Пропорция е равенство на две отношения, например \(2:3 = 8:12\). За да решаваме пропорции, е нужен само един инструмент — основното свойство на пропорцията: произведението на крайните членове е равно на произведението на средните. В училище го наричат правилото „на кръст“. По-долу — какво е отношение и пропорция, как да намерим неизвестен член, с какво правата пропорционалност се различава от обратната, разбор на задачи за рецепта, мащаб и цена, преминаване към проценти и тренажор от 10 задачи.
Какво е отношение и пропорция
Отношение на две числа е тяхното частно. Отношението \(2:3\) (чете се „две към три“) показва колко пъти едното число е по-голямо от другото или каква част едното представлява от другото. Може да се запише по два начина: \(2:3\) или като дроб \(\frac{2}{3}\) — това е едно и също.
Пропорция е равенство на две отношения:
В пропорцията има общо четири числа и те имат имена. Числата по краищата на записа са крайни членове, числата в средата са средни членове. Пропорцията е вярна, когато и двете отношения са равни на едно и също число.
Основно свойство на пропорцията: правилото „на кръст“
Основно свойство на пропорцията: произведението на крайните членове е равно на произведението на средните.
Защо се получава така? Умножаваме двете страни на равенството \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) по \(b \cdot d\). Отляво ще се съкрати \(b\), отдясно — \(d\), и ще остане точно \(a \cdot d = c \cdot b\). Никаква магия — обикновено свойство на равенствата.
Именно това учениците наричат „решаване на пропорции на кръст“: числата се умножават по диагонал, на кръст. Свойството работи и в обратна посока: ако за четири числа (нито едно от тях не е нула) е изпълнено \(a \cdot d = b \cdot c\), то от тях може да се състави вярна пропорция.
Оттук веднага следват две умения: да проверим дали пропорцията е вярна, и да намерим неизвестно число в нея.
Как да намерим неизвестен член на пропорция
От основното свойство произтичат две кратки правила:
- неизвестен краен член = произведение на средните : известен краен;
- неизвестен среден член = произведение на крайните : известен среден.
Не е задължително да ги помните наизуст. Достатъчен е един универсален похват: умножаваме на кръст, получаваме равенство от вида „число \(\cdot\, x\) = число“ и делим. Ще разгледаме това стъпка по стъпка с пропорцията \(x : 7 = 12 : 21\).
Последната стъпка — проверката — отнема пет секунди и улавя почти всяка аритметична грешка, затова не бива да се пропуска.
Права и обратна пропорционалност
Две величини наричаме право пропорционални, ако при увеличаване на едната в няколко пъти, другата се увеличава толкова пъти. Купили два пъти повече тетрадки — платили два пъти повече. При такива величини тяхното отношение е постоянно.
Величините са обратно пропорционални, ако при увеличаване на едната в няколко пъти, другата намалява толкова пъти. Два пъти повече работници — два пъти по-малко дни за същата работа. При такива величини тяхното произведение е постоянно.
Основната разлика се вижда в момента, когато записваме пропорцията. За права зависимост тя се съставя „както си е“: \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}\). За обратна второто отношение се обръща: \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_2}{b_1}\).
Защо? За обратна зависимост произведението е постоянно: \(a_1 \cdot b_1 = a_2 \cdot b_2\). Делим двете страни на \(a_2 \cdot b_1\) — и получаваме точно \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_2}{b_1}\). Така че „обръщането“ не е заклинание, което трябва да се помни, а следствие от това, че постоянно остава произведението, а не отношението.
| Признак | Права | Обратна |
|---|---|---|
| Връзка | повече → повече | повече → по-малко |
| Постоянно | отношение a : b | произведение a × b |
| Запис | a₁ : a₂ = b₁ : b₂ | a₁ : a₂ = b₂ : b₁ |
| Пример | 3 химикалки — 90 лв, 5 химикалки — 150 лв | 4 бояджии — 9 дни, 6 бояджии — 6 дни |
Как да съставим пропорция към задача: рецепта, мащаб, цена
Текстовите задачи „за пропорция“ се решават по един сценарий:
- Изписваме условието в две колони така, че еднакви величини да стоят една под друга (порции под порции, грамове под грамове).
- Обозначаваме търсеното с \(x\).
- Определяме типа зависимост: мислено увеличаваме първата величина и гледаме дали втората се увеличава или намалява.
- Съставяме пропорцията — при обратна зависимост обръщаме второто отношение.
- Решаваме на кръст и проверяваме дали отговорът е разумен.
Ще покажем с рецепта. За 4 порции палачинки са нужни 300 г брашно — колко брашно е нужно за 6 порции? Порциите са повече, следователно и брашното е повече: зависимостта е права, пропорцията се съставя „както си е“:
За 6 порции са нужни 450 г брашно. Отговорът е разумен: порциите са станали 1,5 пъти повече, и брашното е нужно 1,5 пъти повече.
Точно така се решават задачите за мащаб (разстоянието на картата се отнася към разстоянието на местността както 1 към числото на мащаба) и за цена (количеството стока се отнася към количеството както стойността към стойността). Пълни разбори — в примерите по-долу.
Проценти чрез пропорция
Процентът е стотна част от числото, затова всяка проста задача за проценти се превръща в пропорция:
Някъде едно от четирите числа е неизвестно — него и намираме на кръст.
Намиране на част. Колко ще бъде 15% от 240? Съставяме \(x : 240 = 15 : 100\), следователно \(100x = 240 \cdot 15 = 3600\) и \(x = 36\).
Намиране на цяло. Числото 21 представлява 35% от някакво число. Съставяме \(21 : x = 35 : 100\), следователно \(35x = 21 \cdot 100 = 2100\) и \(x = 60\).
Намиране на процент. Какъв процент е 18 от 45? Съставяме \(18 : 45 = p : 100\), следователно \(45p = 18 \cdot 100 = 1800\) и \(p = 40\), тоест 40%.
Един похват — три различни типа задачи, нищо допълнително не трябва да се помни. Отделно стои само въпросът „с колко процента величината е нараснала или намаляла“: там първо се намира изменението, а след това то се дели на първоначалната стойност — това вече е формула за процентно изменение, а не проста пропорция.
Примери за решаване на пропорции с разбор стъпка по стъпка
Пример 1. Неизвестен среден член
Задача. Намерете неизвестния член на пропорцията \(15 : x = 45 : 24\).
Стъпка 1. Определяме кой член кой е. Крайните са 15 и 24, средните са \(x\) и 45.
Стъпка 2. Прилагаме основното свойство: \(15 \cdot 24 = x \cdot 45\), тоест \(360 = 45x\).
Стъпка 3. Делим: \(x = 360 : 45 = 8\).
Проверка. \(15 : 8 = 1{,}875\) и \(45 : 24 = 1{,}875\) — отношенията са равни.
Отговор: \(x = 8\).
Пример 2. Права пропорционалност: цена и количество
Задача. Шест тетрадки струват 210 лв. Колко струват 10 такива тетрадки?
Стъпка 1. Тетрадките са повече — цената е по-висока, следователно зависимостта е права.
Стъпка 2. Записваме условието така, че еднаквите величини да са една до друга, и съставяме пропорцията „както си е“:
Стъпка 3. На кръст: \(6x = 10 \cdot 210 = 2100\), следователно \(x = 2100 : 6 = 350\).
Проверка. Една тетрадка струва \(210 : 6 = 35\) лв, а десет — \(35 \cdot 10 = 350\) лв. Съвпада.
Отговор: 350 лв.
Пример 3. Обратна пропорционалност: работници и дни
Задача. Осем работници изпълняват поръчка за 15 дни. За колко дни ще изпълнят същата поръчка 12 работници, ако работят с еднаква скорост?
Стъпка 1. Работниците са повече — дни ще са нужни по-малко. Зависимостта е обратна.
Стъпка 2. Съставяме пропорцията, като обърнем второто отношение:
Тук \(x\) са дните за 12 работници, а 15 са дните за 8 работници: те са си сменили местата, защото зависимостта е обратна.
Стъпка 3. На кръст: \(8 \cdot 15 = 12x\), тоест \(120 = 12x\) и \(x = 10\).
Проверка. Произведението е постоянно: \(8 \cdot 15 = 120\) и \(12 \cdot 10 = 120\). Съвпада и отговорът е разумен — дните са по-малко.
Отговор: 10 дни.
Пример 4. Мащаб на карта
Задача. Мащабът на картата е \(1 : 200\,000\). Разстоянието между селищата на картата е 7 см. Какво е разстоянието между тях на местността?
Стъпка 1. Мащабът \(1 : 200\,000\) означава: 1 см на картата съответства на 200 000 см на местността. Това е готово отношение.
Стъпка 2. Съставяме пропорцията:
Стъпка 3. На кръст: \(1 \cdot x = 200\,000 \cdot 7\), тоест \(x = 1\,400\,000\) см.
Стъпка 4. Превеждаме в удобни единици: в един километър има 100 000 см, следователно \(1\,400\,000 : 100\,000 = 14\) км.
Отговор: 14 км.
Пример 5. Проценти чрез пропорция
Задача. В класа има 25 ученици, на поход са тръгнали 60% от тях. Колко човека са тръгнали на поход?
Стъпка 1. Цялото е всичките 25 ученици, на тях съответстват 100%. Търсената част е \(x\) човека, на нея съответстват 60%.
Стъпка 2. Съставяме пропорцията „част : цяло = процент : 100“:
Стъпка 3. На кръст: \(100x = 25 \cdot 60 = 1500\), следователно \(x = 15\).
Проверка. 15 човека от 25 са \(15 : 25 = 0{,}6\), тоест точно 60%.
Отговор: 15 човека.
Чести грешки при решаване на пропорции
-
Умножават числата „по дължина“, а не на кръст: в пропорцията 5 : 2 = 20 : 8 смятат 5 · 2 и 20 · 8.
Основното свойство свързва крайните членове със средните, тоест числата по диагонал: 5 · 8 = 40 и 2 · 20 = 40. Произведенията съвпаднаха — пропорцията е вярна. А 5 · 2 и 20 · 8 не са равни и не говорят за нищо.
-
В задача за обратна зависимост съставят „права“ пропорция. Шест помпи пълнят басейн за 10 часа; записът 6 : 15 = 10 : x дава 25 часа за 15 помпи.
Помпите са повече — времето трябва да е по-малко, а се получи повече: значи пропорцията е съставена грешно. Второто отношение трябва да се обърне: 6 : 15 = x : 10, тогава 15x = 60 и x = 4 часа. Винаги проверявайте отговора за здрав разум.
-
След „на кръст“ делят обратно: от равенството 8x = 96 получават x = 8 : 96.
За да намерим x, произведението се дели на множителя, който стои до x: x = 96 : 8 = 12. Полезна е навикът да заместим намереното число обратно: 8 · 12 = 96, всичко е вярно.
-
Не съгласуват мерните единици. В задача с мащаб 1 : 50 000 при 3 см на картата пишат отговор „1,5“ без единици или го наричат метри.
Първо смятаме в единиците, в които е даден мащабът: 3 · 50 000 = 150 000 см. И едва тогава превеждаме: 150 000 см = 1500 м = 1,5 км. Единиците в отговора са също толкова важни, колкото самото число.
-
Бъркат отношение и пропорция: на молба да се състави пропорция пишат едно отношение „12 : 4“.
Отношението е едно частно: 12 : 4 = 3. Пропорцията е равенство на две отношения, в нея задължително има четири числа и знак за равенство: 12 : 4 = 30 : 10 (проверяваме: 12 · 10 = 120 и 4 · 30 = 120).
Въпроси и отговори
С какво отношението се различава от пропорцията?
Отношението е частно на две числа, например 12 : 4. Пропорцията е равенство на две отношения, в нея има четири числа: 12 : 4 = 30 : 10. Отношението отговаря на въпроса „колко пъти“, а пропорцията твърди, че две такива сравнения дават еднакъв резултат.
Какво са крайни и средни членове на пропорция?
В записа a : b = c : d крайните членове са тези, които стоят по краищата, тоест a и d. Средните са тези, които стоят в средата, тоест b и c. Ако пропорцията е записана с дроби, крайните членове са числителят на първата дроб и знаменателят на втората, а средните — знаменателят на първата и числителят на втората.
Как да проверим дали пропорцията е вярна?
Да умножим на кръст и да сравним произведенията. Например, за 9 : 12 = 15 : 20 смятаме 9 · 20 = 180 и 12 · 15 = 180 — числата съвпаднаха, следователно пропорцията е вярна. Ако произведенията са различни, пропорцията е невярна.
Може ли да се сменят местата на членовете на пропорцията?
Да, ако се правят по правилата. Във вярна пропорция могат да се сменят местата на крайните членове, могат да се сменят местата на средните, а могат да се обърнат и двете части едновременно — пропорцията ще остане вярна. От 4 : 6 = 10 : 15 получаваме 4 : 10 = 6 : 15 или 6 : 4 = 15 : 10 — произведението по диагонал навсякъде е равно на 60. А ето че само едно число не може да се премести.
Какво означава „решаване на пропорция на кръст“?
Това е разговорно название на основното свойство на пропорцията. Числата се умножават по диагонал, на кръст: краен с краен и среден със среден. Получава се уравнение с едно неизвестно, което се решава с едно деление. Никакъв отделен „метод на кръста“ освен основното свойство не съществува.
Как да разберем дали зависимостта в задачата е права или обратна?
Мислено увеличете първата величина 2 пъти и погледнете втората. Ако тя също се е увеличила 2 пъти — зависимостта е права, пропорцията се съставя „както си е“. Ако се е намалила 2 пъти — зависимостта е обратна, второто отношение трябва да се обърне. Още един признак: при права зависимост отношението на величините е постоянно, при обратна — тяхното произведение.
Как да решаваме задачи за проценти чрез пропорция?
Съставете пропорция „част : цяло = процент : 100“ и намерете неизвестното на кръст. Например, 12% от 350: получаваме x : 350 = 12 : 100, следователно 100x = 4200 и x = 42. По същия начин се търси и цялото по известна част, и самият процент.
