuación general. Divide \(ax^2 + bx + c = 0\) entre \(a\), mueve el término independiente al otro lado, suma \(\left(\frac{b}{2a}\right)^2\) a ambos lados para formar un trinomio cuadrado perfecto y extrae la raíz cuadrada. El resultado es la fórmula única que aparece abajo, válida para cualquier \(a\), \(b\), \(c\).
El discriminante: cuántas raíces hay
La parte bajo la raíz cuadrada, \(b^2 - 4ac\), se llama discriminante (a menudo escrito como \(D\)). No necesitas completar toda la fórmula para saber cuántas soluciones tiene una ecuación: el signo del discriminante te lo dice inmediatamente.
Como no puedes extraer la raíz cuadrada real de un número negativo, el signo de \(D\) divide a toda ecuación cuadrática en exactamente tres casos: dos raíces, una raíz repetida o ninguna raíz real. En una gráfica, esto representa dónde la parábola \(y = ax^2 + bx + c\) corta el eje x: dos veces, una vez (en el vértice) o ninguna.
| Discriminante D = b² − 4ac | Raíces reales | Qué obtienes |
|---|---|---|
| D > 0 | Dos raíces reales distintas | La parábola corta el eje x dos veces. Usa ambos signos: x = (−b ± √D) / 2a. |
| D = 0 | Una raíz real (repetida) | La parábola toca el eje x en su vértice. El ± desaparece: x = −b / 2a. |
| D < 0 | No hay raíces reales | La parábola nunca toca el eje x. No existe raíz cuadrada real de un número negativo. |
Cómo usar la fórmula cuadrática: pasos
La fórmula cuadrática siempre funciona de la misma manera. Sigue estos cinco pasos en orden y nunca te fallará; la parte más difícil es simplemente leer los coeficientes (con sus signos) correctamente.
Ejemplos de fórmula cuadrática (paso a paso)
Ejemplo 1. Dos raíces reales (D > 0)
Resuelve \(2x^2 - 7x + 3 = 0\).
Pasos 1–2. Ya está en forma estándar, así que identifica los coeficientes: \(a = 2\), \(b = -7\), \(c = 3\).
Paso 3. Discriminante: \(D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4\cdot 2\cdot 3 = 49 - 24 = 25\).
Paso 4. \(D = 25 > 0\), por lo que hay dos raíces reales distintas.
Paso 5. Sustituye: \(x = \dfrac{-(-7) \pm \sqrt{25}}{2\cdot 2} = \dfrac{7 \pm 5}{4}\).
Usando el signo más: \(x = \dfrac{7 + 5}{4} = \dfrac{12}{4} = 3\). Usando el signo menos: \(x = \dfrac{7 - 5}{4} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}\).
Raíces: \(x = 3\) y \(x = \tfrac{1}{2}\).
Ejemplo 2. Una raíz repetida (D = 0)
Resuelve \(x^2 - 6x + 9 = 0\).
Pasos 1–2. Ya está en forma estándar: \(a = 1\), \(b = -6\), \(c = 9\).
Paso 3. Discriminante: \(D = (-6)^2 - 4\cdot 1\cdot 9 = 36 - 36 = 0\).
Paso 4. \(D = 0\), por lo que hay exactamente una raíz real (una raíz repetida). El término \(\pm\) desaparece porque \(\sqrt{0} = 0\).
Paso 5. \(x = \dfrac{-(-6) \pm \sqrt{0}}{2\cdot 1} = \dfrac{6}{2} = 3\).
Raíz: \(x = 3\) (esta cuadrática es el trinomio cuadrado perfecto \((x-3)^2 = 0\)).
Ejemplo 3. Sin raíces reales (D < 0)
Resuelve \(x^2 + 2x + 5 = 0\).
Pasos 1–2. Forma estándar: \(a = 1\), \(b = 2\), \(c = 5\).
Paso 3. Discriminante: \(D = 2^2 - 4\cdot 1\cdot 5 = 4 - 20 = -16\).
Paso 4. \(D = -16 < 0\). Como no puedes extraer la raíz cuadrada real de un número negativo, esta ecuación no tiene raíces reales; su parábola nunca cruza el eje x.
Paso 5. No se requiere más trabajo para soluciones reales. (Si has estudiado números complejos, las raíces son \(x = -1 \pm 2i\), pero para una respuesta real nos detenemos aquí).
Errores comunes con la fórmula cuadrática
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Equivocarse con el signo de b, especialmente cuando b es negativo.
La fórmula comienza con −b. Si b = −7, entonces −b = +7; los dos signos negativos se cancelan. Escribe la sustitución completa, p. ej. −(−7), antes de simplificar.
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Olvidar el ± y dar solo una raíz.
Cuando D > 0, el ± produce dos respuestas: una con + y otra con −. Calcula siempre ambos (−b + √D)/(2a) y (−b − √D)/(2a) a menos que D = 0.
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Dividir solo una parte del numerador por 2a.
Todo el numerador, −b ± √D, se divide por 2a, no solo la parte de √D. Mantenlo como una sola fracción: (−b ± √D) / (2a).
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Calcular mal el discriminante cuando a o c son negativos.
En D = b² − 4ac, restar 4ac cuando a·c es negativo en realidad suma. Para 3x² − 2x − 1, −4·3·(−1) = +12, así que D = 4 + 12 = 16, no 4 − 12.
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Aplicar la fórmula antes de escribir la ecuación en forma estándar.
Mueve cada término a un lado para que la ecuación quede ax² + bx + c = 0 primero. Por ejemplo, x² = 5x − 6 debe convertirse en x² − 5x + 6 = 0 antes de identificar a, b, c.
Preguntas frecuentes
¿Qué es la fórmula cuadrática?
La fórmula cuadrática es x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a). Proporciona las soluciones de cualquier ecuación cuadrática ax² + bx + c = 0 (con a ≠ 0) directamente a partir de los coeficientes a, b y c.
¿Cómo se usa la fórmula cuadrática paso a paso?
Escribe la ecuación en forma estándar ax² + bx + c = 0, identifica a, b y c con sus signos, calcula el discriminante D = b² − 4ac, comprueba su signo para ver cuántas raíces hay, luego sustituye en x = (−b ± √D) / (2a) y simplifica tanto la versión positiva como la negativa.
¿Qué es el discriminante y por qué es importante?
El discriminante es D = b² − 4ac, la expresión bajo la raíz cuadrada. Su signo te indica el número de raíces reales sin terminar el cálculo: D > 0 da dos raíces reales, D = 0 da una raíz repetida y D < 0 no da raíces reales.
¿Cuándo debería usar la fórmula cuadrática en lugar de factorizar?
La factorización es rápida cuando la cuadrática se factoriza con números enteros pequeños. La fórmula cuadrática funciona para cualquier cuadrática, incluidas las que no se factorizan fácilmente o que tienen raíces irracionales o no enteras, por lo que es la opción fiable cuando la factorización no es evidente.
¿De dónde viene la fórmula cuadrática?
Se deduce completando el cuadrado en la ecuación general ax² + bx + c = 0: divide por a, completa el cuadrado sumando (b/2a)², reescribe el lado izquierdo como un trinomio cuadrado perfecto y extrae la raíz cuadrada de ambos lados. El resultado es la fórmula cuadrática.
¿Puede la fórmula cuadrática no dar respuesta?
Si el discriminante es negativo (D < 0), no hay solución real porque no puedes extraer la raíz cuadrada real de un número negativo. La ecuación sigue teniendo dos raíces complejas, pero no hay raíces reales; en una gráfica, la parábola simplemente nunca toca el eje x.
