Аритметична прогресия е редица, в която всеки следващ член е по-голям от предходния с едно и също число \(d\) (разлика на прогресията). Всеки неин член се намира по формулата \(a_n = a_1 + (n-1)d\), а сумата на първите \(n\) члена — по формулата \(S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2}\cdot n\). На тази страница са разгледани определението и разликата, двете формули за сума, характеристичното свойство, проверка дали число принадлежи на прогресията, разликата от геометричната прогресия, типови задачи за НВО и интерактивен тренажор за самопроверка.
Какво е аритметична прогресия
Аритметична прогресия е числова редица, в която всеки следващ член се получава от предходния чрез добавяне на едно и също число. Това число се нарича разлика на прогресията и се означава с буквата \(d\).
Определение с една формула: редицата \(a_1, a_2, a_3, \dots\) се нарича аритметична прогресия, ако за всеки номер \(n\) е изпълнено равенството
Да вземем редицата 3, 7, 11, 15, 19, … Първият член тук е \(a_1 = 3\), а разликата \(d = 4\): всяко следващо число е по-голямо от предходното точно с 4. Затова следващият член е 23, а преди тройката (ако продължим назад) би стояла единица със знак минус.
Цялата прогресия се задава само с две числа — първия член \(a_1\) и разликата \(d\). Знаейки тази двойка, може да се назове всеки член, да се пресметне сумата на колкото и да е първи членове и да се провери дали дадено число се среща в редицата. Прогресията се означава със знака \((a_n)\), а нейните членове — \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\) и така нататък, където долният индекс винаги означава номер, а не стойност.
Разлика на аритметична прогресия: как да намерим d
Разликата винаги е следващият член минус предходния:
Редът на изваждане е важен: ако извадим наобратно, знакът на разликата ще бъде противоположен. За редицата 20, 17, 14, 11, 8 разликата е равна на \(17 - 20 = -3\), а не \(+3\).
Знакът на \(d\) напълно определя поведението на прогресията:
- \(d > 0\) — прогресията е растяща, членовете се увеличават;
- \(d < 0\) — прогресията е намаляваща, членовете намаляват;
- \(d = 0\) — всички членове са еднакви, например 6, 6, 6, 6, … Това също е аритметична прогресия, просто постоянна.
Ако са известни два члена с различни номера, разликата се намира по формулата
Пример. Нека \(a_4 = 30\) и \(a_{10} = 6\). Тогава \(d = \dfrac{6 - 30}{10 - 4} = \dfrac{-24}{6} = -4\), а първият член е равен на \(a_1 = a_4 - 3d = 30 + 12 = 42\). Да проверим началото на прогресията: 42, 38, 34, 30 — четвъртият член наистина е 30.
Разликата не е задължително да бъде цяло число: за редицата 1; 1,5; 2; 2,5 разликата е 0,5 и това е пълноценна аритметична прогресия.
Формула за n-тия член на аритметична прогресия
Основната формула на темата позволява да се намери всеки член, без да се изписват всички предходни:
Откъде идва \(n - 1\)? За да стигнем от първия член до \(n\)-тия, разликата се добавя не \(n\) пъти, а с един път по-малко: до втория член — една стъпка, до третия — две, до двадесетия — деветнадесет.
Пример. За прогресията 3, 7, 11, 15, 19, … имаме \(a_1 = 3\) и \(d = 4\), значи
Такъв съкратен запис е много удобен: веднага се вижда, че \(a_{20} = 4\cdot 20 - 1 = 79\), а \(a_{100} = 399\). Същевременно той подсказва разликата: при всяка аритметична прогресия формулата за \(n\)-тия член е линейна, от вида \(a_n = dn + c\), и коефициентът пред \(n\) е самата разлика.
Понякога първият член е неизвестен, но е даден някакъв друг. Тогава работи същата идея в общ вид: \(a_n = a_k + (n - k)d\).
Характеристично свойство на аритметична прогресия
Всеки член на прогресията, освен първия, е равен на средното аритметично на своите съседи:
Именно затова прогресията се нарича аритметична. Това равенство работи и в обратната посока: ако в редицата всеки среден член е равен на полусбора на съседите си, то редицата е аритметична прогресия. Такова твърдение се нарича признак за аритметична прогресия и в задачите се използва, за да се докаже, че три числа образуват прогресия.
Пример. Числата 7, \(x\), 23 са три последователни члена на прогресия. Тогава \(x = \dfrac{7 + 23}{2} = 15\). Проверка: 7, 15, 23 — разликите са 8 и 8, всичко съвпада.
Удобна форма за запис на същото свойство: \(2a_n = a_{n-1} + a_{n+1}\), тоест удвоеният среден член е равен на сумата на крайните. В този вид свойството е по-лесно за прилагане, когато членовете са зададени с буквени изрази.
Сума на първите n члена на аритметична прогресия
Сумата \(S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n\) се пресмята по една от двете формули:
Идеята на първата формула е същата, която според легендата е открил ученикът Гаус, събирайки числата от 1 до 100. Ако съберем първия член с последния, втория с предпоследния и така нататък, всички двойки ще дадат една и съща сума. Оттук \(1 + 2 + \dots + 100 = \dfrac{1 + 100}{2}\cdot 100 = 5050\).
Втората формула се получава от първата чрез заместване на \(a_n = a_1 + (n-1)d\) — тя е нужна, когато последният член не е даден и не искаме да го пресмятаме отделно.
Пример. Да намерим сумата на първите двадесет члена на прогресията 3, 7, 11, 15, 19, …
По първата формула: \(a_{20} = 79\), затова \(S_{20} = \dfrac{3 + 79}{2}\cdot 20 = 41\cdot 20 = 820\).
По втората: \(S_{20} = \dfrac{2\cdot 3 + 19\cdot 4}{2}\cdot 20 = \dfrac{6 + 76}{2}\cdot 20 = 41\cdot 20 = 820\).
Отговорите съвпадат — това е най-добрата проверка на изчисленията.
Как да разберем дали едно число принадлежи на аритметична прогресия
Въпросът „дали едно число е член на прогресията“ се решава чрез уравнение. Числото принадлежи на прогресията тогава и само тогава, когато неговият номер \(n\) се получи естествено число: 1, 2, 3 и така нататък. Дробно или неположително \(n\) означава, че такъв член няма.
Пример 1. Принадлежи ли числото 99 на прогресията 3, 7, 11, 15, 19, …? Формулата за \(n\)-тия член тук е \(a_n = 4n - 1\), затова решаваме \(4n - 1 = 99\), откъдето \(4n = 100\) и \(n = 25\). Номерът е естествено число — значи 99 присъства в прогресията, това е нейният двадесет и пети член.
Пример 2. А числото 2026? От \(4n - 1 = 2026\) получаваме \(4n = 2027\) и \(n = 506{,}75\). Номерът е дробен, затова 2026 не е член на тази прогресия.
Полезна подсказка за устна проверка: при прогресия с формула \(a_n = 4n - 1\) всички членове при деление на 4 дават остатък 3. Числото 2026 дава остатък 2, затова „пропуска“ прогресията.
Типови задачи за НВО по аритметична прогресия
На НВО по математика прогресии се срещат всяка година и почти всички задачи се свеждат до четири сюжета.
Намиране на член по номер. Дадени са \(a_1\) и \(d\) (или няколко първи члена) — заместваме в \(a_n = a_1 + (n-1)d\).
Намиране на номер по стойност. Дадено е число — приравняваме към него формулата за \(n\)-тия член и решаваме уравнението спрямо \(n\).
Намиране на сума. Пресмятаме \(S_n\) по една от двете формули; ако не достига \(a_n\) — първо го намираме.
Намиране на брой членове. От формулата за \(n\)-тия член се получава удобно следствие: \(n = \dfrac{a_n - a_1}{d} + 1\).
Отделно стои текстовата задача, където прогресията е скрита в сюжета. Например: през първия ден работник е изработил 12 детайла, а всеки следващ ден — с 3 детайла повече, отколкото в предходния; колко детайла ще направи за 15 дни? Тук \(a_1 = 12\), \(d = 3\), \(n = 15\). Пресмятаме последния член: \(a_{15} = 12 + 14\cdot 3 = 54\). Тогава \(S_{15} = \dfrac{12 + 54}{2}\cdot 15 = 33\cdot 15 = 495\) детайла.
Основният съвет за такива задачи: първо изпишете на отделен ред какво е дадено (\(a_1\), \(d\), \(n\), \(a_n\), \(S_n\)) и какво трябва да се намери. Половината грешки на изпита се случват не заради формулите, а заради това, че номерът е объркан със стойността на члена.
Аритметична и геометрична прогресия: каква е разликата
И двете прогресии са правила, по които от един член се получава следващият. Разликата е в действието: при аритметичната към члена се добавя едно и също число \(d\), при геометричната — се умножава по едно и също число \(q\), което се нарича частно на прогресията.
Оттук идва и различното поведение. Аритметичната прогресия расте равномерно, „по стъпала“: 3, 7, 11, 15 — всяка стъпка добавя 4. Геометричната расте лавинообразно: 3, 6, 12, 24 — всяка стъпка удвоява числото и след десет стъпки членът ще бъде по-голям от хиляда и петстотин.
Да се провери типът на редицата е лесно: пресметнете разликите на съседните членове и техните отношения. Еднакви разлики — прогресията е аритметична, еднакви отношения — геометрична. Ако не съвпада нито едното, нито другото, пред вас е просто редица: например 1, 4, 9, 16 — това са квадрати на естествени числа и тя не е прогресия (разликите 3, 5, 7 са различни, отношенията също).
В училищната програма и двете теми се изучават последователно в 9 клас, затова формулите лесно се объркват. Дръжте в ума си опора: при аритметичната разликата \(d\) се добавя, при геометричната частното \(q\) се умножава. Всичко останало са следствия.
Примери за решаване на задачи за аритметична прогресия
Пример 1. Намиране на първи член и разлика по два члена
Дадено. \(a_3 = 14\), \(a_7 = 30\). Намери \(a_1\), \(d\) и \(a_{20}\).
Стъпка 1. От третия член до седмия има точно \(7 - 3 = 4\) стъпки, на всяка се добавя \(d\). Значи \(a_7 = a_3 + 4d\), тоест \(30 = 14 + 4d\), откъдето \(4d = 16\) и \(d = 4\).
Стъпка 2. Връщаме се назад към първия член: \(a_1 = a_3 - 2d = 14 - 8 = 6\).
Стъпка 3. Записваме формулата за \(n\)-тия член: \(a_n = 6 + (n-1)\cdot 4 = 4n + 2\).
Стъпка 4. Пресмятаме нужния член: \(a_{20} = 4\cdot 20 + 2 = 82\).
Проверка. Да изпишем началото на прогресията: 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30. Третият член е 14, седмият е 30 — съвпадна.
Отговор: \(a_1 = 6\), \(d = 4\), \(a_{20} = 82\).
Пример 2. Сума на първите 30 члена (двете формули)
Дадено. Прогресия \(-5,\ -2,\ 1,\ 4,\ \dots\) Намери \(S_{30}\).
Стъпка 1. Определяме параметрите: \(a_1 = -5\), \(d = -2 - (-5) = 3\).
Стъпка 2. Намираме тридесетия член: \(a_{30} = -5 + 29\cdot 3 = -5 + 87 = 82\).
Стъпка 3. Пресмятаме по първата формула: \(S_{30} = \dfrac{-5 + 82}{2}\cdot 30 = \dfrac{77}{2}\cdot 30 = 77\cdot 15 = 1155\).
Стъпка 4. Проверка по втората формула. Първо числителят: \(2\cdot(-5) + 29\cdot 3 = -10 + 87 = 77\).
Нататък както в третата стъпка: \(S_{30} = \dfrac{77}{2}\cdot 30 = 1155\).
И двата пътя дадоха 1155 — значи аритметиката е вярна.
Отговор: \(S_{30} = 1155\).
Пример 3. Сума на всички двуцифрени числа, кратни на 7
Задача. Намери сумата на всички двуцифрени числа, които се делят на 7.
Стъпка 1. Такива числа сами образуват аритметична прогресия с разлика 7. Най-малкото двуцифрено кратно на седем е 14, най-голямото — 98 (следващото, 105, вече е трицифрено). Получаваме \(a_1 = 14\), \(d = 7\), \(a_n = 98\).
Стъпка 2. Пресмятаме броя на членовете: \(n = \dfrac{98 - 14}{7} + 1 = \dfrac{84}{7} + 1 = 12 + 1 = 13\).
Стъпка 3. Пресмятаме сумата: \(S_{13} = \dfrac{14 + 98}{2}\cdot 13 = \dfrac{112}{2}\cdot 13 = 56\cdot 13 = 728\).
Стъпка 4. Проверка с втората формула. \(S_{13} = \dfrac{2\cdot 14 + 12\cdot 7}{2}\cdot 13 = \dfrac{28 + 84}{2}\cdot 13 = 56\cdot 13 = 728\).
Отговор: 728.
Пример 4. Проверка дали число принадлежи на прогресията
Задача. Принадлежи ли числото 145 на прогресията \(7,\ 12,\ 17,\ \dots\)? А числото 142?
Стъпка 1. Параметри на прогресията: \(a_1 = 7\), \(d = 5\), значи \(a_n = 7 + (n-1)\cdot 5 = 5n + 2\).
Стъпка 2. Проверяваме 145: уравнението \(5n + 2 = 145\) дава \(5n = 143\) и \(n = 28{,}6\). Номерът е дробен, затова 145 не е член на прогресията.
Стъпка 3. Проверяваме 142: \(5n + 2 = 142\), откъдето \(5n = 140\) и \(n = 28\). Номерът е естествено число — числото принадлежи.
Стъпка 4. Проверка чрез заместване. \(a_{28} = 7 + 27\cdot 5 = 7 + 135 = 142\). Вярно.
Отговор: 145 не принадлежи на прогресията; 142 принадлежи и е нейният 28-ми член.
Пример 5. Характеристично свойство с буквени членове
Задача. При каква стойност на \(x\) числата \(x - 3\), \(2x + 1\), \(4x - 1\) са три последователни члена на аритметична прогресия?
Стъпка 1. По характеристичното свойство удвоеният среден член е равен на сумата на крайните:
Стъпка 2. Разкриваме скобите: \(4x + 2 = 5x - 4\).
Стъпка 3. Решаваме: \(2 + 4 = 5x - 4x\), тоест \(x = 6\).
Стъпка 4. Проверка. Заместваме \(x = 6\): първи член \(6 - 3 = 3\), втори \(2\cdot 6 + 1 = 13\), трети \(4\cdot 6 - 1 = 23\). Разлики: \(13 - 3 = 10\) и \(23 - 13 = 10\) — еднакви.
Отговор: \(x = 6\), прогресия 3, 13, 23 с разлика 10.
Пример 6. Колко отрицателни члена има в прогресията
Задача. Колко отрицателни члена има в прогресията \(-21,\ -18,\ -15,\ \dots\)?
Стъпка 1. Параметри: \(a_1 = -21\), \(d = 3\). Формула за \(n\)-тия член: \(a_n = -21 + (n-1)\cdot 3 = 3n - 24\).
Стъпка 2. Записваме условието „членът е отрицателен“: \(3n - 24 < 0\), откъдето \(3n < 24\) и \(n < 8\).
Стъпка 3. Номерата са естествени числа, затова са подходящи \(n = 1, 2, \dots, 7\) — общо седем члена.
Стъпка 4. Проверка на границата. \(a_7 = 3\cdot 7 - 24 = -3\) — отрицателен. \(a_8 = 3\cdot 8 - 24 = 0\) — нулата не е отрицателно число, затова осмия член вече не броим. \(a_9 = 3\) — положителен.
Отговор: седем отрицателни члена.
Чести грешки в задачите за аритметична прогресия
-
Във формулата за $n$-тия член пишат $a_n = a_1 + nd$ вместо $a_n = a_1 + (n-1)d$.
От първия член до \(n\)-тия се прави с една стъпка по-малко от номера. За прогресията \(5,\ 9,\ 13,\ \dots\) десетият член е равен на \(a_{10} = 5 + 9\cdot 4 = 41\), а не 45. Бърза проверка на формулата: замести \(n = 1\) — трябва да се получи точно \(a_1\).
-
Разликата се пресмята наобратно: $d = a_1 - a_2$, и знакът се получава противоположен.
Разликата е следващият член минус предходния: \(d = a_2 - a_1\). За прогресията \(40,\ 34,\ 28,\ \dots\) е вярно \(d = 34 - 40 = -6\). Знакът минус тук не е грешка, а признак за намаляваща прогресия.
-
Във формулата за сума забравят да разделят на 2 или да умножат по $n$: пишат $S_n = (a_1 + a_n)\cdot n$.
Сумират се двойки „първи с последен“, те са точно \(\dfrac{n}{2}\), затова деленето на 2 е задължително. За прогресията \(2,\ 9,\ 16,\ \dots\) имаме \(a_{10} = 2 + 9\cdot 7 = 65\) и \(S_{10} = \dfrac{2 + 65}{2}\cdot 10 = 67\cdot 5 = 335\), а не 670.
-
При проверка дали число принадлежи на прогресията получават $n = 0$ или отрицателно $n$ и въпреки това отговарят „принадлежи“.
Номерът на члена е естествено число, броенето започва от единица. Например, за прогресията \(10,\ 14,\ 18,\ \dots\) уравнението \(10 + 4(n-1) = 6\) дава \(n = 0\), което означава, че 6 не принадлежи на прогресията: това число би стояло преди първия член.
-
Объркват какво е намерено: заместват стойността на члена там, където е нужен неговият номер, и обратно.
\(a_n\) — това е стойност, \(n\) — пореден номер. Ако в задачата питат „кой пореден член е равен на 142“, отговорът ще бъде 28, а не 142. Полезна навика: изписвайте преди решаването реда „дадено: \(a_1 = \dots\), \(d = \dots\), намери: \(n\)“.
-
Смятат, че прогресията е длъжна да расте и да се състои от цели числа.
Разликата може да бъде отрицателна (\(20,\ 17,\ 14,\ \dots\)), дробна (1; 1,5; 2; 2,5) и дори нулева (8, 8, 8, …). И трите случая са законни аритметични прогресии и всички формули за тях работят без промени.
Въпроси и отговори
Какво е аритметична прогресия с прости думи?
Това е редица от числа, в която всяко следващо число се получава от предходното чрез добавяне на едно и също число \(d\) — разликата на прогресията. Например 3, 7, 11, 15, 19, … — прогресия с първи член 3 и разлика 4.
Каква е формулата за n-тия член на аритметична прогресия?
\(a_n = a_1 + (n-1)d\), където \(a_1\) е първият член, \(d\) е разликата, \(n\) е номерът. Ако е известен не първият, а някакъв друг член, работи общата форма \(a_n = a_k + (n-k)d\).
Как да намерим разликата на аритметична прогресия?
Извадете от който и да е член предходния: \(d = a_n - a_{n-1}\). Ако са дадени два члена с различни номера, използвайте \(d = \dfrac{a_k - a_m}{k-m}\). Например, при \(a_5 = 23\) и \(a_9 = 43\) получаваме \(d = \dfrac{43-23}{9-5} = 5\), а първият член е равен на \(23 - 4\cdot 5 = 3\).
Как да намерим първия член на аритметична прогресия?
От формулата за \(n\)-тия член: \(a_1 = a_n - (n-1)d\). Например, ако \(a_{12} = 60\) и \(d = 4\), то \(a_1 = 60 - 11\cdot 4 = 60 - 44 = 16\). Проверка: \(16 + 11\cdot 4 = 60\).
Как да намерим сумата на първите n члена на аритметична прогресия?
По формулата \(S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2}\cdot n\), ако е известен последният член, или по формулата \(S_n = \dfrac{2a_1 + (n-1)d}{2}\cdot n\), ако са известни само първият член и разликата. И двете дават еднакъв резултат, затова втората е удобно да се използва като проверка на първата.
Как да намерим броя на членовете на аритметична прогресия?
От формулата за \(n\)-тия член: \(n = \dfrac{a_n - a_1}{d} + 1\). Например, в прогресията \(8,\ 13,\ 18,\ \dots,\ 98\) разликата е 5, затова \(n = \dfrac{98-8}{5} + 1 = 18 + 1 = 19\) члена.
С какво аритметичната прогресия се различава от геометричната?
При аритметичната към всеки член се добавя разликата \(d\), а при геометричната всеки член се умножава по частното \(q\). Формули за \(n\)-тия член: \(a_n = a_1 + (n-1)d\) срещу \(b_n = b_1 q^{\,n-1}\). За да определите типа, пресметнете разликите на съседните членове и техните отношения: еднакви разлики — аритметична, еднакви отношения — геометрична.
Може ли разликата да бъде отрицателна или равна на нула?
Да. При \(d < 0\) прогресията намалява (например 20, 17, 14, 11), при \(d = 0\) всички членове са еднакви (6, 6, 6, …) — това е постоянна прогресия. Разликата може да бъде и дробна: 1; 1,5; 2; 2,5 — също аритметична прогресия.
В кой клас се изучава аритметична прогресия?
В 9 клас в часовете по алгебра, заедно с геометричната прогресия и числовите редици. Задачи за прогресии влизат в НВО: обикновено се изисква да се намери член по номер, номер по стойност, брой членове или сума на първите \(n\) члена.
