Средното аритметично, медианата, модата и обхватът са четири начина за описание на множество от числа. Три от тях — средното аритметично, медианата и модата — са мерки за централна тенденция: те показват как изглежда една „типична“ стойност. Четвъртата, обхватът, измерва колко разпръснати са данните. На тази страница ще намерите ясна дефиниция за всяка от тях, точно как да ги изчислите (включително сложната медиана при четен брой стойности), кога да използвате всяка, решени примери, често срещани грешки и интерактивен тест за упражнение.
Какво представляват средното аритметично, медианата, модата и обхватът?
Всяка мярка отговаря на различен въпрос за вашите данни:
- Средно аритметично — средната стойност. Балансира всички стойности в едно число.
- Медиана — средната стойност, след като числата са подредени.
- Мода — стойността, която се среща най-често.
- Обхват — размахът, от най-малката до най-голямата стойност.
Таблицата по-долу показва какво представлява всяка от тях и как точно се изчислява. Забележете, че само модата се отнася за честотата, а само обхватът описва разсейването, а не централна стойност.
| Мярка | Какво е | Как се изчислява |
|---|---|---|
| Средно аритметично | Средната стойност | Съберете всички числа, след това разделете на техния брой |
| Медиана | Средната стойност при подреждане | Подредете числата; изберете средното. Ако има две средни числа, намерете тяхното средно аритметично |
| Мода | Най-честата стойност | Намерете стойността, която се среща най-често. Може да няма, да има една или няколко |
| Обхват | Разсейване на данните | Извадете най-малката стойност от най-голямата |
Как се намират средно аритметично, медиана и мода
Нека изчислим всички четири за едно множество от данни, за да видите как се различават. Вземете числата 4, 8, 8, 5, 3, 8, 6 (седем стойности).
Средно аритметично. Съберете ги: 4 + 8 + 8 + 5 + 3 + 8 + 6 = 42. Има 7 стойности, така че средното е 42 ÷ 7 = 6.
Медиана. Първо подредете: 3, 4, 5, 6, 8, 8, 8. При 7 стойности средната е 4-тата, така че медианата е 6. (Винаги подреждайте, преди да изберете средното — това е най-честата грешка.)
Мода. Стойността 8 се появява три пъти, повече от всяка друга, така че модата е 8.
Обхват. Най-голямата стойност е 8, а най-малката е 3, така че обхватът е 8 − 3 = 5.
Едно множество от данни, четири различни отговора — ето защо имаме четири мерки.
Кога да използваме всяка мярка
Мерките не си съперничат — всяка е най-подходяща за различен тип въпрос.
- Средно аритметично е ежедневното „средно“ и е чудесно, когато стойностите са сравнително равномерни, като средни оценки или дневни температури. Недостатък: една много голяма или много малка стойност (екстремна стойност) може да го отдалечи от центъра.
- Медиана е средната стойност, така че екстремните стойности почти не я променят. Ето защо цените на имотите и доходите обикновено се представят като медиани — едно имение няма да изкриви типичната стойност.
- Мода е единствената мярка, която работи за неща, които не могат да се осредняват, като най-продавания номер обувки или любимия цвят в класа. Едно множество от данни може да има една мода, няколко моди или изобщо да няма мода.
- Обхват изобщо не описва типична стойност — той ви казва колко разпръснати са данните. Малък обхват означава, че стойностите са близо една до друга; голям обхват означава, че са далеч една от друга.
Решени примери: стъпка по стъпка
Пример 1. Всички четири мерки за едно множество от данни
Множество от данни: 7, 3, 7, 10, 3, 6, 3
Стъпка 1 — Подредете числата. 3, 3, 3, 6, 7, 7, 10.
Стъпка 2 — Средно аритметично. Съберете ги: 3 + 3 + 3 + 6 + 7 + 7 + 10 = 39. Има 7 стойности, така че средното е 39 ÷ 7 ≈ 5,57.
Стъпка 3 — Медиана. При 7 стойности средната е 4-тата в подредения списък: 3, 3, 3, 6, 7, 7, 10. Медианата е 6.
Стъпка 4 — Мода. Стойността 3 се появява три пъти, повече от всяка друга, така че модата е 3.
Стъпка 5 — Обхват. Най-голямата минус най-малката: 10 − 3 = 7.
Отговор: средно ≈ 5,57, медиана = 6, мода = 3, обхват = 7.
Пример 2. Медиана при четен брой стойности
Множество от данни: 12, 5, 8, 20 (четири стойности — четен брой).
Стъпка 1 — Подредете. 5, 8, 12, 20.
Стъпка 2 — Намерете двете средни стойности. При четен брой няма едно средно число. Тук двете средни стойности са 8 и 12.
Стъпка 3 — Намерете тяхното средно. (8 + 12) ÷ 2 = 20 ÷ 2 = 10. Медианата е 10 — въпреки че 10 не е едно от първоначалните числа. Това е нормално за медиана при четен брой.
Пример 3. Множество от данни без мода
Множество от данни: 2, 5, 9, 11, 14.
Всяка стойност се появява точно веднъж, така че никоя стойност не се повтаря. Това множество от данни няма мода — това е валиден отговор, а не грешка.
За разлика от това, множеството 4, 4, 7, 7, 9 има две моди (4 и 7), защото и двете се появяват най-често. Множество с две моди се нарича бимодално.
Често срещани грешки, които да избягвате
-
Намиране на медианата без първо да подредите числата.
Медианата е средната стойност на числата в ред. Винаги подреждайте от най-малкото към най-голямото, преди да изберете средното. В 7, 2, 9 медианата е 7 (подредени: 2, 7, 9), а не 9.
-
При четен брой стойности, избиране само на едно от двете средни числа.
При четен брой няма едно средно число. Вземете двете средни стойности и намерете тяхното средно аритметично. За 5, 8, 12, 20 медианата е (8 + 12) ÷ 2 = 10, а не 8 или 12.
-
Предположение, че всяко множество от данни трябва да има точно една мода.
Множеството от данни може да няма мода (ако нищо не се повтаря) или да има няколко моди (ако две или повече стойности имат равен брой най-чести появявания). И двете са верни отговори — не насилвайте наличието на една мода.
-
Объркване на средното аритметично с медианата и третирането им като едно и също нещо.
Средното аритметично е средната стойност (събирате и делите); медианата е средната стойност при подреждане. Те често са различни, особено когато има екстремна стойност. За 2, 3, 4, 100 средното е 27,25, но медианата е само 3,5.
-
Смесване на обхвата с модата или забравяне на изваждането.
Обхватът е мярка за разсейване: най-голяма стойност минус най-малка стойност. Това е едно число, описващо разсейването, а не най-честата стойност. За 4, 9, 15 обхватът е 15 − 4 = 11.
Често задавани въпроси
Какво представляват средното аритметично, медианата, модата и обхватът?
Средното аритметично е средната стойност (съберете всички стойности и разделете на техния брой). Медианата е средната стойност, след като числата са подредени. Модата е стойността, която се появява най-често. Обхватът е най-голямата стойност минус най-малката. Средното аритметично, медианата и модата описват типична стойност; обхватът описва колко разпръснати са данните.
Как се намира средното аритметично на множество от данни?
Съберете всички числа, за да получите общата сума, след това разделете сумата на броя на числата. Например, средното на 4, 6, 8, 2 е (4 + 6 + 8 + 2) ÷ 4 = 20 ÷ 4 = 5.
Как се намира медианата при четен брой стойности?
Подредете числата, след това вземете двете стойности в средата и намерете тяхното средно аритметично (съберете ги и разделете на 2). За 5, 8, 12, 20 двете средни стойности са 8 и 12, така че медианата е (8 + 12) ÷ 2 = 10. Резултатът може да бъде число, което не е в първоначалното множество.
Каква е разликата между средното аритметично и медианата?
Средното аритметично е средната стойност на всички числа, така че всяко число му влияе. Медианата е само средната стойност при подреждане, така че тя почти не се влияе от много големи или много малки числа (екстремни стойности). Когато едно множество от данни има екстремни стойности, медианата често дава по-типична стойност от средното аритметично.
Може ли едно множество от данни да има повече от една мода или да няма мода?
Да. Ако никоя стойност не се повтаря, множеството няма мода. Ако две или повече стойности имат равен брой най-чести появявания, множеството има няколко моди — две моди се наричат бимодално. Липсата на мода или наличието на няколко моди е напълно валидно.
Какво представляват мерките за централна тенденция?
Мерките за централна тенденция са единични числа, които описват центъра или типичната стойност на множество от данни. Трите основни са средно аритметично, медиана и мода. Обхватът не е мярка за централна тенденция — той измерва разсейването.
