Квадратно уравнение е уравнение от вида \(ax^2 + bx + c = 0\), където \(a \neq 0\). Броят на неговите корени се определя от дискриминантата \(D = b^2 - 4ac\), а самите корени се намират по формулата \(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\). На тази страница е събрано всичко по темата: стандартна форма и коефициенти, три вида непълни уравнения, дискриминанта и три случая, формула за корените и нейният „четен“ вариант, приведено уравнение и теорема на Виет, разлагане на множители и биквадратни уравнения — с примери стъпка по стъпка, анализ на чести грешки и интерактивен тренажор.
Какво е квадратно уравнение
Квадратно уравнение е уравнение от вида
където \(x\) е неизвестното, а \(a\), \(b\), \(c\) са числа (коефициенти), като \(a \neq 0\). Този запис се нарича стандартна форма на квадратното уравнение: отляво събираемите са подредени по намаляваща степен, отдясно стои нула.
Условието \(a \neq 0\) не е формалност. Именно събираемото \(ax^2\) прави уравнението квадратно: при \(a = 0\) остава \(bx + c = 0\), т.е. обикновено линейно уравнение с един корен. Затова в задачи с параметър първо се проверява дали старшият коефициент не се нулира.
Уравнението може да се приведе към стандартен вид почти винаги: разкриват се скобите, всички членове се пренасят отляво и се извършва приведение. Например \(5x^2 = 3x - 2\) след пренасяне става \(5x^2 - 3x + 2 = 0\), откъдето \(a = 5\), \(b = -3\), \(c = 2\). Терминът „квадратично уравнение“ означава точно същото — това е просто друго име.
Пълни и непълни квадратни уравнения
Ако и трите коефициента са различни от нула, уравнението се нарича пълно. Ако \(b\) или \(c\) (или и двата) са равни на нула — непълно. Има точно три вида непълни уравнения и нито един от тях не изисква дискриминанта: всяко се решава за един-два реда, което е най-бързият начин да спестите време на контролна.
Ключовата идея за \(ax^2 + bx = 0\) е изнасяне на общ множител. Произведението \(x(ax + b)\) е равно на нула тогава и само тогава, когато поне един от множителите е нула, откъдето веднага получаваме два корена. За \(ax^2 + c = 0\) идеята е друга: изразяваме \(x^2\) и проверяваме знака на полученото число — квадратът на реално число не може да бъде отрицателен.
| Вид уравнение | Как се решава |
|---|---|
| ax2 + c = 02x2 − 50 = 0 | Пренасяме c надясно и делим на a: x2 = −c/a. Коренуваме, като не забравяме втория знак.x = 5 и x = −5 |
| ax2 + bx = 0x2 + 7x = 0 | Изнасяме x пред скоби: x(ax + b) = 0. Произведението е нула, когато един от множителите е нула.x = 0 и x = −7 |
| ax2 = 09x2 = 0 | Делим на a и коренуваме нулата. Коренът винаги е точно един.x = 0 |
Дискриминанта: как да я намерим и колко корена ще има
Дискриминантата е число, което се изчислява чрез коефициентите на пълното уравнение:
Самото име означава „различител“: дискриминантата не решава уравнението, тя само различава три ситуации — два корена, един корен или никакви корени. Затова въпросът „колко корена има уравнението“ се решава без намиране на самите корени.
\(D\) трябва да се пресмята внимателно: \(b^2\) винаги е положително, дори ако самото \(b\) е отрицателно, а знаците на \(a\) и \(c\) влизат в произведението \(4ac\) такива, каквито са. Да вземем \(x^2 + 4x - 5 = 0\): тук \(a = 1\), \(b = 4\), \(c = -5\), значи \(D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36\). Дискриминантата е положителна, значи ще има два корена.
Формула за корените на квадратно уравнение
Когато \(D \ge 0\), корените се намират по основната формула в темата:
Знакът \(\pm\) означава две изчисления: веднъж със събиране и веднъж с изваждане. При \(D = 0\) и двете изчисления дават едно и също число \(x = -\dfrac{b}{2a}\) — този корен се нарича двукратен.
Две места, където най-често се греши: в числителя стои минус \(b\) (за \(b = -7\) това е \(+7\)), а в знаменателя — \(2a\), а не просто \(2\). При \(a = 1\) разликата не се забелязва, затова грешката се появява именно там, където старшият коефициент е различен от единица.
Да решим \(2x^2 - 9x - 5 = 0\): \(D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 81 + 40 = 121\), \(\sqrt{D} = 11\), затова \(x_1 = \dfrac{9 + 11}{4} = 5\) и \(x_2 = \dfrac{9 - 11}{4} = -0{,}5\).
Четен втори коефициент: формула с D₁
Ако \(b\) е четно число, е удобно да го запишем като \(b = 2k\) и да пресметнем „намалената“ дискриминанта:
Числата в изчисленията стават четири пъти по-малки (\(D = 4D_1\)), а знакът на \(D_1\) е същият като на \(D\) — значи изводът за броя на корените не се променя.
Пример: \(3x^2 + 8x - 3 = 0\). Тук \(b = 8\), т.е. \(k = 4\), и \(D_1 = 4^2 - 3 \cdot (-3) = 16 + 9 = 25\), \(\sqrt{D_1} = 5\). Тогава \(x_1 = \dfrac{-4 + 5}{3} = \dfrac{1}{3}\) и \(x_2 = \dfrac{-4 - 5}{3} = -3\). По обикновената формула би трябвало да работим с \(D = 100\) — резултатът е същият, но аритметиката е повече.
Приведено уравнение и теорема на Виет
Уравнение с \(a = 1\) се нарича приведено и се записва като \(x^2 + px + q = 0\). Всяко квадратно уравнение се привежда към такъв вид чрез делене на \(a\): например \(4x^2 - 12x + 8 = 0\) след делене на 4 става \(x^2 - 3x + 2 = 0\).
Приведената форма е ценна с това, че за нея работи теоремата на Виет: сборът на корените е равен на \(-p\), а произведението им е равно на \(q\). За \(x^2 - 7x + 10 = 0\) ни трябват две числа със сбор 7 и произведение 10 — това са 2 и 5, и не се наложи да смятаме дискриминанта.
Подборът по Виет помага, когато корените са цели и малки, а освен това безплатно проверява отговора, намерен чрез дискриминанта: сборът трябва да даде \(-p\), а произведението — \(q\). Формулите за общия вид, обратната теорема и алгоритъмът за подбор са разгледани в отделен материал — теорема на Виет.
Разлагане на квадратен тричлен на множители
Ако корените \(x_1\) и \(x_2\) са намерени, квадратният тричлен се разлага на множители:
Множителят \(a\) не трябва да се забравя — без него равенството спира да бъде вярно. Проверката на разлагането винаги е лесна: разкриват се скобите и се сравнява с първоначалния тричлен. Да кажем, при \(x^2 + 2x - 8\) корените са 2 и \(-4\), затова \(x^2 + 2x - 8 = (x - 2)(x + 4)\).
Работи и обратният ход: ако тричленът успее да се разложи наум, корените се виждат веднага и дискриминантата не е нужна. Тук помагат формулите за съкратено умножение — например \(x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)\) дава корените \(4\) и \(-4\) мигновено.
Третият начин да се мине без формула за корените е отделяне на точен квадрат. В \(x^2 + 6x + 5 = 0\) първите две събираеми се допълват до квадрат на сбор: \((x + 3)^2 - 9 + 5 = 0\), т.е. \((x + 3)^2 = 4\), откъдето \(x + 3 = \pm 2\) и \(x = -1\) или \(x = -5\). Именно чрез този похват се извежда формулата за корените в общ вид.
Уравнения, свеждащи се до квадратни: биквадратни
Биквадратното уравнение има вида \(ax^4 + bx^2 + c = 0\): степените са само четни. Решава се чрез полагане \(t = x^2\), задължително с условието \(t \ge 0\) — квадратът на реално число не може да бъде отрицателен.
След полагането се получава обикновено квадратно уравнение \(at^2 + bt + c = 0\). То се решава чрез дискриминанта, а след това за всеки неотрицателен корен \(t\) се връщаме към \(x = \pm\sqrt{t}\). Оттук и броят на корените: до четири.
Например \(x^4 - 5x^2 + 4 = 0\) след полагане дава \(t^2 - 5t + 4 = 0\) с корени \(t = 1\) и \(t = 4\). И двата са положителни, затова \(x = \pm 1\) и \(x = \pm 2\) — общо четири корена. Ако някое от \(t\) се окажеше отрицателно, просто щяхме да го отхвърлим.
Със същия похват се решават дробно-рационални уравнения (след привеждане към общ знаменател и отхвърляне на недопустимите стойности) и уравнения с полагане от вида \(t = x^2 + 3x\).
Примери за решаване на квадратни уравнения
Пример 1. Пълно уравнение, D > 0
Да се реши \(3x^2 - 7x + 2 = 0\).
Стъпка 1. Уравнението вече е в стандартен вид: \(a = 3\), \(b = -7\), \(c = 2\).
Стъпка 2. \(D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25 > 0\) — два корена.
Стъпка 3. \(\sqrt{D} = 5\), затова \(x_{1,2} = \dfrac{7 \pm 5}{6}\): \(x_1 = \dfrac{12}{6} = 2\), \(x_2 = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}\).
Стъпка 4. Проверка чрез заместване. \(3 \cdot 2^2 - 7 \cdot 2 + 2 = 12 - 14 + 2 = 0\); \(3 \cdot \left(\tfrac{1}{3}\right)^2 - 7 \cdot \tfrac{1}{3} + 2 = \tfrac{1}{3} - \tfrac{7}{3} + 2 = 0\).
Отговор: \(x_1 = 2\), \(x_2 = \dfrac{1}{3}\).
Пример 2. Дискриминантата е равна на нула
Да се реши \(4x^2 - 12x + 9 = 0\).
Стъпка 1. \(a = 4\), \(b = -12\), \(c = 9\).
Стъпка 2. \(D = (-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 144 - 144 = 0\) — един корен.
Стъпка 3. \(x = -\dfrac{b}{2a} = \dfrac{12}{8} = 1{,}5\).
Стъпка 4. Проверка. \(4 \cdot 1{,}5^2 - 12 \cdot 1{,}5 + 9 = 9 - 18 + 9 = 0\).
Отговор: \(x = 1{,}5\). Забележи: лявата страна е точен квадрат \((2x - 3)^2\), затова коренът е един.
Пример 3. Отрицателна дискриминанта
Да се реши \(2x^2 + 3x + 5 = 0\).
Стъпка 1. \(a = 2\), \(b = 3\), \(c = 5\).
Стъпка 2. \(D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 9 - 40 = -31 < 0\).
Стъпка 3. Дискриминантата е отрицателна, значи не може да се извлече \(\sqrt{D}\) сред реалните числа. Формулата за корените не трябва да се прилага — решението приключва тук.
Отговор: няма реални корени. Това е пълноценен отговор, а не признак за грешка: графиката на функцията \(y = 2x^2 + 3x + 5\) просто не пресича оста \(x\).
Пример 4. Непълно уравнение от вида ax² + c = 0
Да се реши \(3x^2 - 27 = 0\).
Стъпка 1. Пренасяме свободния член: \(3x^2 = 27\).
Стъпка 2. Делим на 3: \(x^2 = 9\).
Стъпка 3. Квадратът е равен на 9 при две числа: \(x = 3\) и \(x = -3\). Вторият знак се губи най-често.
Стъпка 4. Проверка. \(3 \cdot 3^2 - 27 = 0\); \(3 \cdot (-3)^2 - 27 = 27 - 27 = 0\).
Отговор: \(x_1 = 3\), \(x_2 = -3\). Сравни с уравнението \(2x^2 + 8 = 0\): там \(x^2 = -4\) и няма реални корени.
Пример 5. Непълно уравнение от вида ax² + bx = 0
Да се реши \(5x^2 - 15x = 0\).
Стъпка 1. Изнасяме общ множител: \(5x(x - 3) = 0\).
Стъпка 2. Произведението е нула, когато един от множителите е нула: \(5x = 0\) или \(x - 3 = 0\).
Стъпка 3. Оттук \(x_1 = 0\), \(x_2 = 3\).
Стъпка 4. Проверка. \(5 \cdot 0^2 - 15 \cdot 0 = 0\); \(5 \cdot 3^2 - 15 \cdot 3 = 45 - 45 = 0\).
Отговор: \(x_1 = 0\), \(x_2 = 3\). Ако съкратим първоначалното уравнение на \(x\), ще остане само \(x = 3\) — коренът \(x = 0\) ще изчезне. Не може да се дели на израз с неизвестно.
Пример 6. Четен втори коефициент
Да се реши \(5x^2 - 22x + 8 = 0\).
Стъпка 1. \(b = -22\) — четно, затова \(k = -11\), а \(a = 5\), \(c = 8\).
Стъпка 2. \(D_1 = k^2 - ac = (-11)^2 - 5 \cdot 8 = 121 - 40 = 81\), \(\sqrt{D_1} = 9\).
Стъпка 3. \(x_{1,2} = \dfrac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a} = \dfrac{11 \pm 9}{5}\): \(x_1 = 4\), \(x_2 = \dfrac{2}{5} = 0{,}4\).
Стъпка 4. Проверка. \(5 \cdot 4^2 - 22 \cdot 4 + 8 = 80 - 88 + 8 = 0\); \(5 \cdot 0{,}4^2 - 22 \cdot 0{,}4 + 8 = 0{,}8 - 8{,}8 + 8 = 0\).
Отговор: \(x_1 = 4\), \(x_2 = 0{,}4\). Обикновената дискриминанта би дала \(D = 324\) — същият отговор, но би отнело повече време.
Пример 7. Първо привеждане към стандартен вид
Да се реши \((x - 3)(x + 5) = 9\).
Стъпка 1. Разкриваме скобите: \(x^2 + 5x - 3x - 15 = 9\), т.е. \(x^2 + 2x - 15 = 9\).
Стъпка 2. Пренасяме деветката отляво: \(x^2 + 2x - 24 = 0\). Едва сега можем да изпишем коефициентите: \(a = 1\), \(b = 2\), \(c = -24\).
Стъпка 3. \(D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100\), \(\sqrt{D} = 10\), \(x_{1,2} = \dfrac{-2 \pm 10}{2}\): \(x_1 = 4\), \(x_2 = -6\).
Стъпка 4. Проверка в първоначалното уравнение. \((4 - 3)(4 + 5) = 1 \cdot 9 = 9\); \((-6 - 3)(-6 + 5) = (-9) \cdot (-1) = 9\).
Отговор: \(x_1 = 4\), \(x_2 = -6\). Честа грешка тук е да се приравни всяка скоба на 9: правилото „произведението е нула“ работи само за нула.
Пример 8. Разлагане на тричлен на множители
Да се разложи \(2x^2 - 5x - 3\) на множители.
Стъпка 1. Приравняваме тричлена на нула и намираме корените: \(D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49\), \(\sqrt{D} = 7\), \(x_{1,2} = \dfrac{5 \pm 7}{4}\): \(x_1 = 3\), \(x_2 = -\dfrac{1}{2}\).
Стъпка 2. Заместваме във формулата \(a(x - x_1)(x - x_2)\): \(2(x - 3)\left(x + \tfrac{1}{2}\right)\).
Стъпка 3. Двойката е удобно да се внесе във втората скоба: \((x - 3)(2x + 1)\).
Стъпка 4. Проверка чрез разкриване на скобите. \((x - 3)(2x + 1) = 2x^2 + x - 6x - 3 = 2x^2 - 5x - 3\).
Отговор: \(2x^2 - 5x - 3 = (x - 3)(2x + 1)\).
Пример 9. Биквадратно уравнение
Да се реши \(x^4 - 13x^2 + 36 = 0\).
Стъпка 1. Полагане \(t = x^2\), където \(t \ge 0\). Уравнението се превръща в \(t^2 - 13t + 36 = 0\).
Стъпка 2. \(D = (-13)^2 - 4 \cdot 36 = 169 - 144 = 25\), \(\sqrt{D} = 5\), \(t_{1,2} = \dfrac{13 \pm 5}{2}\): \(t_1 = 9\), \(t_2 = 4\).
Стъпка 3. И двете стойности са неотрицателни, затова се връщаме към \(x\): от \(x^2 = 9\) получаваме \(x = \pm 3\), от \(x^2 = 4\) — \(x = \pm 2\).
Стъпка 4. Проверка. \(3^4 - 13 \cdot 3^2 + 36 = 81 - 117 + 36 = 0\); \(2^4 - 13 \cdot 2^2 + 36 = 16 - 52 + 36 = 0\). За отрицателните стойности четните степени дават същите числа.
Отговор: \(x = \pm 2\) и \(x = \pm 3\) — четири корена.
Чести грешки при решаване на квадратни уравнения
-
Пресмятат дискриминантата, без да приведат уравнението към стандартен вид: за $2x^2 + 3x = x^2 + 5$ веднага вземат $a = 2$, $b = 3$, $c = 0$.
Първо пренасяме всичко отляво и привеждаме подобните: \(2x^2 + 3x - x^2 - 5 = 0\), т.е. \(x^2 + 3x - 5 = 0\). Едва оттук \(a = 1\), \(b = 3\), \(c = -5\). Формулата за корените работи единствено със стандартния вид.
-
Губят знака при повдигане на $b$ на квадрат: за $x^2 - 9x + 14 = 0$ пишат $D = -81 - 56$.
Квадратът на всяко число е неотрицателен: \((-9)^2 = 81\), а не \(-81\). Вярно е \(D = 81 - 56 = 25\), корените са \(x = \dfrac{9 \pm 5}{2}\), т.е. 7 и 2. Проверка: \(49 - 63 + 14 = 0\) и \(4 - 18 + 14 = 0\).
-
В числителя оставят $b$ вместо $-b$: за $x^2 + 5x - 6 = 0$ смятат $x = \dfrac{5 \pm 7}{2}$.
Във формулата стои \(-b\), затова при \(b = 5\) в числителя ще бъде \(-5\): \(x = \dfrac{-5 \pm 7}{2}\), откъдето \(x_1 = 1\), \(x_2 = -6\). Заместването потвърждава: \(1 + 5 - 6 = 0\) и \(36 - 30 - 6 = 0\).
-
При $D = 0$ пишат „няма корени“: при $x^2 + 14x + 49 = 0$ дискриминантата е нулева и решението се прекъсва.
Няма корени само при \(D < 0\). При \(D = 0\) коренът е точно един: \(x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{14}{2} = -7\). Проверка: \(49 - 98 + 49 = 0\).
-
Съкращават уравнението $4x^2 - 9x = 0$ на $x$ и получават единствен корен $x = 2{,}25$.
Не може да се дели на израз с неизвестно: \(x\) може да бъде нула и коренът \(x = 0\) се губи. Правилно е да се изнесе множител: \(x(4x - 9) = 0\), откъдето \(x_1 = 0\) и \(x_2 = 2{,}25\). Проверка: \(4 \cdot 2{,}25^2 - 9 \cdot 2{,}25 = 20{,}25 - 20{,}25 = 0\).
-
В уравнението $x^2 = 16$ записват само $x = 4$.
Квадратът е равен на 16 и при числото \(-4\). Трябва да се запишат и двата корена: \(x = \pm 4\). По-надеждно е да се решава чрез стандартния вид \(x^2 - 16 = 0\), т.е. \((x - 4)(x + 4) = 0\) — тогава и двата множителя се виждат веднага.
-
Не проверяват условието $a \neq 0$ в уравнение с параметър: в $(m - 2)x^2 + 3x - 1 = 0$ веднага смятат дискриминантата.
При \(m = 2\) старшият коефициент става нула и уравнението става линейно \(3x - 1 = 0\) с единствен корен \(x = \dfrac{1}{3}\). Случаят \(m = 2\) се разглежда отделно, а формулата за корените се прилага само при \(m \neq 2\).
Въпроси и отговори
Какво е квадратно уравнение?
Това е уравнение от вида \(ax^2 + bx + c = 0\), където \(a\), \(b\), \(c\) са числа и \(a \neq 0\). Неизвестното влиза в него на втора степен, затова корените могат да бъдат два, един или нито един.
Как изглежда стандартната форма на квадратното уравнение?
Стандартната (общата) форма е \(ax^2 + bx + c = 0\): всички събираеми са събрани отляво по намаляваща степен, отдясно е нула. Към нея се привежда всяко квадратно уравнение преди изчисляване на дискриминантата.
Как да намерим дискриминантата?
По формулата \(D = b^2 - 4ac\), като заместваме коефициентите заедно с техните знаци. Например за \(x^2 + 3x - 10 = 0\) получаваме \(D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49\), а корените са равни на \(\dfrac{-3 \pm 7}{2}\), т.е. 2 и \(-5\).
Каква е формулата за корените на квадратно уравнение?
\(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), или по-кратко \(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\). Тя се прилага при \(D \ge 0\); в знаменателя стои точно \(2a\), а не 2.
Колко корена може да има едно квадратно уравнение?
Не повече от два. При \(D > 0\) корените са два, при \(D = 0\) — един (двукратен), при \(D < 0\) няма реални корени.
Какво е непълно квадратно уравнение?
Това е уравнение, при което \(b = 0\), \(c = 0\) или и двете едновременно: \(ax^2 + c = 0\), \(ax^2 + bx = 0\), \(ax^2 = 0\). И трите се решават без дискриминанта — чрез пренасяне на събираемо или изнасяне на \(x\) пред скоби.
Как да решаваме квадратни уравнения без дискриминанта?
Има три пътя: подбор на корени по теоремата на Виет за приведено уравнение, разлагане на множители и отделяне на точен квадрат. Най-бързо работи подборът, когато корените са малки цели числа.
Какво да правим, ако дискриминантата е отрицателна?
Да запишем, че няма реални корени, и да приключим решението. Отрицателната дискриминанта е нормален отговор: графиката на съответната парабола не пресича оста \(x\). Корени в такъв случай съществуват само сред комплексните числа, а те се изучават по-късно.
Как да проверим намерените корени?
Да заменим всеки корен в първоначалното уравнение — трябва да се получи вярно равенство. За приведено уравнение има и бърза проверка по теоремата на Виет: сборът на корените е равен на \(-p\), произведението е равно на \(q\).
Квадратно и квадратично уравнение едно и също ли е?
Да, това са две имена на един и същ обект \(ax^2 + bx + c = 0\). Не го бъркай с квадратната функция \(y = ax^2 + bx + c\): корените на уравнението са точно абсцисите на точките, където графиката на функцията пресича оста \(x\).
В кой клас се учат квадратните уравнения?
В 8 клас по алгебра: първо непълните уравнения, след това дискриминантата, формулата за корените и теоремата на Виет. По-нататък темата се среща в квадратната функция, неравенствата, задачите от НВО и ДЗИ.
