Признаците за делимост са правила, които позволяват да се разбере дали едно число се дели на цяло, без да се извършва деление: достатъчно е да се погледне последните цифри или да се съберат всички цифри на числото. На тази страница е събрана таблица на признаците за делимост на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11 и 25, нагледен анализ на признаците за 3 и 9 чрез сумата от цифрите, примери с решение, чести грешки и интерактивен тренажор, където можете веднага да проверите себе си.
Какво е признак за делимост
Признак за делимост е правило, по което може да се разбере дали едно число се дели на цяло на друго число, без да се извършва самото деление. Достатъчно е да се погледне последните цифри или да се съберат всички цифри на числото.
Признаците за делимост помагат навсякъде, където е необходимо бързо да се разбере „устройството“ на числото:
- при съкращаване на дроби — веднага се вижда на какво да се съкрати числителят и знаменателят;
- при разлагане на число на прости множители;
- при търсене на общ делител и общо кратно;
- при бърза проверка на отговора в примери и задачи.
Важно е да не се бъркат два различни въпроса. „Дели ли се 3726 на 9?“ — на това отговаря признакът за делимост: сумата от цифрите 3 + 7 + 2 + 6 = 18 се дели на 9, следователно да. А „колко ще се получи?“ — това вече е самото деление: 3726 : 9 = 414. Признакът дава само отговор „да“ или „не“, но затова пък мигновено и наум.
Таблица на признаците за делимост
Всички училищни признаци за делимост са удобни да се държат пред очите в една таблица. Цветът подсказва къде да се гледа: на последната цифра, на сумата от цифрите, на „опашката“ от две-три последни цифри или веднага на два признака.
| На какво | Признак за делимост | Пример |
|---|---|---|
| 2 | последната цифра е 0, 2, 4, 6 или 8 | 3726 → 6 |
| 3 | сумата от цифрите се дели на 3 | 4512 → 4+5+1+2 = 12 |
| 4 | двете последни цифри образуват число, което се дели на 4 | 1316 → 16 : 4 = 4 |
| 5 | последната цифра е 0 или 5 | 1435 → 5 |
| 6 | дели се едновременно на 2 и на 3 | 5124 → 4 и 12 |
| 8 | трите последни цифри образуват число, което се дели на 8 | 3512 → 512 : 8 = 64 |
| 9 | сумата от цифрите се дели на 9 | 3726 → 3+7+2+6 = 18 |
| 10 | последната цифра е 0 | 2340 → 0 |
| 11 | цифрите отзад напред през + и −; сумата се дели на 11 | 2838 → 8−3+8−2 = 11 |
| 25 | двете последни цифри са 00, 25, 50 или 75 | 1875 → 75 |
Признаци за делимост на 2, 5 и 10
Най-простата група: гледаме само последната цифра, останалите не са важни.
- на 2 се делят всички четни числа — тези, които завършват на 0, 2, 4, 6 или 8;
- на 5 — числа, завършващи на 0 или 5;
- на 10 — числа, завършващи на 0.
Дължината на числото няма значение: 987 654 320 се дели и на 2, и на 5, и на 10, защото завършва на нула. А 1435 се дели на 5 (последна цифра 5), но не се дели нито на 2, нито на 10 — числото е нечетно.
Оттук полезен извод: на 10 се делят точно тези числа, които се делят едновременно на 2 и на 5.
Признаци за делимост на 3 и на 9: сума от цифрите
Тук последната цифра не решава нищо — работи сумата от всички цифри на числото:
- числото се дели на 3, ако сумата от неговите цифри се дели на 3;
- числото се дели на 9, ако сумата от неговите цифри се дели на 9.
Ако сумата се получи голяма, признакът може да се приложи към нея още веднъж: за числото 899 991 сумата от цифрите е 8 + 9 + 9 + 9 + 9 + 1 = 45, а за 45 сумата е 4 + 5 = 9 — следователно първоначалното число се дели и на 9, и на 3.
Признаците са сходни, но не се заместват взаимно. Всяко число, което се дели на 9, се дели и на 3 — защото самата деветка се дели на тройка. Обратното обаче не е вярно: сумата от цифрите може да се дели на 3 и при това да не се дели на 9, и тогава числото преминава само един от двата признака. И двата случая са разгледани по-долу.
Признаци за делимост на 4, 8 и 25: гледаме „опашката“ на числото
Една последна цифра тук не е достатъчна — нужна е „опашка“ от няколко последни цифри:
- на 4 се дели число, чиито две последни цифри образуват число, което се дели на 4;
- на 8 — ако трите последни цифри образуват число, което се дели на 8;
- на 25 — ако двете последни цифри образуват 00, 25, 50 или 75.
Защо опашката е достатъчна: 100 се дели и на 4, и на 25, а 1000 се дели на 8. Затова всичко, което е отляво, само по себе си вече се дели на нужното число и не влияе на отговора.
Оттук важно следствие: четността за четворката и осмицата не е достатъчна. Числото може да е четно, но ако опашката му от две или три цифри не се дели на цяло, то не се дели и цялото число. Анализ на опашките — във вложката по-долу.
Признак за делимост на 6
Свое собствено отделно правило за шест няма: 6 = 2 · 3, и множителите са взаимно прости. Затова признакът е съставен — числото се дели на 6, ако се дели едновременно на 2 и на 3.
Да проверим 5124: последната цифра е 4 — числото е четно, следователно се дели на 2; сумата от цифрите 5 + 1 + 2 + 4 = 12 се дели на 3. И двете условия са изпълнени → 5124 : 6 = 854.
Само четността не е достатъчна: 1000 е четно, но сумата от цифрите му е 1 и не се дели на 3, затова числото не се дели на 6. Не работи и обратната половинка: за 4521 сумата от цифрите е 12 и се дели на 3, но самото число е нечетно — на 6 то също не се дели.
Точно така се съставят другите съставни признаци: на 12 — дели се на 3 и на 4, на 15 — на 3 и на 5, на 18 — на 2 и на 9, на 45 — на 5 и на 9.
Признак за делимост на 11
Признакът за делимост на 11 използва знакоредуваща се сума от цифрите. Цифрите се събират, като се започне от последната, като се редуват знаците: плюс, минус, плюс, минус. Ако резултатът се дели на 11 (включително е равен на нула), то и цялото число се дели на 11.
Същият признак често се формулира по друг начин: разликата между сумата от цифрите, стоящи на нечетни места, и сумата от цифрите на четни места трябва да се дели на 11. Това е едно и също правило.
Примери за признаци за делимост
Пример 1. На кои числа се дели 7254
Задача. Определете на кои от числата 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10 се дели 7254.
Стъпка 1. На 2. Последната цифра е 4 — четна. Дели се: 7254 : 2 = 3627.
Стъпка 2. На 5 и на 10. Числото завършва на 4, а не на 0 или 5. Не се дели нито на 5, нито на 10.
Стъпка 3. На 3 и на 9. Сума от цифрите: 7 + 2 + 5 + 4 = 18. Тя се дели и на 3, и на 9. Следователно 7254 : 3 = 2418 и 7254 : 9 = 806.
Стъпка 4. На 6. Числото се дели и на 2, и на 3 — следователно се дели на 6: 7254 : 6 = 1209.
Стъпка 5. На 4. Последните две цифри дават 54, а 54 не се дели на 4. Не се дели.
Отговор. 7254 се дели на 2, 3, 6 и 9.
Пример 2. Дели ли се 4715 на 3 и на 9
Задача. Проверете делимостта на числото 4715 на 3 и на 9.
Стъпка 1. Събираме цифрите: 4 + 7 + 1 + 5 = 17.
Стъпка 2. На 3. 17 не се дели на 3 (най-близките кратни са 15 и 18). Следователно и 4715 не се дели на 3.
Стъпка 3. На 9. 17 не се дели на 9 още повече. Следователно 4715 не се дели и на 9.
Какво числото все пак умее. Последната цифра е 5 → числото се дели на 5: 4715 : 5 = 943. На 2 и на 10 не се дели — то е нечетно.
Отговор. Нито на 3, нито на 9 числото 4715 не се дели.
Пример 3. Делимост на 4 и на 8: числото 6248
Задача. Проверете дали 6248 се дели на 4 и на 8.
Стъпка 1. На 4. Взимаме последните две цифри: 48. Числото 48 се дели на 4 (48 : 4 = 12), следователно и 6248 се дели: 6248 : 4 = 1562.
Стъпка 2. На 8. Взимаме последните три цифри: 248. Делим: 248 : 8 = 31 — дели се. Следователно 6248 : 8 = 781.
Внимание към обратното разсъждение. От делимостта на 4 не следва делимост на 8: за числото 6244 опашката 44 се дели на 4 (6244 : 4 = 1561), а последните три цифри 244 не се делят на 8 — числото не се дели на 8.
Отговор. 6248 се дели и на 4, и на 8.
Пример 4. Признак за делимост на 11: числото 2926
Задача. Проверете дали 2926 се дели на 11.
Стъпка 1. Записваме цифрите и поставяме знаците отзад напред: последната цифра със знак плюс, следващите редуващи се минус и плюс.
Стъпка 2. Изчисляваме знакоредуващата се сума: 6 − 2 + 9 − 2 = 11.
Стъпка 3. Резултатът 11 се дели на 11 → дели се и цялото число.
Проверка с деление. 2926 : 11 = 266.
Отговор. 2926 се дели на 11.
Пример 5. Съкращаваме дроб по признаци за делимост
Задача. Съкратете дробта 270/378.
Стъпка 1. Изчисляваме сумите от цифрите: 2 + 7 + 0 = 9 и 3 + 7 + 8 = 18. И двете се делят на 9 → и числителят, и знаменателят се делят на 9.
Стъпка 2. Съкращаваме на 9: 270 : 9 = 30, 378 : 9 = 42. Получаваме 30/42.
Стъпка 3. И двете числа са четни → съкращаваме на 2: 30 : 2 = 15, 42 : 2 = 21. Получаваме 15/21.
Стъпка 4. Сумите от цифрите 6 и 3 се делят на 3 → съкращаваме на 3.
Отговор. 270/378 = 5/7.
Чести грешки при признаци за делимост
-
Делимостта на 6 се проверява само по четност: щом числото е четно — значи се дели на 6.
Необходими са и двете условия едновременно: и на 2, и на 3. Числото 7124 е четно, но сумата от цифрите му 14 не се дели на 3, следователно на 6 то не се дели. И обратното: 3471 преминава признака за тройка (сума 15, 3471 : 3 = 1157), но е нечетно — на 6 то също не се дели.
-
За делимостта на 4 се гледа една последна цифра: „8 се дели на 4, следователно и 9138 ще свърши работа“.
За четворката се взимат ДВЕ последни цифри. За 9138 това са 38, а 38 не се дели на 4. Правилен пример: за 9136 опашката е 36, 36 : 4 = 9, следователно 9136 : 4 = 2284. За осмицата опашката е още по-дълга — три цифри.
-
Признакът за делимост на 9 се проверява по последната цифра: търсят се числа, завършващи на 9 или на 0.
Последната цифра за деветката не означава нищо. Събира се сумата от всички цифри: за 4563 тя е 18, сумата се дели на 9 — и числото се дели (4563 : 9 = 507), въпреки че завършва на 3.
-
Смята се, че ако числото се дели на 3, то се дели и на 9.
Работи само в една посока: дели се на 9 → дели се и на 3. Обратното не е вярно. За 8241 сумата от цифрите е 15: дели се на 3 (8241 : 3 = 2747), а на 9 не.
-
За признака на 11 просто се събират всички цифри, както за 3 и 9.
За единадесет сумата е знакоредуваща се: цифрите се събират отзад, като се редува знакът. За 6479 това е 9 − 7 + 4 − 6 = 0 → дели се (6479 : 11 = 589). Обикновената сума от цифрите тук е 26 и не говори за нищо.
-
Признакът за делимост се бърка със самото деление: на въпроса „дели ли се 5391 на 9“ се отговаря „да, 18“.
18 е сумата от цифрите, междинен резултат от признака. Частното се изчислява отделно: 5391 : 9 = 599. Признакът отговаря само „дели се / не се дели“.
Въпроси и отговори
Какво е признак за делимост с прости думи?
Това е правило, което позволява да се разбере дали едно число ще се раздели на цяло, без да се извършва самото деление. Обикновено е достатъчно да се погледне последните цифри на числото или да се съберат всички негови цифри.
Как да разберем дали едно число се дели на 3?
Съберете всички цифри на числото. Ако получената сума се дели на 3, то и самото число се дели на 3. Например, за 2571 сумата от цифрите е 2 + 5 + 7 + 1 = 15, а 15 се дели на 3 → 2571 : 3 = 857.
С какво признакът за делимост на 3 се различава от признака на 9?
Правилото е еднакво — събира се сумата от цифрите, но се проверява тя спрямо различни числа: за тройката сумата трябва да се дели на 3, за деветката — на 9. Затова всяко число, което се дели на 9, се дели и на 3, а обратното не винаги е така: за 9420 сумата от цифрите е 15, дели се на 3 (9420 : 3 = 3140), но не и на 9.
Какво да правим, ако сумата от цифрите се получи голяма?
Приложете признака още веднъж — вече към сумата. За числото 777 771 сумата от цифрите е 36, за 36 сумата е 3 + 6 = 9. Деветката се дели на 9, следователно и първоначалното число се дели на 9 (а също и на 3): 777 771 : 9 = 86 419.
Има ли признак за делимост на 7?
Просто правило като сумата от цифрите за седмицата няма и в училищната таблица на признаците не се включва. Има прием: отхвърлете последната цифра, удвоете я и извадете от останалото число. Например, за 343: махаме 3, удвояваме — 6, смятаме 34 − 6 = 28. Числото 28 се дели на 7, следователно и 343 се дели: 343 : 7 = 49.
Какви са признаците за делимост на 12, 15 и 45?
Те са съставни — числото трябва да премине едновременно два признака: на 12 — да се дели на 3 и на 4, на 15 — на 3 и на 5, на 45 — на 5 и на 9. Важно е множителите да са взаимно прости: разлагането 12 = 2 · 6 не е подходящо, защото 18 се дели и на 2, и на 6, но на 12 не се дели.
В кой клас се изучават признаците за делимост?
В 6 клас по математика: първо признаците на 10, 5 и 2, след това на 3 и на 9. Признаците на 4, 8, 11 и 25 обикновено се разглеждат допълнително — те ще бъдат полезни при съкращаване на дроби и на олимпиади.
