Квадратният корен от числото \(a\) е число, чийто квадрат е равен на \(a\), а аритметичен квадратен корен се нарича само неговата неотрицателна стойност: \(\sqrt{25} = 5\). Корен може да се извлича само от неотрицателни числа, но свойствата на корена превръщат тромавите изрази в кратки. На тази страница — определение и дефиниционно множество, всички свойства на квадратния корен с формули, таблица на квадратни корени от 1 до 20, методи за извличане на корен и извеждане на множител, разгледани примери, чести грешки и интерактивен тренажор.
Какво е квадратен корен от число
Квадратният корен от число \(a\) е такова число, чийто квадрат е равен на \(a\). Извличането на корен и повдигането на квадрат са взаимно обратни действия: от \(7^2 = 49\) веднага следва, че квадратният корен от 49 е равен на 7.
Но положителното число има точно два квадратни корена, които се различават само по знака: \(5^2 = 25\) и \((-5)^2 = 25\), тоест квадратните корени от 25 са и \(5\), и \(-5\). За да може записът \(\sqrt{25}\) да означава едно-единствено число, е договорено: знакът \(\sqrt{\phantom{a}}\) записва само неотрицателния корен. Той се нарича аритметичен.
Записът има свои названия: знакът \(\sqrt{\phantom{a}}\) е радикал, а числото или изразът под него — израз под корена.
Аритметичен квадратен корен: определение и дефиниционно множество
Аритметичен квадратен корен от неотрицателно число \(a\) се нарича неотрицателно число, чийто квадрат е равен на \(a\). Означава се с \(\sqrt{a}\) и се чете „корен от а“.
В определението са скрити две условия и двете са еднакво важни:
- изразът под корена е неотрицателен: \(a \ge 0\);
- стойността на корена е неотрицателна: \(\sqrt{a} \ge 0\).
Оттук веднага получаваме: \(\sqrt{25} = 5\), а не \(-5\); \(\sqrt{0} = 0\); а записът \(\sqrt{-9}\) в реални числа няма смисъл — няма число, чийто квадрат е отрицателен.
Първото условие задава дефиниционното множество на израза с корен. Например, \(\sqrt{x-7}\) има смисъл при \(x - 7 \ge 0\), тоест при \(x \ge 7\): всяка по-малка стойност на \(x\) вкарва под корена отрицателно число.
От определението следва и равенството \((\sqrt{a})^2 = a\) при \(a \ge 0\): повдигането на корена на квадрат връща числото под корена. То работи дори когато самият корен не можем да изчислим точно: \((\sqrt{31})^2 = 31\).
Таблица на квадратни корени: квадрати на числа от 1 до 20
Корен се извлича цяло число точно тогава, когато числото под корена е точен квадрат. Затова таблицата на квадратите работи и като таблица на квадратни корени: тя се чете в двете посоки — \(14^2 = 196\), следователно \(\sqrt{196} = 14\).
Таблицата помага не само с цели числа:
- десетични дроби: \(\sqrt{0{,}64} = 0{,}8\), защото \(0{,}8^2 = 0{,}64\);
- обикновени дроби: \(\sqrt{\dfrac{16}{81}} = \dfrac{4}{9}\) — коренът се извлича отделно от числителя и отделно от знаменателя;
- кръгли числа: \(\sqrt{2500} = 50\), защото \(2500 = 25 \cdot 100\), а коренът от всеки множител е известен.
Свойства на квадратния корен
Свойствата на квадратния корен позволяват да се изчисляват изрази, без да се извлича всеки корен поотделно, и да се опрости отговорът.
Корен от произведение е равен на произведението от корените: \(\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\) при \(a \ge 0\) и \(b \ge 0\). Например, \(\sqrt{9 \cdot 16} = 3 \cdot 4 = 12\) — същият отговор като \(\sqrt{144}\).
Корен от частно е равен на частното от корените: \(\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\) при \(a \ge 0\) и \(b > 0\). Например, \(\sqrt{\dfrac{36}{49}} = \dfrac{6}{7}\). Условието \(b > 0\) е строго: на нула не се дели.
Корен от квадрат е равен на модул: \(\sqrt{a^2} = |a|\), и това е вярно за всяко число \(a\). Тук е главната тънкост на цялата тема. Ако \(a \ge 0\), нищо не се променя: \(\sqrt{7^2} = 7\). Но при отрицателно \(a\) знакът „се изправя“: \(\sqrt{(-6)^2} = \sqrt{36} = 6\), а не \(-6\) — защото аритметичният корен не може да бъде отрицателен.
Квадрат на корен връща числото под корена: \((\sqrt{a})^2 = a\) при \(a \ge 0\).
А ето за сума и разлика подобни свойства не съществуват: корен от сума не е равен на сума от корени. Това е най-честата грешка в темата, разбор — по-долу.
| Свойство и условие | Пример |
|---|---|
| √(a · b) = √a · √bпри a ≥ 0 и b ≥ 0 | √(4 · 25) = 2 · 5 = 10 |
| √(a / b) = √a / √bпри a ≥ 0 и b > 0 | √(81 / 16) = 9 / 4 |
| √(a²) = |a|при всяко a | √((−12)²) = 12 |
| (√a)² = aпри a ≥ 0 | (√13)² = 13 |
| √(a² · b) = |a| · √bпри b ≥ 0 | √(25 · 3) = 5√3 |
Как да извлечем квадратен корен от число
Калкулаторът не винаги е под ръка, а училищните задачи почти винаги са подбрани така, че коренът да се извлича. Редът на действията е следният.
- Провери по таблицата на квадратите. Ако числото е в таблицата, отговорът е готов: \(\sqrt{289} = 17\).
- Отдели кръгъл множител. При числа с нули е удобно да се отделят \(100\), \(10\,000\) и така нататък: \(\sqrt{6400} = \sqrt{64 \cdot 100} = 8 \cdot 10 = 80\).
- Разложи на прости множители. Това е универсален метод: \(576 = 2^6 \cdot 3^2\), показателите на степените се делят на две и получаваме \(\sqrt{576} = 2^3 \cdot 3 = 24\).
- Десетичната дроб превърни в обикновена. \(\sqrt{1{,}44} = \sqrt{\dfrac{144}{100}} = \dfrac{12}{10} = 1{,}2\). Същевременно това спасява от загуба на разряд.
- Ако няма точен квадрат — коренът е ирационален. Тогава той или се оставя в отговора със символ (така и се пише: \(\sqrt{30}\)), или се оценява между съседни квадрати.
Проверката отнема секунда: полученото число се повдига на квадрат и се гледа дали се връща числото под корена. \(24^2 = 576\) — вярно.
Извеждане на множител изпод знака на корена
Корен рядко се оставя „суров“ — изпод него се изнася всичко, което може да се извлече. Работи свойството \(\sqrt{a^2 b} = |a| \sqrt{b}\) при \(b \ge 0\): търсим най-големия квадратен делител на числото под корена.
- \(\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}\);
- \(\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}\);
- \(\sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = 10\sqrt{3}\).
Обратното действие — вкарване на множител под корена: \(a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}\) при \(a \ge 0\). Например, \(3\sqrt{5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}\).
С отрицателен множител е нужна предпазливост: минусът не влиза под корена и остава отвън. Правилният запис е — \(-2\sqrt{3} = -\sqrt{12}\), а не \(\sqrt{12}\).
Защо е нужно това: след извеждане на множителя корените с еднакво число под корена стават подобни събираеми и могат да се събират. А вкарването на множител под корена — най-бързият начин да се сравнят два израза с корени.
Какъв е квадратният корен, който не се извлича
Ако числото под корена не е точен квадрат, коренът е ирационално число: неговата десетична запис е безкрайна и непериодична. Например, \(\sqrt{2} \approx 1{,}4142\ldots\), и точната стойност се записва само със символа \(\sqrt{2}\). Закръглен отговор се пише само когато е поискано в задачата.
Да се оцени такъв корен може и без калкулатор: да се намерят два съседни точни квадрата, между които лежи числото под корена. Работи правилото за сравнение: за \(a \ge 0\) и \(b \ge 0\) от \(a < b\) следва \(\sqrt{a} < \sqrt{b}\) — на по-голямото число под корена отговаря по-голям корен.
Примери за изчисляване с квадратни корени
Пример 1. Стойност на израз с корени
Изчисли \(\sqrt{121} - \sqrt{0{,}36} + \sqrt{\dfrac{9}{25}}\).
Стъпка 1. \(\sqrt{121} = 11\), защото \(11^2 = 121\).
Стъпка 2. \(\sqrt{0{,}36} = 0{,}6\), защото \(0{,}6^2 = 0{,}36\).
Стъпка 3. Коренът от дроб се извлича по числителя и знаменателя: \(\sqrt{\dfrac{9}{25}} = \dfrac{3}{5} = 0{,}6\).
Стъпка 4. Събираме: \(11 - 0{,}6 + 0{,}6 = 11\).
Отговор: 11.
Пример 2. Корен от произведение
Изчисли \(\sqrt{8} \cdot \sqrt{18}\).
Стъпка 1. Поотделно тези корени не се извличат, затова ги обединяваме в един: \(\sqrt{8} \cdot \sqrt{18} = \sqrt{8 \cdot 18}\).
Стъпка 2. Изчисляваме произведението под корена: \(8 \cdot 18 = 144\).
Стъпка 3. \(\sqrt{144} = 12\).
Друг път — да се изнесат множителите предварително: \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\) и \(\sqrt{18} = 3\sqrt{2}\), тогава \(2\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2} = 6 \cdot (\sqrt{2})^2 = 6 \cdot 2 = 12\). Отговорите съвпаднаха.
Отговор: 12.
Пример 3. Извличане на корен чрез разлагане на множители
Изчисли \(\sqrt{576}\) и \(\sqrt{6400}\).
Стъпка 1. Числото 576 не е в таблицата на квадратите, затова го разлагаме на прости множители: \(576 = 2^6 \cdot 3^2\).
Стъпка 2. Показателите на степените делим на две: \(\sqrt{2^6 \cdot 3^2} = 2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24\).
Стъпка 3. Проверка. \(24^2 = 576\) — вярно.
Стъпка 4. При числото 6400 е по-удобно да се отдели кръгъл множител: \(\sqrt{6400} = \sqrt{64 \cdot 100} = 8 \cdot 10 = 80\). Проверка: \(80^2 = 6400\).
Отговор: \(\sqrt{576} = 24\), \(\sqrt{6400} = 80\).
Пример 4. Извеждане на множител и привеждане на подобни
Опрости \(2\sqrt{98} - \sqrt{300} + \sqrt{72}\).
Стъпка 1. Извеждаме множители изпод всеки корен: \(\sqrt{98} = \sqrt{49 \cdot 2} = 7\sqrt{2}\), следователно \(2\sqrt{98} = 14\sqrt{2}\).
Стъпка 2. \(\sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = 10\sqrt{3}\).
Стъпка 3. \(\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}\).
Стъпка 4. Събиране е възможно само на корени с еднакво число под корена: \(14\sqrt{2} + 6\sqrt{2} = 20\sqrt{2}\), а събираемото с \(\sqrt{3}\) остава отделно.
Отговор: \(20\sqrt{2} - 10\sqrt{3}\).
Пример 5. Корен от квадрат на променлива
Опрости \(\sqrt{(x-4)^2}\) при \(x < 4\).
Стъпка 1. По свойството корен от квадрат \(\sqrt{(x-4)^2} = |x-4|\) — веднага пишем модул, а не \(x - 4\).
Стъпка 2. Разкриваме модула според условието. Ако \(x < 4\), то разликата \(x - 4\) е отрицателна, а модулът на отрицателно число е противоположното му число: \(|x-4| = 4 - x\).
Стъпка 3. Проверка. Да вземем \(x = 1\): отляво \(\sqrt{(1-4)^2} = \sqrt{9} = 3\), отдясно \(4 - 1 = 3\) — съвпада.
Отговор: \(4 - x\). За сравнение, при \(x \ge 4\) отговорът би бил \(x - 4\).
Пример 6. Сравнение на изрази с корени
Сравни \(3\sqrt{5}\) и \(5\sqrt{2}\).
Стъпка 1. И двете числа са положителни, затова вкарваме множителя под корена: \(3\sqrt{5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}\).
Стъпка 2. \(5\sqrt{2} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{50}\).
Стъпка 3. Сравняваме числата под корена: \(45 < 50\), а на по-голямото число под корена отговаря по-голям корен.
Отговор: \(3\sqrt{5} < 5\sqrt{2}\).
Чести грешки при работа с квадратен корен
-
Пишат $\sqrt{a^2} = a$, забравяйки за модула.
Вярното равенство е \(\sqrt{a^2} = |a|\). За отрицателно число това е принципно: \(\sqrt{(-13)^2} = \sqrt{169} = 13\), а не \(-13\). Аритметичният корен не може да бъде отрицателен, затова знакът под корена „се изправя“.
-
Смятат, че коренът от сума е равен на сума от корени: $\sqrt{9 + 16} = 3 + 4$.
Такова свойство няма. Първо се извършва действието под корена: \(\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\), а не 7. Свойства има само за произведение и частно: \(\sqrt{ab} = \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\) и \(\sqrt{a/b} = \sqrt{a}/\sqrt{b}\).
-
Отговарят, че $\sqrt{49} = \pm 7$.
\(\sqrt{49} = 7\) — аритметичният корен винаги е един и е неотрицателен. Две стойности се появяват в друго уравнение: уравнението \(x^2 = 49\) има корени \(x = 7\) и \(x = -7\). Не бива да се бърка записът на корен с решение на уравнение.
-
Пишат $\sqrt{-16} = -4$, разсъждавайки „минус на минус“.
Под корена не може да стои отрицателно число: \((-4)^2 = 16\), а не \(-16\), така че \(\sqrt{-16}\) в реални числа няма смисъл. А изразът \(-\sqrt{16} = -4\) е напълно коректен — минусът е пред корена, а не под него.
-
Вкарват под корена отрицателен множител: $-2\sqrt{3} = \sqrt{12}$.
Правилото \(a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}\) работи само при \(a \ge 0\). Минусът остава отвън: \(-2\sqrt{3} = -\sqrt{12}\). Проверка със знак: \(-2\sqrt{3} \approx -3{,}46\), а \(\sqrt{12} \approx 3{,}46\) — числата са противоположни.
-
Губят разряд при десетична дроб: $\sqrt{0{,}04} = 0{,}02$.
Проверявайте с обратно повдигане на квадрат: \(0{,}02^2 = 0{,}0004\), не съвпада. Правилно е \(\sqrt{0{,}04} = 0{,}2\), защото \(0{,}2^2 = 0{,}04\). Надежден метод е преминаване към обикновена дроб: \(\sqrt{\dfrac{4}{100}} = \dfrac{2}{10} = 0{,}2\).
-
Уверени са, че коренът винаги е по-малък от самото число.
Това е вярно само за числа, по-големи от единица. В отрезка от 0 до 1 всичко е обратно: \(\sqrt{0{,}25} = 0{,}5\), и \(0{,}5\) е по-голямо от \(0{,}25\). А за 0 и 1 коренът е равен на самото число.
Въпроси и отговори
Какво е аритметичен квадратен корен с прости думи?
Това е неотрицателно число, което при повдигане на квадрат дава числото под корена. Записва се \(\sqrt{a}\), като числото под корена трябва да е неотрицателно: \(a \ge 0\). Например, \(\sqrt{64} = 8\), защото \(8 \ge 0\) и \(8^2 = 64\).
С какво квадратен корен се различава от аритметичен квадратен корен?
Квадратни корени от положително число има два — противоположни по знак. Аритметичен се нарича само неотрицателният от тях, и именно него означава знакът \(\sqrt{\phantom{a}}\). Затова \(\sqrt{25} = 5\), въпреки че уравнението \(x^2 = 25\) има два корена: 5 и \(-5\).
Как да извлечем квадратен корен от число без калкулатор?
Първо проверете числото по таблицата на квадратите. Ако го няма там — разложете го на множители и отделете точните квадрати: \(784 = 16 \cdot 49\), следователно \(\sqrt{784} = 4 \cdot 7 = 28\). Винаги проверявайте отговора с обратното действие: \(28^2 = 784\).
Може ли да се извлече квадратен корен от отрицателно число?
В реални числа — не: квадратът на всяко число е неотрицателен, затова изразът \(\sqrt{-9}\) няма смисъл. Именно от това условие се търси дефиниционното множество: например, \(\sqrt{x-7}\) съществува само при \(x \ge 7\).
Какъв е коренът от квадрата на число?
Модулът на това число: \(\sqrt{a^2} = |a|\). При неотрицателно \(a\) ще се получи самото число, при отрицателно — противоположното му: \(\sqrt{(-6)^2} = 6\).
Как да изведем множител изпод знака на корена?
Намерете най-големия квадратен делител на числото под корена и приложете свойството \(\sqrt{a^2 b} = |a|\sqrt{b}\). Например, \(\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}\). Обратното действие — вкарване на множител под корена: \(3\sqrt{5} = \sqrt{45}\).
Какъв е квадратният корен от 2?
Числото \(\sqrt{2}\) е ирационално: неговата десетична запис е безкрайна и непериодична, \(\sqrt{2} \approx 1{,}4142\). Точна стойност във вид на дроб не съществува, затова в отговорите го оставят със символа \(\sqrt{2}\), а закръглят само ако условието го изисква.
Как да сравним две числа с корени, без да ги изчисляваме?
Вкарайте множителите под корена и сравнете числата под корена: на по-голямото число под корена отговаря по-голям корен. Например, \(\sqrt{17}\) и 4: тъй като \(4 = \sqrt{16}\) и \(17 > 16\), то \(\sqrt{17} > 4\).
В кой клас се изучават квадратни корени?
В 8 клас по алгебра: първо определението на аритметичен квадратен корен и неговите свойства, след това преобразуване на изрази с корени и решаване на уравнения от вида \(x^2 = a\). След това корените се срещат във формулата на дискриминантата и в задачи от НВО и ДЗИ.
