Свойствата на степените са осем правила, по които степените се умножават, делят, степенуват и опростяват. На тази страница са събрани всички формули в една таблица: произведение и частно на степени с еднакви основи, степенуване на степен, степен на произведение и частно, нулев, отрицателен и дробен показател. Всяко свойство е разгледано с обяснение защо работи, следват примери стъпка по стъпка, разбор на чести грешки със знаците и интерактивен тренажор, където веднага можеш да се провериш.
Какво е степен: основа и показател
Степента е кратък запис на умножение на еднакви множители. Записът \(a^n\) означава, че числото \(a\) се умножава само по себе си \(n\) пъти:
Тук \(a\) е основата на степента (това, което умножаваме), а \(n\) е показателят на степента (колко пъти умножаваме). Например, \(3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81\): основата е 3, показателят е 4.
Два записа, които си струва да запомниш веднага: \(a^1 = a\) (едно «копие» на числото) и \(a^2\) — «квадрат», \(a^3\) — «куб». Всички правила по-долу работят именно с основите и показателите: едни свойства изискват еднакви основи, други — еднакви показатели. Да различаваш тези два случая е по-важно, отколкото да помниш формулите наизуст.
Всички свойства на степените: таблица с формули
Осемте основни свойства на степените е удобно да са пред очите ти в една таблица. Първите пет работят за всеки показател, а последните три разширяват понятието за степен до нулев, отрицателен и дробен показател.
| Свойство | Формула |
|---|---|
| Произведение еднакви основи — събираме показателите | am · an = am+n |
| Частно еднакви основи — изваждаме показателите | am : an = am−n |
| Степенуване на степен умножаваме показателите | (am)n = amn |
| Степен на произведение всеки множител се степенува | (ab)n = anbn |
| Степен на частно числителят и знаменателят се степенуват | (a/b)n = an/bn |
| Нулев показател всяко число, различно от нула, дава единица | a0 = 1 |
| Отрицателен показател обръщаме в дроб | a−n = 1/an |
| Дробен показател това е корен от степен n | am/n = ⁿ√(am) |
Умножение и деление на степени с еднакви основи
Това са двете най-чести действия със степени.
При умножение показателите се събират, основата не се променя:
Защо е така: в първия множител има \(m\) еднакви числа, във втория — \(n\), общо те са \(m+n\). Например, \(2^5 \cdot 2^3 = 2^{5+3} = 2^8 = 256\).
При деление показателите се изваждат (от показателя на делимото изваждаме показателя на делителя):
Например, \(11^9 : 11^6 = 11^{9-6} = 11^3 = 1331\).
Важно: при събиране и изваждане на степени показателите не се събират. Записът \(2^3 + 2^4\) не може да се съкрати до една степен: \(2^3 + 2^4 = 8 + 16 = 24\), докато \(2^7 = 128\). Свойствата работят само за умножение и деление.
Основата при умножение също не се променя. \(2^3 \cdot 2^4\) е \(2^7\), а не \(4^7\): събираме показателите, а основата преписваме такава, каквато е.
Степенуване на степен, степен на произведение и степен на частно
Степенуване на степен — показателите се умножават:
Например, \((4^3)^2 = 4^{3 \cdot 2} = 4^6 = 4096\).
Степен на произведение — всеки множител се степенува:
Например, \((2 \cdot 5)^3 = 2^3 \cdot 5^3 = 8 \cdot 125 = 1000\).
Степен на частно — степенуват се и числителят, и знаменателят:
Например, \(\left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16}\).
Последните две формули често се използват отдясно наляво — тогава те позволяват да се умножават степени с различни основи, но еднакви показатели: \(4^3 \cdot 25^3 = (4 \cdot 25)^3 = 100^3 = 1\,000\,000\).
А ако основите са различни и показателите също са различни, изразът обикновено се привежда към еднаква основа: забелязва се, че числата са степени на едно и също число. Например, \(9^4 = (3^2)^4 = 3^8\), а произведението \(4^3 \cdot 8^2\) се превръща в \((2^2)^3 \cdot (2^3)^2 = 2^6 \cdot 2^6 = 2^{12}\).
Нулев и отрицателен показател на степен
Всяко число, различно от нула, на нулева степен е равно на единица:
Това не е измислица, а следствие от правилото за деление: \(6^3 : 6^3 = 6^{3-3} = 6^0\), но същото частно е равно на \(216 : 216 = 1\). Значи, \(6^0 = 1\). Изразът \(0^0\) не е дефиниран.
Отрицателният показател означава единица, делена на степента:
Например, \(2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}\), а \(10^{-2} = \frac{1}{100} = 0{,}01\).
Удобно следствие: дробь с отрицателна степен се обръща, а показателят става положителен:
Минусът в показателя не прави числото отрицателно. Записът \(2^{-3}\) е положителната дроб \(\frac{1}{8}\), а не \(-8\). Знакът на показателя отговаря за «обръщането», а не за знака на резултата.
Главното: всички осем свойства от таблицата продължават да работят и за нулев, и за отрицателен показател — например, \(x^{-2} \cdot x^{-5} = x^{-7}\).
Дробен показател на степен и корени
Дробният показател е друг начин да се запише корен:
Знаменателят на дробта показва степента на корена, числителят — степента на подкоренния израз. Примери: \(16^{\frac{1}{2}} = \sqrt{16} = 4\), \(32^{\frac{1}{5}} = \sqrt[5]{32} = 2\), \(27^{\frac{2}{3}} = \left(\sqrt[3]{27}\right)^2 = 3^2 = 9\).
Ограничение: за четен знаменател \(n\) основата трябва да бъде неотрицателна (\(a \geqslant 0\)) — корен от четна степен от отрицателно число в училищния курс не се извлича.
Защо е нужно това: с дробни показатели работят същите свойства, затова корените е удобно да се умножават и делят, като се превърнат в степени. Например, \(\sqrt{7} \cdot \sqrt[4]{7} = 7^{\frac{1}{2}} \cdot 7^{\frac{1}{4}} = 7^{\frac{3}{4}}\).
Степен на отрицателно число: къде се губи знакът
Ако основата е отрицателна, знакът на резултата зависи от четността на показателя:
- четен показател — резултатът е положителен: \((-3)^2 = 9\);
- нечетен показател — резултатът е отрицателен: \((-3)^3 = -27\).
Особено важно е да се различават записите със скоби и без скоби: \((-3)^2 = 9\), но \(-3^2 = -9\). Във втория случай на квадрат се повдига само тройката, а минусът остава отпред. Това е най-честата загуба на знак при контролни.
Отделно е полезно да се помнят степените на минус единица: \((-1)^{100} = 1\), а \((-1)^{101} = -1\) — четният показател дава \(+1\), нечетният дава \(-1\).
Ред на действията в изрази със степени
Когато в израза има и степени, и обикновени действия, редът е следният: първо скобите, след това степените и корените, после умножението и делението, и едва накрая събирането и изваждането.
Например, \(5 + 2 \cdot 3^2 = 5 + 2 \cdot 9 = 5 + 18 = 23\): първо повдигаме на квадрат и едва след това умножаваме и събираме.
Примери: как да прилагаме свойствата на степените
Пример 1. Умножение и деление в един израз
Задача. Опрости \(x^7 \cdot x^4 : x^9\).
Стъпка 1. Умножение: основите са еднакви, събираме показателите — \(x^7 \cdot x^4 = x^{7+4} = x^{11}\).
Стъпка 2. Деление: изваждаме показателите — \(x^{11} : x^9 = x^{11-9} = x^2\).
Отговор. \(x^2\) (при \(x \neq 0\)).
Пример 2. Степен на произведение с коефициент
Задача. Степенувай \((3a^4)^3\).
Стъпка 1. Всеки множител се степенува: \((3a^4)^3 = 3^3 \cdot (a^4)^3\).
Стъпка 2. Смятаме поотделно: \(3^3 = 27\), а при степенуване на степен показателите се умножават — \((a^4)^3 = a^{4 \cdot 3} = a^{12}\).
Отговор. \(27a^{12}\). Честа грешка тук е да се забрави степенуването на тройката и да се напише \(3a^{12}\).
Пример 3. Отрицателен показател в произведение
Задача. Пресметни \(8^{-2} \cdot 8^{5}\).
Стъпка 1. Основите са еднакви — събираме показателите по обичайното правило, минусът просто участва в събирането: \(8^{-2+5} = 8^{3}\).
Стъпка 2. \(8^3 = 512\).
Отговор. \(512\). Забележи: не беше нужно да превръщаме \(8^{-2}\) в дроб — свойствата на степените работят директно с отрицателни показатели.
Пример 4. Дроб с отрицателна степен
Задача. Пресметни \(\left(\frac{2}{5}\right)^{-2}\).
Стъпка 1. Отрицателният показател обръща дробта: \(\left(\frac{2}{5}\right)^{-2} = \left(\frac{5}{2}\right)^{2}\).
Стъпка 2. Повдигаме на квадрат числителя и знаменателя: \(\left(\frac{5}{2}\right)^{2} = \frac{25}{4}\).
Отговор. \(\frac{25}{4} = 6{,}25\).
Пример 5. Дробен показател
Задача. Пресметни \(81^{\frac{3}{4}}\).
Стъпка 1. Знаменателят на показателя е степента на корена: \(81^{\frac{3}{4}} = \left(\sqrt[4]{81}\right)^{3}\).
Стъпка 2. \(\sqrt[4]{81} = 3\), защото \(3^4 = 81\).
Стъпка 3. Остава да повдигнем на куб: \(3^3 = 27\).
Отговор. \(27\). По-удобно е първо да извлечем корена — числата стават по-малки, отколкото ако първо смятаме \(81^3\).
Пример 6. Комбиниран израз
Задача. Пресметни \(\dfrac{(3^2)^3}{3^4}\).
Стъпка 1. Степенуване на степен в числителя: \((3^2)^3 = 3^{2 \cdot 3} = 3^6\).
Стъпка 2. Деление на степени с еднакви основи: \(3^6 : 3^4 = 3^{6-4} = 3^2\).
Стъпка 3. \(3^2 = 9\).
Отговор. \(9\). Общо правило: първо разкриваме скобите и степените на степени, след това работим с умножението и делението.
Чести грешки при действия със степени
-
Събират показателите при **събиране** на степени: пишат $2^2 + 2^2 = 2^4$.
Показателите се събират само при умножение. Тук \(2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8\), а \(2^4 = 16\) — равенството е грешно. Сумата от степени изобщо не може да се съкрати до една степен, тя може само да се изнесе пред скоби: \(2^2 + 2^2 = 2 \cdot 2^2 = 2^3\).
-
Умножават и основите: $2^3 \cdot 2^4 = 4^7$.
Основата при умножение на степени остава същата, променя се само показателят: \(2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = 128\).
-
Смятат, че $(a+b)^n = a^n + b^n$, като бъркат сумата с произведението.
Степента може да се «раздава» само на произведение: \((2 \cdot 3)^2 = 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36\) — вярно. Но \((2+3)^2 = 5^2 = 25\), докато \(2^2 + 3^2 = 13\). За сума са нужни формулите за съкратено умножение, а не свойствата на степените.
-
Смятат, че $a^0 = 0$.
Напротив: всяко число, различно от нула, на нулева степен е равно на единица — \(9^0 = 1\). Нула като резултат дава само самата основа, ако е равна на нула (\(0^n = 0\) при \(n > 0\)), а изразът \(0^0\) не е дефиниран.
-
Изваждат показателите в обратен ред: $3^7 : 3^2 = 3^{-5}$.
От показателя на делимото се изважда показателят на делителя, а не обратното: \(3^7 : 3^2 = 3^{7-2} = 3^5 = 243\). Редът тук е важен, точно както при обикновеното изваждане.
-
Мислят, че отрицателният показател прави числото отрицателно: $2^{-2} = -4$.
Отрицателният показател означава дроб, а не минус: \(2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}\). Резултатът остава положителен.
-
Губят знака при отрицателна основа: пишат $(-4)^2 = -16$.
При четен показател минусът «изчезва»: \((-4)^2 = (-4) \cdot (-4) = 16\). А записът без скоби означава друго: \(-4^2 = -(4^2) = -16\). Скобите решават всичко.
Въпроси и отговори за свойствата на степените
Събират ли се или се умножават степените при умножение?
При умножение на степени с еднакви основи се събират показателите, а самата основа не се променя: \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\). Например, \(6^2 \cdot 6^5 = 6^{7}\). Показателите се умножават в друг случай — когато степенуваме степен: \((a^m)^n = a^{mn}\).
При деление степените събират ли се или се изваждат?
Изваждат се: от показателя на делимото се изважда показателят на делителя, \(a^m : a^n = a^{m-n}\) при \(a \neq 0\). Например, \(10^9 : 10^4 = 10^{5}\).
На колко е равно число на нулева степен?
На единица, ако основата не е нула: \(a^0 = 1\). Това следва от правилото за деление — частното \(a^n : a^n\) е равно едновременно и на \(a^0\), и на единица. Изразът \(0^0\) в училищния курс не е дефиниран.
Как да се отървем от отрицателен показател на степен?
Като обърнем израза в дроб: \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\). Например, \(x^{-5} = \frac{1}{x^5}\). Ако основата сама по себе си е дроб, тя просто се обръща, а показателят става положителен.
Какво е основа и показател на степен?
В записа \(a^n\) числото \(a\) е основата на степента, т.е. множителят, който се повтаря; \(n\) е показателят на степента, той казва колко такива множителя има. В записа \(5^4\) основата е 5, показателят е 4, а самата стойност е 625.
Може ли да се умножават степени с различни основи?
Могат да се съкратят до една степен, ако показателите съвпадат: \(a^n \cdot b^n = (ab)^n\). Например, \(2^4 \cdot 5^4 = 10^4 = 10\,000\). Ако и основите, и показателите са различни, изразът първо се привежда към обща основа (когато е възможно), иначе се оставя така, както е.
Колко общо са свойствата на степените?
Основните са осем: произведение и частно на степени с еднакви основи, степенуване на степен, степен на произведение, степен на частно, нулев показател, отрицателен показател и дробен показател. В различните учебници те се групират по различен начин, затова се срещат формулировки «пет свойства» или «десет свойства», но съдържанието е едно и също — цялата сводка е в таблицата по-горе.
Какво означава дробен показател на степен?
Корен. Знаменателят на дробта е степента на корена, числителят е степента на подкоренния израз: \(a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}\). Например, \(16^{\frac{1}{2}} = \sqrt{16} = 4\). За четен знаменател основата трябва да бъде неотрицателна.
В кой клас се изучават свойствата на степените?
Степен с естествен показател и нейните основни свойства се изучават в 7 клас по алгебра, степен с цял отрицателен показател — в 8 клас, а степен с рационален (дробен) показател и корени — в 9–11 клас. Същите свойства са нужни на НВО и ДЗИ при преобразуване на изрази.
