Теоремата на Виет свързва корените на квадратно уравнение с неговите коефициенти: за приведено уравнение \(x^2 + px + q = 0\) сборът на корените е равен на \(-p\), а произведението е равно на \(q\). Това позволява корените да се намират устно — чрез подбор, без дискриминанта. На тази страница — точни формули за приведено уравнение и за общ вид, обратна теорема на Виет, алгоритъм за подбор на корени, решени примери и интерактивен тренажор.
Какво е теорема на Виет
Теоремата на Виет е правило, което свързва корените на квадратно уравнение с неговите коефициенти. Формулира се така: ако \(x_1\) и \(x_2\) са корените на приведено квадратно уравнение \(x^2 + px + q = 0\), тогава
С други думи: сборът на корените е равен на втория коефициент с противоположен знак, а произведението на корените е равно на свободния член. Знакът минус при сбора — най-важното място в цялата тема: пише се точно \(-p\), а не \(p\).
За уравнение от общ вид \(ax^2 + bx + c = 0\) (където \(a \neq 0\)) формулите се получават чрез деление на \(a\):
Теоремата работи само когато действителните корени съществуват, тоест при \(D \ge 0\). Ако дискриминантата е отрицателна, няма какво да се подбира: не съществуват реални числа с такъв сбор и такова произведение.
Приведено уравнение и общ вид: къде трябва да се дели на a
Приведено се нарича квадратно уравнение, чийто коефициент пред \(x^2\) е равен на единица: \(x^2 + px + q = 0\). Именно за него теоремата на Виет звучи най-кратко, затова подборът на корени винаги започва с привеждане.
Ако \(a \neq 1\), уравнението първо се дели на \(a\) почленно. Например, \(3x^2 - 10x + 3 = 0\) след деление на \(3\) се превръща в \(x^2 - \frac{10}{3}x + 1 = 0\), тоест \(p = -\frac{10}{3}\), \(q = 1\). Оттук \(x_1 + x_2 = \frac{10}{3}\) и \(x_1 \cdot x_2 = 1\).
Същата идея може да се запише веднага за общия вид, без да се привежда уравнението: \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\), \(x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\). Грешката, която се прави най-често, е да се приложат „кратките“ формули \(-p\) и \(q\) към неприведено уравнение и да се получи сбор 10 вместо \(\frac{10}{3}\).
Обратна теорема на Виет
Теоремата на Виет има обратна, и именно тя позволява решаването на уравнения чрез подбор. Звучи така: ако числата \(m\) и \(n\) са такива, че
то \(m\) и \(n\) са корените на уравнението \(x^2 + px + q = 0\).
Разликата е принципна. Правата теорема върви от корените към коефициентите: корените вече са известни, получаваме връзки между тях. Обратната върви от коефициентите към корените: угадали сме двойка числа с нужния сбор и нужното произведение — и имаме пълното право да ги наречем корени, без да доказваме нищо повече.
Оттук следва и полезно правило: ако \(x_1\) и \(x_2\) са корените, тогава многочленът се разлага на множители \(x^2 + px + q = (x - x_1)(x - x_2)\). Например, \(x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)\).
Подбор на корени по теорема на Виет: алгоритъм
Подборът на корени е главното практическо приложение на теоремата. Работи по-бързо от дискриминантата, когато корените са цели числа, и заема пет стъпки.
Знаци на корените според коефициентите p и q
Още преди подбора може да се разбере какви знаци ще имат корените — достатъчно е да се погледнат знаците на \(p\) и \(q\). Това силно съкращава прегледа: веднага се вижда дали да се търси двойка от две положителни числа, две отрицателни или числа с различни знаци.
| p и q | Корени | Пример |
|---|---|---|
| q > 0, p < 0 | и двата > 0 | x2 − 5x + 6 = 0 → 2; 3 |
| q > 0, p > 0 | и двата < 0 | x2 + 5x + 6 = 0 → −2; −3 |
| q < 0 | с различни знаци | x2 + 2x − 15 = 0 → 3; −5 |
| q = 0 | 0 и −p | x2 − 5x = 0 → 0; 5 |
Теорема на Виет или дискриминанта: кое да изберем
Формулата за корените чрез дискриминантата \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\) работи винаги, но изисква изчисления. Теоремата на Виет работи мигновено, но само ако корените се угаждат — обикновено това са малки цели числа.
Практическо правило е следното:
- уравнението е приведено, а \(q\) се разлага на двойка малки множители → опитай подбор по Виет, отговорът се получава устно;
- коефициентите са големи или дробни, корените не се угаждат за 10–15 секунди → смятай дискриминантата;
- нужно е само броят на корените или знаците на корените, а самите корени не са нужни → достатъчно е да се ползват \(D\) и таблицата със знаците по-горе.
Полезно е и съчетанието: сметнал си дискриминантата и си намерил корените — провери отговора по Виет. Сборът трябва да даде \(-p\), произведението \(q\). Такава проверка отнема няколко секунди и улавя почти всяка аритметична грешка.
Примери за решаване по теорема на Виет
Пример 1. Подбор на корени: и двата корена са положителни
Реши \(x^2 - 9x + 20 = 0\).
Стъпка 1. Уравнението е приведено: \(p = -9\), \(q = 20\).
Стъпка 2. Проверяваме дискриминантата: \(D = (-9)^2 - 4\cdot 20 = 81 - 80 = 1 > 0\) — има два корена.
Стъпка 3. Записваме връзките: \(x_1 + x_2 = -p = 9\), \(x_1 \cdot x_2 = q = 20\).
Стъпка 4. Преглеждаме разлаганията на числото 20: \(1\cdot 20\) (сбор 21), \(2\cdot 10\) (сбор 12), \(4\cdot 5\) (сбор 9) — последната двойка е подходяща. И двата множителя са положителни, защото \(q > 0\), а \(p < 0\).
Стъпка 5. Проверка чрез заместване. \(4^2 - 9\cdot 4 + 20 = 16 - 36 + 20 = 0\); \(5^2 - 9\cdot 5 + 20 = 25 - 45 + 20 = 0\).
Отговор: \(x_1 = 4\), \(x_2 = 5\).
Пример 2. Корени с различни знаци
Реши \(x^2 + 3x - 28 = 0\).
Стъпка 1. Уравнението е приведено: \(p = 3\), \(q = -28\).
Стъпка 2. \(q < 0\), следователно корените са с различни знаци и дискриминантата е със сигурност положителна: \(D = 3^2 - 4\cdot(-28) = 9 + 112 = 121 > 0\).
Стъпка 3. Връзки: \(x_1 + x_2 = -3\), \(x_1 \cdot x_2 = -28\).
Стъпка 4. Разлагания на 28: \(1\cdot 28\), \(2\cdot 14\), \(4\cdot 7\). Нужна е разлика 3 — подходяща е двойката 4 и 7. Тъй като сборът е отрицателен, по-големият по модул корен го взимаме с минус: \(4\) и \(-7\).
Стъпка 5. Проверка. \(4^2 + 3\cdot 4 - 28 = 16 + 12 - 28 = 0\); \((-7)^2 + 3\cdot(-7) - 28 = 49 - 21 - 28 = 0\).
Отговор: \(x_1 = 4\), \(x_2 = -7\).
Пример 3. Уравнение от общ вид (a ≠ 1)
Реши \(3x^2 - 10x + 3 = 0\).
Стъпка 1. Коефициентът \(a = 3\), затова „кратките“ формули \(-p\) и \(q\) не могат да се приложат. Използваме общия вид: \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = \dfrac{10}{3}\), \(x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{3}{3} = 1\).
Стъпка 2. Произведението е равно на 1 — следователно корените са взаимно обратни: ако единият е \(t\), другият е \(\tfrac{1}{t}\). Сборът \(t + \tfrac{1}{t} = \tfrac{10}{3}\) подсказва \(t = 3\), защото \(3 + \tfrac{1}{3} = \tfrac{10}{3}\).
Стъпка 3. Проверка чрез заместване. \(3\cdot 3^2 - 10\cdot 3 + 3 = 27 - 30 + 3 = 0\); \(3\cdot\left(\tfrac{1}{3}\right)^2 - 10\cdot\tfrac{1}{3} + 3 = \tfrac{1}{3} - \tfrac{10}{3} + 3 = 0\).
Отговор: \(x_1 = 3\), \(x_2 = \tfrac{1}{3}\).
Пример 4. Състави уравнение по неговите корени
Задача. Състави приведено квадратно уравнение, чиито корени са \(-4\) и \(6\).
Стъпка 1. Смятаме сбора и произведението: \(x_1 + x_2 = -4 + 6 = 2\), \(x_1 \cdot x_2 = -4 \cdot 6 = -24\).
Стъпка 2. Според обратната теорема на Виет коефициентите са \(p = -(x_1 + x_2) = -2\) и \(q = x_1 x_2 = -24\). Тук се крие главната уловка: \(p\) е сборът с противоположен знак.
Стъпка 3. Записваме уравнението: \(x^2 - 2x - 24 = 0\).
Стъпка 4. Проверка чрез заместване. \((-4)^2 - 2\cdot(-4) - 24 = 16 + 8 - 24 = 0\); \(6^2 - 2\cdot 6 - 24 = 36 - 12 - 24 = 0\).
Отговор: \(x^2 - 2x - 24 = 0\). Същият резултат дава разлагането \((x + 4)(x - 6) = 0\).
Пример 5. Проверка на чужд отговор по теорема на Виет
Задача. Ученик е решил уравнението \(x^2 + 5x + 6 = 0\) и е записал отговор: \(x_1 = 2\), \(x_2 = 3\). Да се провери дали не е допуснал грешка.
Стъпка 1. По Виет трябва да е \(x_1 + x_2 = -p = -5\) и \(x_1 \cdot x_2 = q = 6\).
Стъпка 2. При предложения отговор произведението съвпада (\(2\cdot 3 = 6\)), а сборът — не: \(2 + 3 = 5 \neq -5\). Следователно отговорът е неверен: изгубен е знак.
Стъпка 3. Търсим подходяща двойка: нужни са числа с произведение 6 и сбор \(-5\) — това са \(-2\) и \(-3\) (и двата отрицателни, защото \(q > 0\) и \(p > 0\)).
Стъпка 4. Проверка чрез заместване. \((-2)^2 + 5\cdot(-2) + 6 = 4 - 10 + 6 = 0\); \((-3)^2 + 5\cdot(-3) + 6 = 9 - 15 + 6 = 0\).
Отговор: правилните корени са \(x_1 = -2\), \(x_2 = -3\).
Чести грешки при работа с теорема на Виет
-
Губят минуса при сбора: пишат $x_1 + x_2 = p$ вместо $x_1 + x_2 = -p$.
Минусът стои само при сбора, произведението се взима със същия знак: \(x_1 + x_2 = -p\), \(x_1 x_2 = q\). Провери на простото уравнение \(x^2 - 5x + 6 = 0\): тук \(p = -5\), сборът на корените е равен на \(5\), и корените наистина са 2 и 3.
-
Прилагат формулите $-p$ и $q$ към неприведено уравнение: за $2x^2 - 9x + 4 = 0$ казват „сбор 9, произведение 4“.
Докато \(a \neq 1\), работят формулите за общия вид: \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = \dfrac{9}{2}\), \(x_1 x_2 = \dfrac{c}{a} = 2\). Корените тук са 4 и \(\tfrac{1}{2}\), а не 4 и 1. Или първо раздели цялото уравнение на \(a\).
-
Подбират корени, без да са проверили дискриминантата: при $x^2 + x + 1 = 0$ се опитват да намерят двойка числа със сбор $-1$ и произведение $1$.
Първо се увери, че корените съществуват: \(D = 1 - 4 = -3 < 0\), няма действителни корени, подборът е невъзможен. Теоремата на Виет работи само при \(D \ge 0\).
-
Подбират двойка само по произведението, без да проверяват сбора: за $x^2 - 8x + 12 = 0$ взимат 3 и 4, защото тяхното произведение е 12.
Трябва да се проверяват и двете връзки едновременно. За \(x^2 - 8x + 12 = 0\) произведение 12 дават двойките (1; 12), (2; 6), (3; 4), а сбор 8 — само двойката 2 и 6. Проверка: \(2^2 - 8\cdot 2 + 12 = 0\) и \(6^2 - 8\cdot 6 + 12 = 0\).
-
Съставяйки уравнение по корени, взимат $p$ равно на сбора: за корени 2 и 5 пишат $x^2 + 7x + 10 = 0$.
Коефициентът \(p\) е равен на сбора с противоположен знак: \(p = -(2 + 5) = -7\), \(q = 2\cdot 5 = 10\), тоест \(x^2 - 7x + 10 = 0\). Заместването потвърждава: \(2^2 - 7\cdot 2 + 10 = 0\), \(5^2 - 7\cdot 5 + 10 = 0\).
-
Смятат, че теоремата на Виет е вярна само за цели корени и не я прилагат за проверка на отговор.
Връзките \(x_1 + x_2 = -p\) и \(x_1 x_2 = q\) се изпълняват при всякакви действителни корени — цели, дробни и ирационални. Просто устният подбор е удобен за цели, а за останалите теоремата остава бърз начин за проверка на намерен чрез дискриминанта отговор.
Въпроси и отговори
Как звучи теоремата на Виет с прости думи?
Ако приведено квадратно уравнение \(x^2 + px + q = 0\) има корени, то техният сбор е равен на втория коефициент с противоположен знак, а произведението е равно на свободния член: \(x_1 + x_2 = -p\) и \(x_1 x_2 = q\).
Колко са сборът и произведението на корените на уравнението $ax^2 + bx + c = 0$?
За уравнение от общ вид сборът на корените е равен на \(-\dfrac{b}{a}\), а произведението \(\dfrac{c}{a}\). Тези формули се получават от приведения случай чрез деление на цялото уравнение на \(a\).
С какво обратната теорема на Виет се различава от правата?
Правата теорема върви от корените към коефициентите: знаейки корените, получаваме сбора \(-p\) и произведението \(q\). Обратната върви обратно: ако двойка числа дава нужния сбор и нужното произведение, то тези числа са корените на уравнението. Именно обратната теорема позволява решаването на уравнения чрез подбор.
Как да подберем корени по теорема на Виет?
Приведи уравнението към вида \(x^2 + px + q = 0\), увери се, че \(D \ge 0\), запиши \(x_1 + x_2 = -p\) и \(x_1 x_2 = q\), прегледай разлаганията на числото \(q\) на двойки множители и избери тази двойка, чийто сбор е равен на \(-p\). Например, за \(x^2 + 6x + 8 = 0\) са нужни числа с произведение 8 и сбор \(-6\) — това са \(-2\) и \(-4\).
Работи ли теоремата на Виет, ако коефициентът пред $x^2$ не е единица?
Да, но във вида за общ случай: \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}\), \(x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}\). Кратките формули \(-p\) и \(q\) са верни само за приведено уравнение, затова при \(a \neq 1\) уравнението първо се дели на \(a\).
Какво да правим, ако корените по теорема на Виет не се подбират?
Значи корените не са цели числа или изобщо ги няма. Сметни дискриминантата: при \(D < 0\) няма действителни корени, а при \(D \ge 0\) намери корените по формулата \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\) и вече след това провери отговора по теорема на Виет.
Как да определим знаците на корените, без да решаваме уравнението?
По знаците на \(p\) и \(q\) при \(D \ge 0\): ако \(q > 0\) и \(p < 0\) — и двата корена са положителни; ако \(q > 0\) и \(p > 0\) — и двата са отрицателни; ако \(q < 0\) — корените са с различни знаци; ако \(q = 0\) — единият от корените е нула.
В кой клас се изучава теоремата на Виет?
В 8 клас по алгебра, веднага след квадратните уравнения и дискриминантата. По-нататък се използва при разлагане на квадратен тричлен на множители \(x^2 + px + q = (x - x_1)(x - x_2)\), при изследване на корени с параметър и в задачи от НВО и кандидатстудентски изпити.
