Рационално неравенство е неравенство, в което едната страна е рационален израз, а другата е нула. Решават се с метод на интервалите: прехвърляме всичко в лявата част, разлагаме на множители, отбелязваме на числовата ос нулите на числителя и нулите на знаменателя и разпределяме знаците. По-долу са определението, пълният алгоритъм, правилото за изключените точки, кратността на корените, решени примери и тренажор с проверка.
Какво е рационално неравенство
Рационално неравенство е неравенство, чиито две части са записани като рационални изрази, т.е. многочлени и дроби от многочлени. След прехвърляне на всичко в една част, то винаги се свежда до вида
където \(P(x)\) и \(Q(x)\) са многочлени, а на мястото на \(\vee\) стои един от знаците \(<\), \(>\), \(\le\), \(\ge\). Отдясно задължително трябва да е нула — това е условие, без което методът на интервалите не работи.
Рационалните неравенства се делят на два вида. Ако променливата се среща само в числителя, неравенството се нарича цяло рационално: няма какво да делим и са подходящи всякакви стойности на \(x\). Ако променливата е в знаменателя, неравенството е дробно-рационално (нарича се още дробно неравенство или неравенство с дроб) — и тогава веднага се появява ограничението \(Q(x) \neq 0\).
Защо не може да се умножават двете части по знаменателя
Най-голямото изкушение при решаване на неравенство с дроб е да се „отървем от знаменателя“, като умножим двете части по него. При уравненията това е позволено, при неравенствата — не. Причината е проста: при умножение по отрицателно число знакът на неравенството се обръща, а знакът на израза \(Q(x)\) предварително не е известен — той зависи от \(x\).
Да разгледаме неравенството \(\frac{5}{x-3} < 1\). Умножаваме двете части по \(x - 3\), сякаш е положително число: получаваме \(5 < x - 3\), т.е. \(x > 8\). Проверяваме отговора чрез заместване с \(x = 0\): \(\frac{5}{0-3} = -\frac{5}{3} < 1\) — неравенството е вярно, значи нулата също е решение, но не е попаднала в отговора \(x > 8\). Отговорът е загубен.
Правилният път е да прехвърлим всичко наляво и да приведем под общ знаменател:
В последната стъпка умножихме двете части по \(-1\) и обърнахме знака — това е законно, защото \(-1\) винаги е отрицателно. След това работи методът на интервалите и отговорът е \(x \in (-\infty; 3) \cup (8; +\infty)\) — той включва и загубената нула.
Най-лесният начин да запомним е: не може да се умножават двете части по израз с променлива, може винаги да се прехвърлят събираеми. Прехвърлянето не променя знака на неравенството.
Метод на интервалите: алгоритъм за решаване стъпка по стъпка
Методът на интервалите се основава на едно свойство: между съседни нули на рационален израз знакът му е постоянен. Следователно, достатъчно е да намерим всички точки, където числителят или знаменателят се обръща в нула, да разделим числовата ос с тях и да определим знака на всеки интервал — с една пробна точка или по кратност на корените.
Изключени и защриховани точки: ОДЗ и знак на неравенството
Грешка в една скоба превръща вярното решение в грешен отговор, затова правилото за точките трябва да се научи отделно. Работят точно две съображения.
Първото — област на допустимите стойности (ОДЗ). Нулата на знаменателя винаги се изключва, при какъвто и да е знак на неравенството. В тази точка дробта просто не съществува: не може да се дели на нула, затова числото не може да бъде решение, дори ако знакът е нестрог.
Второто — строг знак или нестрог. Нулите на числителя обръщат дробта в нула. При нестрог знак (\(\le\) или \(\ge\)) равенството на нула ни устройва, следователно точката се защрихова и влиза в отговора с квадратна скоба. При строг знак (\(<\) или \(>\)) нулата не е подходяща и точката се изключва.
Например, за неравенството \(\frac{x-6}{x+1} \le 0\) точката \(x = 6\) се защрихова (нула на числителя, нестрог знак), а точката \(x = -1\) се изключва (нула на знаменателя). Отговор: \(x \in (-1; 6]\).
| Каква е точката | Как се отбелязва |
|---|---|
| Нула на знаменателя, Q(x) = 0 | изключена винаги, при всякакъв знак — точката не е в ОДЗ |
| Нула на числителя, знакът е строг < или > | изключена дробта е равна на нула, а е нужен строго различен знак |
| Нула на числителя, знакът е нестрог ≤ или ≥ | защрихована равенството на нула е подходящо, точката влиза в отговора |
Кратност на корените: къде знакът се променя, а къде не
Знаците на интервалите не е задължително просто да се редуват — това е най-често срещаното заблуждение по темата. Редуването работи само когато всички скоби са от първа степен. Правилото е по-точно формулирано чрез кратност на корена — степента на съответната скоба.
При преминаване през корен с нечетна кратност (степен 1, 3, 5) знакът на израза се променя. При преминаване през корен с четна кратност (степен 2, 4) знакът не се променя: скобата на четна степен е неотрицателна и не „разваля“ знака на израза. Кратността се брои еднакво и за числителя, и за знаменателя.
Да вземем \((x-9)^2(x+3) > 0\). Корени: \(x = 9\) с кратност 2 и \(x = -3\) с кратност 1. Отдясно на деветката изразът е положителен. Преминаваме през \(9\) — кратността е четна, знакът се запазва, на интервала \((-3; 9)\) също е плюс. Преминаваме през \(-3\) — кратността е нечетна, знакът се променя на минус. Отговорът на строго неравенство е: \(x \in (-3; 9) \cup (9; +\infty)\), точката \(9\) е изключена, защото там изразът е равен на нула. А при нестрого \((x-9)^2(x+3) \ge 0\) отговорът е вече друг: \(x \in [-3; +\infty)\) — деветката се защрихова и „слепва“ двата интервала в един.
| Кратност на корена | Знак при преминаване |
|---|---|
| Нечетна: (x − a), (x − a)3 | се променя |
| Четна: (x − a)2, (x − a)4 | не се променя |
Числова ос на пример: разпределяме знаците
Да обобщим на примера на неравенството \(\frac{x+7}{(x-2)(x-5)} < 0\). Нули на числителя: \(x = -7\). Нули на знаменателя: \(x = 2\) и \(x = 5\), те също определят ОДЗ. Всички три скоби са от първа степен, затова знаците се редуват. Пробна точка \(x = 10\) в най-десния интервал дава \(\frac{17}{8 \cdot 5} > 0\) — започваме с плюс и вървим наляво, променяйки знака на всяка точка.
Примери за решаване на рационални неравенства
Пример 1. Просто дробно неравенство
Реши \(\frac{x-3}{x+5} \ge 0\).
Стъпка 1. Отдясно вече е нула, дробта е една — няма какво да се прехвърля и свежда.
Стъпка 2. ОДЗ. \(x + 5 \neq 0\), т.е. \(x \neq -5\).
Стъпка 3. Нули. Числителят е нула при \(x = 3\), знаменателят — при \(x = -5\).
Стъпка 4. Точки на оста. \(x = 3\) се защрихова (нула на числителя, нестрог знак), \(x = -5\) се изключва (нула на знаменателя).
Стъпка 5. Знаци. Пробна точка \(x = 4\): \(\frac{1}{9} > 0\) — отдясно е плюс. И двете скоби са от първа степен, значи знаците се редуват: на \((-5; 3)\) е минус, на \((-\infty; -5)\) е плюс. Да проверим: при \(x = -6\) получаваме \(\frac{-9}{-1} = 9 > 0\) — съвпада.
Стъпка 6. Отговор. Нужен е знак „плюс или нула“: \(x \in (-\infty; -5) \cup [3; +\infty)\).
Пример 2. Отдясно не е нула — прехвърляме
Реши \(\frac{2x+1}{x-4} \le 1\).
Стъпка 1. Прехвърляме единицата наляво. Не може да се умножава по \(x - 4\), знакът на този израз е неизвестен:
Стъпка 2. Привеждаме под общ знаменател.
Стъпка 3. ОДЗ. \(x \neq 4\).
Стъпка 4. Точки. \(x = -5\) — нула на числителя, нестрог знак, защриховаме. \(x = 4\) — нула на знаменателя, изключваме.
Стъпка 5. Знаци. При \(x = 5\) дробта е равна на \(\frac{10}{1} > 0\). Значи на \((4; +\infty)\) е плюс, на \((-5; 4)\) е минус, на \((-\infty; -5)\) е плюс.
Стъпка 6. Отговор. \(x \in [-5; 4)\). Проверка на граничните точки: при \(x = -5\) дробта е равна на нула — подходящо за \(\le\); при \(x = 4\) дробта не съществува — не е подходящо.
Пример 3. Корен с четна кратност и изолирана точка
Реши \(\frac{(x-2)^2(x+6)}{x-9} \ge 0\).
Стъпка 1. ОДЗ. \(x \neq 9\).
Стъпка 2. Нули и кратност. \(x = 2\) — кратност 2 (четна), \(x = -6\) — кратност 1, \(x = 9\) — кратност 1 в знаменателя.
Стъпка 3. Точки. \(x = 2\) и \(x = -6\) се защриховат (нули на числителя при нестрог знак), \(x = 9\) се изключва.
Стъпка 4. Знаци. Пробна точка \(x = 10\): числителят е положителен, знаменателят е равен на 1 — плюс. Вървим наляво. През \(9\) (нечетна кратност) знакът се променя: на \((2; 9)\) е минус. През \(2\) (кратност четна) знакът не се променя: на \((-6; 2)\) също е минус. През \(-6\) (нечетна кратност) знакът се променя: на \((-\infty; -6)\) е плюс.
Стъпка 5. Отговор. Вземаме интервалите със знак „плюс“ плюс всички точки, където изразът е равен на нула. Точката \(x = 2\) е вътре в интервала с минус, но самият израз там е равен на нула, значи тя влиза в отговора отделно:
Такава „самотна“ точка в отговора е сигурен признак за корен с четна кратност при нестрог знак.
Пример 4. Съкращаване на дроб: капан с ОДЗ
Реши \(\frac{25x^2-10x+1}{5x^2+9x-2} \le 0\).
Стъпка 1. Разлагаме на множители. Числителят е пълен квадрат: \(25x^2-10x+1 = (5x-1)^2\). За знаменателя смятаме дискриминантата: \(D = 81 + 40 = 121\), корени \(x_1 = \frac{1}{5}\) и \(x_2 = -2\), следователно \(5x^2+9x-2 = (5x-1)(x+2)\).
Стъпка 2. ОДЗ — преди всякакво съкращаване. \(5x - 1 \neq 0\) и \(x + 2 \neq 0\), т.е. \(x \neq \frac{1}{5}\) и \(x \neq -2\).
Стъпка 3. Съкращаваме. \(\frac{(5x-1)^2}{(5x-1)(x+2)} = \frac{5x-1}{x+2}\), но само при \(x \neq \frac{1}{5}\) — съкращаването не връща изключената точка обратно.
Стъпка 4. Решаваме \(\frac{5x-1}{x+2} \le 0\). Нули: \(\frac{1}{5}\) и \(-2\). При \(x = 1\) дробта е равна на \(\frac{4}{3} > 0\). Значи на \((\frac{1}{5}; +\infty)\) е плюс, на \((-2; \frac{1}{5})\) е минус, на \((-\infty; -2)\) е плюс.
Стъпка 5. Връщаме ОДЗ. Интервалът \((-2; \frac{1}{5}]\) би бил подходящ по знак, но точката \(\frac{1}{5}\) е изключена: в първоначалното неравенство знаменателят \(5x^2+9x-2\) при \(x = \frac{1}{5}\) се обръща в нула, дробта там просто не съществува.
Отговор: \(x \in \left(-2; \frac{1}{5}\right)\) — и двете скоби са кръгли.
Пример 5. Квадратен тричлен в числителя
Реши \(\frac{x^2-7x+10}{x+4} < 0\).
Стъпка 1. Разлагаме числителя. По теоремата на Виет сумата на корените е 7, произведението е 10, следователно \(x^2-7x+10 = (x-2)(x-5)\). Неравенството приема вида \(\frac{(x-2)(x-5)}{x+4} < 0\).
Стъпка 2. ОДЗ. \(x \neq -4\).
Стъпка 3. Точки. Всички три точки са изключени: \(-4\) — нула на знаменателя, \(2\) и \(5\) — нули на числителя при строг знак.
Стъпка 4. Знаци. Пробна точка \(x = 6\): \(\frac{4 \cdot 1}{10} > 0\). Всички скоби са от първа степен, затова знаците се редуват: на \((5; +\infty)\) е плюс, на \((2; 5)\) е минус, на \((-4; 2)\) е плюс, на \((-\infty; -4)\) е минус.
Стъпка 5. Отговор. Нужен е строг минус: \(x \in (-\infty; -4) \cup (2; 5)\). Контрол чрез заместване: при \(x = -5\) получаваме \(\frac{70}{-1} < 0\), при \(x = 3\) получаваме \(\frac{-2}{7} < 0\) — и двата интервала са подходящи.
Чести грешки при решаване на рационални неравенства
-
Умножават двете части по знаменателя: от $\frac{3}{x-8} > 1$ правят $3 > x - 8$ и пишат $x < 11$.
Знакът на израза \(x - 8\) предварително не е известен, а при умножение по отрицателно число знакът на неравенството се обръща. Проверка: \(x = 0\) дава \(\frac{3}{-8} < 1\) — нулата не е решение, въпреки че е попаднала в отговора \(x < 11\). Правилно: \(\frac{3-(x-8)}{x-8} > 0\), т.е. \(\frac{11-x}{x-8} > 0\), откъдето \(x \in (8; 11)\).
-
Защриховат нулата на знаменателя, защото знакът е нестрог: за $\frac{x-1}{x-7} \ge 0$ пишат отговор с квадратна скоба при седмицата.
Нулата на знаменателя винаги се изключва, при какъвто и да е знак: в тази точка дробта просто не съществува. Верен отговор: \(x \in (-\infty; 1] \cup (7; +\infty)\) — при единицата скобата е квадратна, при седмицата — кръгла.
-
Съкращават дробта и губят ОДЗ: от $\frac{(x+3)^2}{(x+3)(x-5)} \le 0$ получават $\frac{x+3}{x-5} \le 0$ и включват в отговора точката $x = -3$.
ОДЗ се изписва преди съкращаването, по първоначалния знаменател: \(x \neq -3\) и \(x \neq 5\). Съкратената дроб \(\frac{x+3}{x-5}\) е неположителна на \([-3; 5)\) — при \(x = 0\) тя е равна на \(-0{,}6\), което е нужно за знак \(\le\). Но точката \(-3\) е изключена по ОДЗ, затова отговорът е \((-3; 5)\), а не \([-3; 5)\).
-
Смятат, че знаците на интервалите винаги се редуват, и за $\frac{(x-1)^2}{x+4} > 0$ поставят минус отдясно на единицата.
Редуването е вярно само при скоби от първа степен. Коренът \(x = 1\) има кратност 2, затова знакът през него не се променя. Изразът е положителен на целия интервал \((-4; +\infty)\), с изключение на самата единица, където е равен на нула. Отговор: \(x \in (-4; 1) \cup (1; +\infty)\).
-
Променят знака на неравенството при прехвърляне на събираемо: от $\frac{x}{x-2} \le 3$ правят $\frac{x}{x-2} - 3 \ge 0$.
Прехвърлянето на събираемо от едната част в другата не променя знака на неравенството — променя се само знакът на самото събираемо. Знакът се обръща само при умножение или деление на двете части на отрицателно число. Правилно: \(\frac{x}{x-2} - 3 \le 0\), след това \(\frac{x-3(x-2)}{x-2} \le 0\), т.е. \(\frac{6-2x}{x-2} \le 0\).
-
Отбелязват на оста само нулите на числителя, а знаменателя проверяват „по-късно“: за $\frac{x+11}{x^2-16} > 0$ поставят една точка $-11$.
На оста се отбелязват всички нули наведнъж — и на числителя, и на знаменателя, иначе интервалите ще се получат грешни. Тук \(x^2-16 = (x-4)(x+4)\), затова точките са три: \(-11\), \(-4\) и \(4\), а не една. Всички са изключени (знакът е строг), отговор: \(x \in (-11; -4) \cup (4; +\infty)\).
Въпроси и отговори
Какво е рационално неравенство?
Това е неравенство, чиито две части са рационални изрази (многочлени и дроби от многочлени). След прехвърляне на всичко в лявата част, то се свежда до вида \(\frac{P(x)}{Q(x)} > 0\), където \(P(x)\) и \(Q(x)\) са многочлени, а вместо \(>\) може да стои \(<\), \(\le\) или \(\ge\).
Как се решават рационални неравенства?
С метод на интервалите в шест стъпки: прехвърли всичко наляво, за да остане нула отдясно; сведи до една дроб и разложи числителя и знаменателя на множители; изпиши ОДЗ (\(Q(x) \neq 0\)); отбележи на числовата ос нулите на числителя и знаменателя; разпредели знаците на интервалите по пробна точка и кратност на корените; изпиши в отговора интервалите с нужния знак.
С какво дробно-рационалното неравенство се различава от цяло рационално?
При цяло рационално променливата е само в числителя, например \((x-1)(x+4) > 0\), и ОДЗ е всички реални числа. При дробно-рационално променливата е в знаменателя, например \(\frac{x-1}{x+4} > 0\), и се появява ограничението \(x \neq -4\). Алгоритъмът е един и същ — променят се само изключените точки.
Как се решават неравенства с дроб?
Също както всяко рационално: първо се прехвърля всичко в лявата част и се свежда до една дроб, а не се отърваваме от знаменателя. Например, \(\frac{x}{x+2} \ge 1\) се превръща в \(\frac{x-(x+2)}{x+2} \ge 0\), т.е. \(\frac{-2}{x+2} \ge 0\). Числителят е постоянен и отрицателен, следователно дробта е неотрицателна само при отрицателен знаменател: \(x + 2 < 0\). Отговор: \(x \in (-\infty; -2)\).
Защо не може да се умножават двете части на неравенството по знаменателя?
Защото знакът на знаменателя зависи от \(x\): при умножение по положително израз знакът на неравенството се запазва, а при умножение по отрицателно — се обръща. Предварително не е известно кой случай е пред нас, затова част от решенията се губят, а част се добавят излишно. Прехвърлянето на събираеми е винаги възможно — прехвърлянето не променя знака на неравенството.
Как да намерим ОДЗ при неравенство?
За рационално неравенство ОДЗ са всички стойности на \(x\), при които знаменателят не се обръща в нула. Приравнете знаменателя на нула, решете уравнението и изключете намерените числа. ОДЗ трябва да се изпише по първоначалния знаменател, преди съкращаване на дробта — иначе изключените точки ще бъдат загубени.
Кои точки са изключени, а кои защриховани?
Нулите на знаменателя винаги се изключват, при какъвто и да е знак на неравенството. Нулите на числителя се защриховат при нестрог знак (\(\le\) или \(\ge\)) и се изключват при строг (\(<\) или \(>\)). В записа на отговора на изключена точка съответства кръгла скоба, на защрихована — квадратна.
Какво е кратност на корен и защо е нужна в метода на интервалите?
Кратността е степента, в която скобата влиза в разлагането. При преминаване през корен с нечетна кратност знакът на израза се променя, при преминаване през корен с четна кратност — се запазва. Именно затова знаците не винаги просто се редуват: при \((x-9)^2(x+3)\) в точката \(9\) знакът остава същият.
В кой клас се изучават рационални неравенства?
В 9 клас по алгебра, след квадратните неравенства и разлагането на многочлени на множители. Методът на интервалите по-нататък се използва за експоненциални, логаритмични и ирационални неравенства, както и в задачи от ОГЭ и профилиран ЕГЭ.
