Декартовото уравнение на права е начин за записване на линейно уравнение във вида \(y = mx + b\), където \(m\) е наклонът на правата, а \(b\) е отсечката от оста y — точката, в която правата пресича оста y. Това е най-удобната форма за чертане, тъй като можете да прочетете наклона и началната точка директно от уравнението. На тази страница ще видите какво означават \(m\) и \(b\), как да чертаете права по тях, как да намирате наклона през две точки и как да съставяте собствени уравнения — с решени примери и интерактивен тренажор.
Какво е декартово уравнение на права?
Всяка права (която не е вертикална) може да бъде записана в декартов вид:
Двете букви \(m\) и \(b\) са единствените неща, които се променят от една права към друга. Прочетете ги от уравнението по следния начин:
- \(m\) — наклонът. Той показва колко стръмна е правата и накъде се накланя. Наклонът означава изкачване върху движение: колко единици правата се изкачва (или спуска) за всяка една единица надясно.
- \(b\) — отсечката от оста y. Това е \(y\)-стойността, където правата пресича вертикалната ос, т.е. точката \((0, b)\). Когато \(x = 0\), членът \(mx\) изчезва и \(y = b\).
Например, в \(y = 2x + 3\) наклонът е \(m = 2\), а отсечката от оста y е \(b = 3\), така че правата пресича оста y в \((0, 3)\) и се изкачва с 2 единици за всяка 1 единица надясно.
m = наклон
Колко стръмна е правата: изкачване върху движение. Положителен наклон означава изкачване, отрицателен — спускане.
b = отсечка от оста y
Където правата пресича оста y, в точката (0, b).
Как се чертае права по декартово уравнение
Чертането на права по \(y = mx + b\) става в три лесни стъпки — не е нужна таблица със стойности:
- Отбележете отсечката от оста y. Поставете точка на оста y при \((0, b)\). Това е вашата начална точка.
- Използвайте наклона, за да намерите втора точка. Запишете \(m\) като дроб \(\frac{\text{изкачване}}{\text{движение}}\). От първата точка се преместете нагоре (изкачване) и надясно (движение). Цяло число за наклон като \(2\) е просто \(\frac{2}{1}\).
- Начертайте правата през двете точки и я удължете в двете посоки.
На мрежата по-долу е начертана \(y = 2x + 1\): отсечката от оста y е в \((0, 1)\), а наклонът \(2 = \frac{2}{1}\) означава 2 нагоре, 1 надясно, за да стигнете до следващата точка \((1, 3)\).
Как да намираме наклон и отсечка от оста y
От уравнение. Ако е вече във вида \(y = mx + b\), числото пред \(x\) е наклонът \(m\), а свободният член е отсечката от оста y \(b\). Внимавайте със знаците: в \(y = -3x - 4\), наклонът е \(m = -3\), а отсечката от оста y е \(b = -4\). Ако уравнението изглежда различно (например \(2x + y = 5\)), първо изразете \(y\): \(y = -2x + 5\), така че \(m = -2\) и \(b = 5\).
Наклон през две точки. При дадени две точки \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\), наклонът е промяната в \(y\), разделена на промяната в \(x\):
За точките \((1, 2)\) и \((3, 8)\): \(m = \frac{8 - 2}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3\). Изваждайте координатите в същия ред отгоре и отдолу, иначе ще обърнете знака.
Съставяне на уравнения в декартов вид
За да съставите уравнение, са ви нужни само наклонът \(m\) и отсечката от оста y \(b\), след което ги замествате в \(y = mx + b\).
- Дадени наклон и отсечка от оста y. С \(m = -2\) и \(b = 5\), уравнението е \(y = -2x + 5\). Готово.
- Дадени наклон и една точка. Заместете наклона и точката \((x, y)\) в \(y = mx + b\) и пресметнете \(b\). Пример: наклон \(m = 4\) през \((2, 3)\) дава \(3 = 4(2) + b\), така че \(b = 3 - 8 = -5\) и уравнението е \(y = 4x - 5\).
- Дадени две точки. Първо намерете наклона с формулата по-горе, след това използвайте една от точките, за да намерите \(b\), точно както в предишната стъпка.
Знакът на наклона ви показва веднага накъде ще върви правата.
| Наклон m | Посока на правата | Пример |
|---|---|---|
| m > 0 | Изкачва се от ляво надясно | y = 2x + 1 |
| m < 0 | Спуска се от ляво надясно | y = -2x + 4 |
| m = 0 | Хоризонтална — равна линия | y = 3 |
| недефиниран | Вертикална — не е в декартов вид | x = 5 |
Примери за декартово уравнение на права
Пример 1. Прочетете m и b, след това начертайте
Уравнение: \(y = \frac{1}{2}x - 2\)
Стъпка 1 — идентифицирайте частите. Наклонът е \(m = \frac{1}{2}\), а отсечката от оста y е \(b = -2\).
Стъпка 2 — отбележете отсечката от оста y. Поставете точка при \((0, -2)\) на оста y.
Стъпка 3 — използвайте наклона. \(m = \frac{1}{2}\) означава 1 нагоре, 2 надясно. От \((0, -2)\) се преместете до \((2, -1)\), след това до \((4, 0)\).
Стъпка 4 — начертайте правата през тези точки. Тя се изкачва леко, защото наклонът е положителен, но по-малък от 1.
Пример 2. Намиране на наклон през две точки
Точки: \((-1, 4)\) и \((2, -2)\)
Стъпка 1 — приложете формулата. \(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-2 - 4}{2 - (-1)} = \frac{-6}{3} = -2\).
Стъпка 2 — проверете знака. Наклонът е отрицателен, така че правата се спуска от ляво надясно. Това съвпада с точките: докато \(x\) расте, \(y\) намалява.
Наклонът на тази права е \(m = -2\).
Пример 3. Съставяне на уравнение по наклон и точка
Дадено: наклон \(m = 3\), минава през \((2, 1)\).
Стъпка 1 — започнете от \(y = mx + b\) с \(m = 3\): \(\; y = 3x + b\).
Стъпка 2 — заместете точката \((2, 1)\): \(\; 1 = 3(2) + b = 6 + b\).
Стъпка 3 — пресметнете b: \(\; b = 1 - 6 = -5\).
Уравнение: \(y = 3x - 5\).
Пример 4. Преобразуване в декартов вид
Уравнение: \(4x + 2y = 6\)
Стъпка 1 — изолирайте члена с y. Извадете \(4x\) от двете страни: \(2y = -4x + 6\).
Стъпка 2 — разделете на 2: \(\; y = -2x + 3\).
Стъпка 3 — прочетете m и b. Сега е в декартов вид: наклон \(m = -2\), отсечка от оста y \(b = 3\).
Чести грешки при декартовото уравнение
-
Размяна на m и b — четене на наклона като свободен член (или обратно).
Наклонът m винаги е числото пред x; отсечката от оста y, b, е самостоятелното число. В y = 5x + 2, наклонът е 5, а отсечката от оста y е 2 — никога обратното.
-
Изпускане на знака на наклона, например наричане на наклона на y = -3x + 1 просто 3.
Минусът е част от наклона. Тук m = -3, което означава, че правата се спуска. Отрицателният наклон винаги върви надолу от ляво надясно.
-
Объркване на изкачване и движение — преместване надясно първо, после нагоре, така че наклонът се обръща.
Наклонът е изкачване върху движение, а не движение върху изкачване. Наклон от 2 = 2/1 означава 2 нагоре за всяко 1 надясно; наклон от 1/2 означава 1 нагоре за всеки 2 надясно. Дръжте изкачването отгоре.
-
Четене на отсечката от оста y като x-стойност, например отбелязване на b = 3 в (3, 0) вместо в (0, 3).
Отсечката от оста y лежи върху оста y: b винаги е точката (0, b). Започвайте всяка графика с движение нагоре или надолу по оста y, а не по оста x.
-
Изваждане на координатите в различен ред във формулата за наклон.
Използвайте същия ред отгоре и отдолу: m = (y2 - y1) / (x2 - x1). Ако започнете с y на втората точка отгоре, започнете с x на втората точка отдолу, иначе знакът ще се обърне.
Често задавани въпроси
Какво е декартово уравнение на права?
Декартовото уравнение на права е уравнение на права линия, записано като y = mx + b, където m е наклонът, а b е отсечката от оста y. Това е най-удобната форма за чертане, защото и стръмността (m), и началната точка върху оста y (b) се виждат директно в уравнението.
Какво означават m и b в y = mx + b?
m е наклонът — колко стръмна е правата и дали се изкачва или спуска, измерено като изкачване върху движение. b е отсечката от оста y — y-стойността, където правата пресича вертикалната ос, т.е. точката (0, b).
Как се намира наклон през две точки?
Използвайте формулата за наклон m = (y2 - y1) / (x2 - x1): извадете двете y-стойности отгоре и съответните x-стойности отдолу. Например, за (1, 2) и (3, 8), m = (8 - 2) / (3 - 1) = 6 / 2 = 3.
Как се чертае права по декартово уравнение?
Първо отбележете отсечката от оста y в (0, b). След това използвайте наклона като изкачване върху движение, за да стигнете до втора точка — нагоре (или надолу) за изкачването, надясно за движението. Начертайте права линия през двете точки и я удължете в двете посоки.
Как се съставя уравнение в декартов вид?
Намерете наклона m и отсечката от оста y, b, след това ги заместете в y = mx + b. Ако имате само наклона и една точка, заместете точката в уравнението и първо пресметнете b. Ако имате две точки, намерете наклона с формулата, след това пресметнете b.
Какво ни казва знакът на наклона?
Положителният наклон означава, че правата се изкачва от ляво надясно; отрицателният наклон означава, че се спуска. Наклон от 0 прави хоризонтална права, а вертикалната права има недефиниран наклон, който не може да бъде записан в декартов вид.
