Propiedades de las potencias

Una potencia es una forma abreviada de escribir la multiplicación de factores iguales. La notación \(a^n\) significa que el número \(a\) se multiplica por sí mismo \(n\) veces:

Aquí, \(a\) es la base de la potencia (lo que se multiplica), y \(n\) es el exponente de la potencia (cuántas veces se multiplica). Por ejemplo, \(3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81\): la base es 3, el exponente es 4.

Dos notaciones que vale la pena recordar de inmediato: \(a^1 = a\) (una "copia" del número) y \(a^2\) es "cuadrado", \(a^3\) es "cubo". Todas las reglas a continuación funcionan precisamente con bases y exponentes: algunas propiedades requieren bases iguales, otras — exponentes iguales. Distinguir estos dos casos es más importante que memorizar las fórmulas de memoria.

Las ocho propiedades básicas de las potencias son convenientes para tenerlas a la vista en una sola tabla. Las primeras cinco funcionan para cualquier exponente, y las últimas tres amplían el concepto de potencia a exponentes cero, negativos y fraccionarios. Se explica cada propiedad con el motivo de su funcionamiento, seguido de ejemplos paso a paso y análisis de errores frecuentes, además de un simulador interactivo para que puedas comprobar tus conocimientos.

Estas son las dos operaciones más frecuentes con potencias.

Al multiplicar, los exponentes se suman, la base no cambia:

Por qué: en el primer factor hay \(m\) números iguales, en el segundo — \(n\), en total hay \(m+n\). Por ejemplo, \(2^5 \cdot 2^3 = 2^{5+3} = 2^8 = 256\).

Al dividir, los exponentes se restan (del exponente del dividendo restamos el exponente del divisor):

Por ejemplo, \(11^9 : 11^6 = 11^{9-6} = 11^3 = 1331\).

Importante: al sumar y restar potencias, los exponentes no se suman. La expresión \(2^3 + 2^4\) no se puede simplificar a una sola potencia: \(2^3 + 2^4 = 8 + 16 = 24\), mientras que \(2^7 = 128\). Las propiedades solo funcionan para multiplicación y división.

La base tampoco cambia al multiplicar. \(2^3 \cdot 2^4\) es \(2^7\), no \(4^7\): sumamos los exponentes y la base se escribe tal cual.

Potencia de una potencia — los exponentes se multiplican:

Por ejemplo, \((4^3)^2 = 4^{3 \cdot 2} = 4^6 = 4096\).

Potencia de un producto — cada factor se eleva a la potencia:

Por ejemplo, \((2 \cdot 5)^3 = 2^3 \cdot 5^3 = 8 \cdot 125 = 1000\).

Potencia de un cociente — tanto el numerador como el denominador se elevan a la potencia:

Por ejemplo, \(\left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16}\).

Las dos últimas fórmulas se usan a menudo de derecha a izquierda — entonces permiten multiplicar potencias con bases diferentes pero exponentes iguales: \(4^3 \cdot 25^3 = (4 \cdot 25)^3 = 100^3 = 1\,000\,000\).

Y si las bases y los exponentes son diferentes, la expresión generalmente se lleva a una base común: se observa que los números son potencias del mismo número. Por ejemplo, \(9^4 = (3^2)^4 = 3^8\), y el producto \(4^3 \cdot 8^2\) se convierte en \((2^2)^3 \cdot (2^3)^2 = 2^6 \cdot 2^6 = 2^{12}\).

Cualquier número distinto de cero elevado a la potencia cero es igual a uno:

Esto no es una invención, sino una consecuencia de la regla de división: \(6^3 : 6^3 = 6^{3-3} = 6^0\), pero el mismo cociente es \(216 : 216 = 1\). Por lo tanto, \(6^0 = 1\). La expresión \(0^0\) no está definida.

Un exponente negativo significa uno dividido por la potencia:

Por ejemplo, \(2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}\), y \(10^{-2} = \frac{1}{100} = 0{,}01\).

Una consecuencia útil: una fracción elevada a un exponente negativo se invierte, y el exponente se vuelve positivo:

El signo menos en el exponente no hace que el número sea negativo. La notación \(2^{-3}\) es una fracción positiva \(\frac{1}{8}\), no \(-8\). El signo del exponente es responsable de la "inversión", no del signo del resultado.

Lo principal: las ocho propiedades de la tabla siguen funcionando tanto para el exponente cero como para el negativo — por ejemplo, \(x^{-2} \cdot x^{-5} = x^{-7}\).

Un exponente fraccionario es otra forma de escribir una raíz:

El denominador de la fracción indica el grado de la raíz, el numerador — la potencia del radicando. Ejemplos: \(16^{\frac{1}{2}} = \sqrt{16} = 4\), \(32^{\frac{1}{5}} = \sqrt[5]{32} = 2\), \(27^{\frac{2}{3}} = \left(\sqrt[3]{27}\right)^2 = 3^2 = 9\).

Restricción: para un denominador par \(n\), la base debe ser no negativa (\(a \geqslant 0\)) — la raíz de grado par de un número negativo no se extrae en el curso escolar.

¿Para qué sirve esto?: con exponentes fraccionarios funcionan las mismas propiedades, por lo que las raíces se pueden multiplicar y dividir convenientemente, traduciéndolas a potencias. Por ejemplo, \(\sqrt{7} \cdot \sqrt[4]{7} = 7^{\frac{1}{2}} \cdot 7^{\frac{1}{4}} = 7^{\frac{3}{4}}\).

Si la base es negativa, el signo del resultado depende de la paridad del exponente:

• exponente par — el resultado es positivo: \((-3)^2 = 9\);
• exponente impar — el resultado es negativo: \((-3)^3 = -27\).

Es especialmente importante distinguir las notaciones con y sin paréntesis: \((-3)^2 = 9\), pero \(-3^2 = -9\). En el segundo caso, solo el tres se eleva al cuadrado, y el signo menos permanece delante. Esta es la pérdida de signo más frecuente en los exámenes.

Es útil recordar por separado las potencias de menos uno: \((-1)^{100} = 1\), y \((-1)^{101} = -1\) — un exponente par da \(+1\), uno impar da \(-1\).

Cuando en una expresión hay potencias y operaciones normales, el orden es el siguiente: primero los paréntesis, luego las potencias y raíces, después la multiplicación y división, y solo al final la suma y la resta.

Por ejemplo, \(5 + 2 \cdot 3^2 = 5 + 2 \cdot 9 = 5 + 18 = 23\): primero elevamos al cuadrado, y solo entonces multiplicamos y sumamos.