Неравенство — това са два израза, свързани със знак \(<\), \(>\), \(\le\) или \(\ge\). Да решим неравенство — означава да намерим всички стойности на променливата, при които то се превръща във вярно числово неравенство. Отговорът няма да е едно число, а цяло множество: интервал на числовата ос или обединение от интервали. На тази страница е събрана база, обща за всички видове неравенства: как да четем знаците, какви преобразувания са разрешени, защо знакът се обръща при деление на отрицателно число и как правилно да запишем отговора. А след това — преглед на всички видове неравенства с връзки към подробни разбори и тренажор за проверка на себе си.
Какво означава да решим неравенство
Решението на неравенство — това е всяка стойност на променливата, която превръща неравенството във вярно числово. А да решим неравенство — означава да намерим всички такива стойности и да ги запишем като множество.
Сравни с уравнение. Уравнението \(2x = 8\) има отговор — едно число \(x = 4\). Неравенството \(2x < 8\) има отговор — безкрайно много числа: подходящи са и \(3\), и \(0\), и \(-100\), и \(3{,}999\). Да ги запишем едно по едно е невъзможно, затова отговорът се оформя като интервал: \(x < 4\), т.е. \((-\infty;\ 4)\).
Да проверим дали конкретно число е решение, е лесно: замести го вместо променливата и виж дали се е получило вярно неравенство.
- \(x = 1\) в неравенството \(2x < 8\): \(2 \cdot 1 = 2 < 8\) — вярно, значи \(1\) е решение.
- \(x = 5\): \(2 \cdot 5 = 10 < 8\) — невярно, значи \(5\) не е решение.
Две неравенства се наричат еквивалентни, ако множествата им от решения съвпадат. Цялото решение на неравенство — това е верига от преходи към по-просто еквивалентно неравенство, докато отляво не остане само \(x\).
Знаци на неравенствата: строги и нестроги
Знаците са четири и от това кой от тях стои, зависи и отговорът, и оформлението. Строгите знаци \(<\) и \(>\) самата гранична точка не включват в отговора, нестрогите \(\le\) и \(\ge\) — включват.
Това различие се проследява през цялото решение: строгият знак дава празна точка на оста и кръгла скобка в отговора, нестрогият — запълнена точка и квадратна скобка.
| Знак | Как се чете и какво дава в отговора |
|---|---|
| < | по-малкострогточка празна, скоба кръгла |
| > | по-голямострогточка празна, скоба кръгла |
| ≤ | по-малко или равнонестрогточка запълнена, скоба квадратна |
| ≥ | по-голямо или равнонестрогточка запълнена, скоба квадратна |
Еквивалентни преобразувания: какво може да се прави с неравенството
С неравенство е разрешено да се прави почти същото, както с уравнение, но с едно важно допълнение. Събиране и изваждане може свободно: ако към двете страни се прибави или от двете страни се извади едно и също, множеството от решения няма да се промени. Именно така членовете се „пренасят“ през знака, като им се сменя плюсът на минус.
А ето умножението и делението зависят от знака на множителя. При умножение или деление на двете страни на отрицателно число знакът на неравенството се сменя на противоположен: \(<\) става \(>\), \(\le\) става \(\ge\) и обратно. Причината се вижда на числата: от вярното \(3 < 5\) след умножение по \(-1\) се получава \(-3\) и \(-5\), а \(-3 > -5\) — редът на числата се е обърнал.
Същото се случва, ако разменим лявата и дясната страна: от \(7 < y\) се получава \(y > 7\).
| Какво правим с двете страни | Какво се случва със знака |
|---|---|
| Прибавяме или изваждаме едно и също число или израз | знакът се запазва |
| Умножаваме или делим на положително число | знакът се запазва |
| Умножаваме или делим на отрицателно число | знакът се сменя |
| Разменяме лявата и дясната страна | знакът се сменя |
| Умножаваме или делим на израз с променлива (x − 2) | така не може |
Как да запишем отговора: числова ос и интервали
Когато променливата е останала сама, решението е почти готово — остава да го оформим. Най-удобно е първо да отбележим отговора на числовата ос, а вече от оста да изчислим интервала.
Правилата за запис са само три и те не се променят от вида на неравенството:
- кръгла скоба — точката не се включва в отговора (строг знак, празна точка);
- квадратна скобка — точката се включва (нестрог знак, запълнена точка);
- при безкрайността скобата винаги е кръгла: \((-\infty;\ 4)\), \([3;\ +\infty)\) — запис от вида \([-\infty;\ 4]\) не съществува, безкрайността не е число и не може да бъде достигната.
Ако решението се окажат два къса от оста, те се свързват със знак за обединение \(\cup\): например, \((-\infty;\ -5) \cup (3;\ +\infty)\).
Видове неравенства и методи за тяхното решаване
Неравенствата се различават по това как в тях влиза променливата — дали е на първа степен, под квадрат, в знаменател или под модул. Именно това определя метода на решаване, затова първата стъпка във всяко решение е да се определи видът на неравенството. Общата логика по-нататък е една: да се приведе неравенството във вида „израз се сравнява с нула“, а след това да се приложи метод, подходящ за този вид. Сводка на видовете и методите — в таблицата по-долу.
Отделно трябва да се запомни как се разкрива модулът — таблицата не го побира. При \(a > 0\) неравенството \(|f(x)| < a\) е еквивалентно на двойното неравенство \(-a < f(x) < a\) (получава се система), а \(|f(x)| > a\) — на съвкупност от \(f(x) < -a\) или \(f(x) > a\) (получава се обединение от интервали). Ако пък \(a < 0\), изобщо няма за какво да се мисли: модулът е неотрицателен, затова \(|f(x)| < a\) няма решения, а \(|f(x)| > a\) е вярно за всички допустими \(x\).
Ирационални (с корен) и показателни неравенства се разглеждат в гимназията: към обичайните преобразувания там се добавя работа с областта на допустимите стойности.
Подробни разбори на отделни видове: линейни неравенства, рационални неравенства и метод на интервалите, а корените на квадратен тричлен удобно се подбират по теоремата на Виет.
| Вид | Как изглежда и с какво се решава |
|---|---|
| Линейно | ax + b > 0пренасяме членовете и делим на коефициента пред x |
| Квадратно | ax2 + bx + c > 0намираме корените на тричлена и гледаме параболата |
| Дробно-рационално | P(x) / Q(x) ≥ 0метод на интервалите, нулите на знаменателя се празнят |
| С модул | | f(x) | < aразкриваме модула по определение |
| Система | две неравенства във фигурни скобирешаваме всяко, вземаме пресечката |
Системи и съвкупности от неравенства
Често едно неравенство се разпада на две и тогава е важно да не се обърка какво да се прави с получените множества.
Система (фигурна скобка) означава „и едното, и другото едновременно“. Решаваме всяко неравенство поотделно, отбелязваме двата отговора на една ос и вземаме пресечката — общата част. Ако няма обща част, системата няма решения.
Съвкупност (квадратна скобка) означава „или едното, или другото“. Тук се взема обединението — всичко, което е защриховано поне от един от отговорите. Съвкупност се появява, например, при разкриване на модул със знак „по-голямо“.
Отделно стои двойното неравенство от вида \(-3 < 2x + 1 \le 7\): това е съкратен запис на система. Преобразуванията се извършват веднага над трите части — изважда се, дели се, и при деление на отрицателно число се обръщат двата знака заедно.
Примери за решаване на неравенства
Пример 1. Проверка дали число е решение
Задача. Дали \(x = -1\) е решение на неравенството \(3x + 5 \ge 1\)?
Стъпка 1. Заместваме \(-1\) вместо \(x\): \(3 \cdot (-1) + 5 = -3 + 5 = 2\).
Стъпка 2. Сравняваме с дясната страна: \(2 \ge 1\) — вярно числово неравенство.
Отговор. Да, \(-1\) е едно от решенията. Но да решим неравенство — означава да намерим всички такива числа, а не едно: тук отговорът е \(x \ge -\frac{4}{3}\).
Пример 2. Линейно неравенство със смяна на знака
Задача. Реши \(7 - 3x < 1\).
Стъпка 1. Пренасяме \(7\) вдясно (т.е. изваждаме \(7\) от двете страни — знакът на неравенството не се променя): \(-3x < 1 - 7\), т.е. \(-3x < -6\).
Стъпка 2. Делим двете страни на \(-3\). Делителят е отрицателен, затова знакът се обръща: \(x > 2\).
Стъпка 3. Отбелязваме на оста: празна точка в \(2\), защриховаме всичко надясно.
Отговор. \(x > 2\), т.е. \(x \in (2;\ +\infty)\).
Пример 3. Квадратно неравенство
Задача. Реши \(x^2 - 4x - 5 \le 0\).
Стъпка 1. Намираме корените на тричлена: \(D = 16 + 20 = 36\), \(\sqrt{D} = 6\), откъдето \(x_1 = -1\), \(x_2 = 5\).
Стъпка 2. Коефициентът пред \(x^2\) е положителен, затова рамената на параболата са насочени нагоре: между корените тричленът е отрицателен, а извън корените — положителен.
Стъпка 3. Нуждаем се от знак \(\le 0\), т.е. отрицателни стойности и самите корени (знакът е нестрог) — вземаме отсечката между корените заедно с краищата.
Отговор. \(x \in [-1;\ 5]\).
Пример 4. Неравенство с модул
Задача. Реши \(|x + 1| > 4\).
Стъпка 1. Модулът е по-голям от положително число — това означава, че изразът под модула е или по-голям от \(4\), или по-малък от \(-4\). Получаваме съвкупност: \(x + 1 > 4\) или \(x + 1 < -4\).
Стъпка 2. Решаваме всяко: от първото \(x > 3\), от второто \(x < -5\).
Стъпка 3. Това е съвкупност, затова вземаме обединението на интервалите, а не пресечката.
Отговор. \(x \in (-\infty;\ -5) \cup (3;\ +\infty)\).
Пример 5. Система от неравенства
Задача. Реши системата \(\begin{cases} 2x + 1 > -3 \\ x - 4 \le 0 \end{cases}\)
Стъпка 1. Първото неравенство: \(2x > -4\), делим на положително \(2\) — знакът се запазва, \(x > -2\).
Стъпка 2. Второто неравенство: \(x \le 4\).
Стъпка 3. Отбелязваме двата отговора на една ос и вземаме пресечката — участъкът, защрихован два пъти. Лявата граница не влиза (строг знак), дясната влиза (нестрог).
Отговор. \(x \in (-2;\ 4]\).
Чести грешки при решаване на неравенства
-
Разделили са на отрицателно число и са оставили същия знак.
При умножение и деление на двете страни на отрицателно число знакът задължително се сменя на противоположен. От \(-5x \ge 10\) се получава \(x \le -2\), а не \(x \ge -2\). Можеш да провериш себе си чрез заместване: \(x = -3\) дава \(15 \ge 10\) — вярно, значи правилният отговор наистина е „по-малко или равно“.
-
Пишат квадратна скобка при безкрайност: $[-\infty;\ 7]$.
Безкрайността не е число, тя не може да бъде „достигната“, затова скобата около \(\infty\) винаги е кръгла: \((-\infty;\ 7]\). Квадратна скобка се поставя само при крайна граница, която влиза в отговора.
-
Бъркат типа скобка и типа точка: строг знак записват с квадратна скобка.
Строг знак (\(<\), \(>\)) — границата не влиза: празна точка и кръгла скобка. Нестрог (\(\le\), \(\ge\)) — границата влиза: запълнена точка и квадратна скобка. Проверката е проста: замести самата гранична точка в първоначалното неравенство и виж дали се е получило вярно.
-
Умножават двете страни на израз с променлива, за да „се отърват от дробта“.
Знакът на такъв израз е неизвестен, затова не е ясно дали да се обърне знакът на неравенството или не — преобразуванието е нееквивалентно. Вместо това всичко се пренася в една част, свежда се до една дроб и се прилага метод на интервалите.
-
В отговора записват едно число: „$x = 3$“ вместо множество.
Решението на неравенство е множество от стойности. Запиши го като интервал: \(x > 3\), т.е. \((3;\ +\infty)\). Едно число може да бъде елемент от отговора, но не и самият отговор.
-
При система вземат обединение, а при съвкупност — пресечка.
При система (фигурна скобка, „и“) — пресечка, обща част на интервалите. При съвкупност (квадратна скобка, „или“) — обединение чрез знак \(\cup\). И още: запис от вида „\(-2 < x > 5\)“ няма смисъл — такъв отговор се оформя като обединение на два интервала.
Въпроси и отговори
Какво означава да решим неравенство?
Да решим неравенство — означава да намерим всички стойности на променливата, при които то се превръща във вярно числово неравенство, и да ги запишем като множество. Отговорът ще бъде интервал или обединение от интервали, а не отделно число.
Какви видове неравенства има?
По вида на израза с променлива се различават линейни (\(ax + b > 0\)), квадратни (\(ax^2 + bx + c > 0\)), дробно-рационални (променлива в знаменател), с модул, ирационални и показателни. Отделно се обособяват системи и съвкупности от неравенства. По знака на неравенството се делят на строги (\(<\), \(>\)) и нестроги (\(\le\), \(\ge\)).
Кога знакът на неравенството се сменя на противоположен?
В два случая: когато двете страни се умножават или делят на отрицателно число и когато лявата и дясната страна се разменят. При прибавяне, изваждане и деление на положително число знакът остава същият.
Кога скобата е кръгла, а кога квадратна?
Кръгла — ако граничната точка не влиза в отговора (строг знак, празна точка на оста). Квадратна — ако влиза (нестрог знак, запълнена точка). До \(+\infty\) и \(-\infty\) скобата винаги е кръгла.
С какво решението на неравенство се различава от решението на уравнение?
Преобразуванията са почти същите, но при уравнение отговорът обикновено се състои от отделни числа, а при неравенство — от цели интервали. Освен това, при неравенството има правило за смяна на знака при умножение и деление на отрицателно число, което при уравненията го няма.
Какво неравенство се счита за дробно и къде се разглежда?
Дробно (дробно-рационално) се нарича неравенство, в което променливата стои в знаменател — например \(\frac{P(x)}{Q(x)} \ge 0\); заради знаменателя то има област на допустимите стойности и обикновено деление не може да го реши. Поетапният алгоритъм с примери е в отделен материал рационални неравенства и метод на интервалите.
В кой клас се изучава решаването на неравенства?
Линейни неравенства и числови интервали се изучават в 8 клас (при Мерзляк — в 9), квадратни и дробно-рационални неравенства с метод на интервалите — в 8-9 клас, а ирационални и показателни — в гимназията.
