Квадратната формула решава всяко квадратно уравнение от вида \(ax^2 + bx + c = 0\) (където \(a \neq 0\)). Корените му се дават чрез \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\). На тази страница ще видите какво означава всяка част, как да използвате формулата стъпка по стъпка, как дискриминантата ви показва колко решения да очаквате и напълно решени примери — плюс интерактивен тренажор, за да можете да упражнявате веднага.
Какво е квадратна формула
Квадратното уравнение е всяко уравнение, което можете да запишете в стандартен вид \(ax^2 + bx + c = 0\), където \(a\), \(b\) и \(c\) са числа и \(a \neq 0\). Числата \(a\), \(b\) и \(c\) се наричат коефициенти: \(a\) е коефициентът пред \(x^2\), \(b\) е коефициентът пред \(x\), а \(c\) е свободният член.
Квадратната формула дава решенията (корените) директно от тези три коефициента — без да е необходимо разлагане на множители. Тя работи за всяко квадратно уравнение, дори за тези, които не се разлагат лесно.
Откъде идва (извеждане): формулата е това, което получавате чрез допълване до точен квадрат на общото уравнение. Разделете \(ax^2 + bx + c = 0\) на \(a\), прехвърлете свободния член, добавете \(\left(\frac{b}{2a}\right)^2\) към двете страни, за да направите точен квадрат, и извлечете корен квадратен. Резултатът е единната формула по-долу, валидна за всяко \(a\), \(b\), \(c\).
Дискриминантата: колко корена има
Частта под корена, \(b^2 - 4ac\), се нарича дискриминанта (често записвана като \(D\)). Не е необходимо да пресмятате цялата формула, за да разберете колко решения има едно уравнение — знакът на дискриминантата ви казва това веднага.
Тъй като не можете да извлечете реален корен квадратен от отрицателно число, знакът на \(D\) разделя всяко квадратно уравнение на точно три случая: два корена, един повтарящ се корен или никакви реални корени. На графика това е мястото, където параболата \(y = ax^2 + bx + c\) пресича оста x — два пъти, веднъж (във върха) или изобщо не.
| Дискриминанта D = b² − 4ac | Реални корени | Какво получавате |
|---|---|---|
| D > 0 | Два различни реални корена | Параболата пресича оста x два пъти. Използвайте двата знака: x = (−b ± √D) / 2a. |
| D = 0 | Един реален корен (повтарящ се) | Параболата допира оста x във върха си. Знакът ± изчезва: x = −b / 2a. |
| D < 0 | Няма реални корени | Параболата никога не допира оста x. Няма реален корен квадратен от отрицателно число. |
Как се използва квадратната формула: стъпки
Квадратната формула винаги работи по един и същ начин. Следвайте тези пет стъпки подред и тя никога няма да ви подведе — най-трудната част е просто правилното определяне на коефициентите (заедно с техните знаци).
Примери с квадратна формула (стъпка по стъпка)
Пример 1. Два реални корена (D > 0)
Решете \(2x^2 - 7x + 3 = 0\).
Стъпка 1–2. Вече е в стандартен вид, така че определете коефициентите: \(a = 2\), \(b = -7\), \(c = 3\).
Стъпка 3. Дискриминанта: \(D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4\cdot 2\cdot 3 = 49 - 24 = 25\).
Стъпка 4. \(D = 25 > 0\), така че има два различни реални корена.
Стъпка 5. Заместете: \(x = \dfrac{-(-7) \pm \sqrt{25}}{2\cdot 2} = \dfrac{7 \pm 5}{4}\).
Използвайки знака плюс: \(x = \dfrac{7 + 5}{4} = \dfrac{12}{4} = 3\). Използвайки знака минус: \(x = \dfrac{7 - 5}{4} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}\).
Корени: \(x = 3\) и \(x = \tfrac{1}{2}\).
Пример 2. Един повтарящ се корен (D = 0)
Решете \(x^2 - 6x + 9 = 0\).
Стъпка 1–2. Вече е в стандартен вид: \(a = 1\), \(b = -6\), \(c = 9\).
Стъпка 3. Дискриминанта: \(D = (-6)^2 - 4\cdot 1\cdot 9 = 36 - 36 = 0\).
Стъпка 4. \(D = 0\), така че има точно един реален корен (повтарящ се). Членът \(\pm\) изчезва, защото \(\sqrt{0} = 0\).
Стъпка 5. \(x = \dfrac{-(-6) \pm \sqrt{0}}{2\cdot 1} = \dfrac{6}{2} = 3\).
Корен: \(x = 3\) (това квадратно уравнение е точен квадрат \((x-3)^2 = 0\)).
Пример 3. Няма реални корени (D < 0)
Решете \(x^2 + 2x + 5 = 0\).
Стъпка 1–2. Стандартен вид: \(a = 1\), \(b = 2\), \(c = 5\).
Стъпка 3. Дискриминанта: \(D = 2^2 - 4\cdot 1\cdot 5 = 4 - 20 = -16\).
Стъпка 4. \(D = -16 < 0\). Тъй като не можете да извлечете реален корен квадратен от отрицателно число, това уравнение няма реални корени — параболата му никога не пресича оста x.
Стъпка 5. Не са необходими допълнителни действия за реални решения. (Ако сте учили комплексни числа, корените са \(x = -1 \pm 2i\), но за реален отговор спираме тук.)
Чести грешки с квадратната формула
-
Грешен знак на b, особено когато b е отрицателно.
Формулата започва с −b. Ако b = −7, то −b = +7 — двата минуса се съкращават. Запишете заместването изцяло, напр. −(−7), преди да опростите.
-
Забравяне на ± и посочване само на един корен.
Когато D > 0, ± дава два отговора: един с + и един с −. Винаги пресмятайте и двете (−b + √D)/(2a) и (−b − √D)/(2a), освен ако D = 0.
-
Делене само на част от числителя на 2a.
Целият числител, −b ± √D, се дели на 2a — не само частта с √D. Дръжте го като една дроб: (−b ± √D) / (2a).
-
Грешно пресмятане на дискриминантата, когато a или c е отрицателно.
В D = b² − 4ac, изваждането на 4ac, когато a·c е отрицателно, всъщност добавя. За 3x² − 2x − 1, −4·3·(−1) = +12, така че D = 4 + 12 = 16, а не 4 − 12.
-
Прилагане на формулата преди записване на уравнението в стандартен вид.
Прехвърлете всеки член от едната страна, така че уравнението да изглежда ax² + bx + c = 0 първо. Например, x² = 5x − 6 трябва да стане x² − 5x + 6 = 0, преди да определите a, b, c.
Често задавани въпроси
Какво е квадратна формула?
Квадратната формула е x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a). Тя дава решенията на всяко квадратно уравнение ax² + bx + c = 0 (с a ≠ 0) директно от коефициентите a, b и c.
Как се използва квадратната формула стъпка по стъпка?
Запишете уравнението в стандартен вид ax² + bx + c = 0, определете a, b и c с техните знаци, пресметнете дискриминантата D = b² − 4ac, проверете знака ѝ, за да видите колко корена има, след това заместете в x = (−b ± √D) / (2a) и опростете версиите с плюс и минус.
Какво е дискриминанта и защо е важна?
Дискриминантата е D = b² − 4ac, изразът под корена. Нейният знак ви казва броя на реалните корени, без да довършвате изчислението: D > 0 дава два реални корена, D = 0 дава един повтарящ се корен, а D < 0 дава никакви реални корени.
Кога трябва да използвам квадратната формула вместо разлагане на множители?
Разлагането е бързо, когато квадратното уравнение се разлага с малки цели числа. Квадратната формула работи за всяко квадратно уравнение, включително тези, които не се разлагат лесно или имат ирационални или нецели корени, така че е надежден метод, когато разлагането не е очевидно.
Откъде идва квадратната формула?
Тя се извежда чрез допълване до точен квадрат на общото уравнение ax² + bx + c = 0: разделя се на a, допълва се до квадрат чрез добавяне на (b/2a)², лявата страна се пренаписва като точен квадрат и се извлича корен квадратен от двете страни. Резултатът е квадратната формула.
Може ли квадратната формула да не даде отговор?
Ако дискриминантата е отрицателна (D < 0), няма реално решение, защото не можете да извлечете реален корен квадратен от отрицателно число. Уравнението все още има два комплексни корена, но няма реални корени — на графика параболата просто никога не допира оста x.
