Формулите за съкратено умножение (ФСУ) са готови алгебрични тъждества, които позволяват разкриване на скоби и разлагане на изрази на множители без дълго умножение. На тази страница ще намериш таблица с всичките седем формули: квадрат на сбор и разлика, разлика на квадрати, куб на сбор и разлика, сбор и разлика на кубове. Всяка формула е разгледана с извеждане и примери, а накрая има интерактивен тренажор, където можеш веднага да упражниш прилагането на ФСУ.
Какво представляват формулите за съкратено умножение
Формулите за съкратено умножение са тъждества, които се получават, ако веднъж внимателно умножим многочлените и запомним резултата. След това вече не е нужно всеки път да разкриваме скобите: достатъчно е да разпознаем „шаблона“ и да заместим своите числа или букви.
В училищния курс по алгебра за 7 клас ФСУ работят в две посоки:
- отляво надясно — за бързо разкриване на скоби и повдигане на израз на квадрат или куб;
- отдясно наляво — за разлагане на многочлен на множители (това е нужно за съкращаване на дроби и решаване на уравнения).
Общо се учат седем формули. По-долу е дадена таблица-паметка, а след това и разбор на всяка формула поотделно.
Таблица с формули за съкратено умножение
Всички седем формули за съкратено умножение е удобно да са пред очите ти в една таблица. Буквите \(a\) и \(b\) тук са произволни изрази: число, променлива или цял едночлен като \(2x\).
| Формула | Запис |
|---|---|
| Квадрат на сбор | (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 |
| Квадрат на разлика | (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 |
| Разлика на квадрати | a2 − b2 = (a − b)(a + b) |
| Куб на сбор | (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 |
| Куб на разлика | (a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3 |
| Сбор на кубове | a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2) |
| Разлика на кубове | a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2) |
Квадрат на сбор и квадрат на разлика
Квадратът на сбор се получава, ако умножим \((a+b)\) само по себе си:
С думи: квадратът на сбор е равен на квадрата на първия израз плюс удвоеното произведение на първия по втория плюс квадрата на втория. По същия начин се извежда квадратът на разлика — знакът пред средния член става минус:
Най-важното е да не забравиш средния член \(2ab\): именно заради него \((a+b)^2 \neq a^2 + b^2\). При квадрата на сбор и квадрата на разлика се различава само знакът пред \(2ab\), а крайните членове \(a^2\) и \(b^2\) винаги са със знак плюс.
Пример. \((x+3)^2 = x^2 + 2\cdot x\cdot 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9.\)
Квадратът на сбор има нагледен геометричен смисъл: това е лицето на голям квадрат със страна \((a+b)\).
Разлика на квадрати
Ако умножим сбора и разликата на едни и същи изрази, средните членове се унищожават:
Получава се формулата за разлика на квадрати: \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). Това е най-полезната ФСУ за разлагане на множители: щом видиш разлика на два квадрата — веднага я разложи на произведение.
Пример (разкриване на скоби). \((x-7)(x+7) = x^2 - 49.\)
Пример (разлагане на множители). \(x^2 - 16 = x^2 - 4^2 = (x-4)(x+4).\)
Важно: сборът на квадрати \(a^2 + b^2\) не се разлага на множители по тази формула — работи само разликата.
Куб на сбор, куб на разлика, сбор и разлика на кубове
Кубът на сбор и кубът на разлика съдържат вече четири събираеми:
При куба на разлика знаците се редуват: \(+\,-\,+\,-\). И отново честа клопка: \((a+b)^3 \neq a^3 + b^3\) — не може просто да „раздадеш“ степента, средните членове \(3a^2b\) и \(3ab^2\) не трябва да се губят.
Пример. \((x+2)^3 = x^3 + 3x^2\cdot 2 + 3x\cdot 2^2 + 2^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8.\)
Отделно стоят сборът и разликата на кубове — те, напротив, разлагат израза на множители:
Вторият множител се нарича непълен квадрат на сбор или разлика. Знакът в неговия среден член винаги е противоположен на знака в първата скоба: при сбора на кубове е \(-ab\), при разликата на кубове е \(+ab\).
Пример. \(x^3 - 8 = x^3 - 2^3 = (x-2)(x^2 + 2x + 4).\)
Примери за прилагане на формулите за съкратено умножение
Пример 1. Разкриване на скоби: квадрат на сбор
Задача. Повдигни на квадрат \((2x+5)^2\).
Стъпка 1. Разпознаваме формулата за квадрат на сбор: \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\), където \(a = 2x\), \(b = 5\).
Стъпка 2. Пресмятаме всеки член:
- \(a^2 = (2x)^2 = 4x^2\);
- \(2ab = 2\cdot 2x\cdot 5 = 20x\);
- \(b^2 = 5^2 = 25\).
Отговор. \((2x+5)^2 = 4x^2 + 20x + 25.\)
Пример 2. Свиване по формулата за разлика на квадрати
Задача. Намери произведението \((3x-4)(3x+4)\).
Стъпка 1. Пред нас е произведение на разлика и сбор на едни и същи изрази — това е разлика на квадрати \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\), където \(a = 3x\), \(b = 4\).
Стъпка 2. Повдигаме на квадрат всеки израз: \(a^2 = (3x)^2 = 9x^2\), \(b^2 = 4^2 = 16\).
Отговор. \((3x-4)(3x+4) = 9x^2 - 16.\)
Пример 3. Разлагане на множители
Задача. Разложи на множители \(x^2 - 36\) и \(x^3 + 27\).
Разлика на квадрати. \(x^2 - 36 = x^2 - 6^2 = (x-6)(x+6).\)
Сбор на кубове. Забелязваме, че \(27 = 3^3\), значи \(x^3 + 27 = x^3 + 3^3\). Прилагаме формулата \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\) при \(a = x\), \(b = 3\):
Обърни внимание на знака \(-3x\) в непълния квадрат — при сбора на кубове средният член е със знак минус.
Пример 4. Куб на сбор
Задача. Разкрий скобите \((x+2)^3\).
Стъпка 1. Формулата за куб на сбор: \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\), където \(a = x\), \(b = 2\).
Стъпка 2. Пресмятаме членовете по ред:
- \(a^3 = x^3\);
- \(3a^2b = 3\cdot x^2\cdot 2 = 6x^2\);
- \(3ab^2 = 3\cdot x\cdot 2^2 = 12x\);
- \(b^3 = 2^3 = 8\).
Отговор. \((x+2)^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8.\)
Чести грешки при работа с ФСУ
-
Забравят удвоеното произведение: пишат $(a+b)^2 = a^2 + b^2$.
В квадрата на сбор и разлика винаги има среден член \(2ab\): \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\). Лесно е да се провери — разкрий \((a+b)(a+b)\) стълбовидно и средният член ще се появи сам.
-
Бъркат знаците в квадрата на разлика и в разликата на квадрати.
В квадрата на разлика минусът е само пред средния член: \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) (крайните са с плюс). А при разликата на квадрати минусът е между самите квадрати: \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). Това са различни формули.
-
„Раздават“ степента при куб: $(a+b)^3 = a^3 + b^3$.
Така не бива да се прави. Кубът на сбор съдържа четири члена: \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\). Формулата \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\) е съвсем друго нещо (сбор на кубове), тя е за разлагане на множители.
-
В непълния квадрат при сбора/разликата на кубове поставят удвоено произведение $2ab$.
Непълният квадрат е \(a^2 \pm ab + b^2\), без двойка пред \(ab\). Знакът е противоположен на знака в първата скоба: сбор на кубове \((a+b)(a^2 - ab + b^2)\), разлика на кубове \((a-b)(a^2 + ab + b^2)\).
-
Опитват се да разложат сбор на квадрати $a^2 + b^2$ на множители.
На множители се разлага само разлика на квадрати \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). Сборът на квадрати \(a^2 + b^2\) в училищния курс не се разлага на множители.
Въпроси и отговори
Колко общо са формулите за съкратено умножение?
Седем: квадрат на сбор, квадрат на разлика, разлика на квадрати, куб на сбор, куб на разлика, сбор на кубове и разлика на кубове. Всички те са събрани в таблицата по-горе.
На колко е равен квадратът на сбор?
На квадрата на първия израз плюс удвоеното произведение на първия по втория плюс квадрата на втория: \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\). При квадрата на разлика средният член е със знак минус: \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).
Как да разложим разлика на квадрати на множители?
По формулата \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). Например, \(x^2 - 25 = x^2 - 5^2 = (x-5)(x+5)\). Достатъчно е да видиш, че и двете събираеми са точни квадрати, а между тях има минус.
Защо $(a+b)^2$ не е равно на $a^2 + b^2$?
Защото при умножението на \((a+b)(a+b)\) се появяват още две еднакви събираеми \(ab\), които дават средния член \(2ab\). Той не трябва да се губи: правилно е \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).
С какво се различава кубът на сбор от сбора на кубове?
Кубът на сбор \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\) е разкриване на скоби. Сборът на кубове \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\) е обратното — разлагане на израз на множители. Това са различни формули, не ги бъркай.
В кой клас се учат формулите за съкратено умножение?
Обикновено в 7 клас по алгебра: първо квадрат на сбор и разлика, разлика на квадрати, след това формулите за кубове. Те активно се използват по-нататък при опростяване на изрази, съкращаване на дроби и решаване на уравнения.
