Десетичната дроб е число, при което цялата и дробната част са разделени със запетая: 3,25 или 0,7. Всички действия с десетични дроби — събиране, изваждане, умножение и деление — се извършват почти по същия начин, както при естествените числа; най-важното е да следите запетаята. На тази страница са събрани всички правила с примери под колона, бележка за преместване на запетаята, разбор на чести грешки и интерактивен тренажор за самопроверка.
Разреди на десетичната дроб
Всяка цифра след запетаята има свое име и тежест:
- първи разред — десети (0,1);
- втори — стотни (0,01);
- трети — хилядни (0,001) и така нататък.
Важно свойство: ако отдясно към дробната част допишем нули, числото няма да се промени: 5,7 = 5,70 = 5,700. Това свойство ще използваме постоянно — то позволява да изравняваме броя на знаците след запетаята при събиране, изваждане и сравняване.
Всички действия с десетични дроби: кратка бележка
Всяко действие има свое главно правило за запетаята. Четирите карти по-долу съдържат същността на темата, а след това всяко действие е разгледано подробно, с примери.
Събиране и изваждане на десетични дроби под колона
Събирането и изваждането се извършват по едно правило:
- Записваме числата под колона така, че запетаята да бъде точно под запетаята — тогава еднаквите разрези ще се окажат един под друг: десети под десети, стотни под стотни.
- Ако броят на знаците след запетаята е различен — изравняваме ги с нули.
- Събираме или изваждаме, без да обръщаме внимание на запетаите, като естествени числа.
- В отговора поставяме запетаята под запетаите на изходните числа.
Цялото число също може да се запише като десетична дроб: 6 = 6,00 — това помага при примери от вида 6 − 2,35.
Правило за умножение на десетични дроби
Умножението е единственото действие, при което не е необходимо да се изравняват запетаите. Правилото за умножение на десетични дроби се състои от две стъпки:
- Умножаваме числата, без да обръщаме внимание на запетаите — като обикновени естествени числа.
- В резултата отделяме със запетая отдясно толкова цифри, колкото знаци има след запетаята в двата множителя общо.
Ако цифрите в произведението са по-малко, отколкото трябва да се отделят — дописваме нули отляво: 12 × 3 = 36, а за 0,12 × 0,3 трябва да се отделят три знака, затова отговорът е 0,036.
Бърза самопроверка: при умножение с число по-малко от единица, резултатът трябва да бъде по-малък от първия множител. Ако се е получило по-голямо — значи запетаята не е на мястото си.
Деление на десетични дроби
Тук има два случая.
Деление на естествено число. Делим с ъгълче както обикновено, а запетаята в частното поставяме в момента, в който е приключила цялата част на делимото: 8,46 : 2 = 4,23.
Деление на десетична дроб. Първо се отърваваме от запетаята в делителя: преместваме запетаята и в делимото, и в делителя надясно с еднакъв брой знаци — тоест умножаваме двете числа с 10, 100 или 1000. Частното от това не се променя, а делението се свежда до първия случай.
Умножение и деление с 10, 100, 1000
Най-бързите действия с десетични дроби са умножението и делението с разредна единица. Не е нужна колона: достатъчно е да преместите запетаята с толкова знаци, колкото нули има в числото 10, 100 или 1000. Ако не достигат цифри — дописваме нули.
Сравняване на десетични дроби
Десетичните дроби се сравняват поразрядно:
- Първо целите части: кое число има по-голяма цяла част, то е по-голямо.
- Ако целите части са равни — сравняваме десетите, след това стотните, след това хилядните, докато открием разлика.
- За да не се объркате, изравнете броя на знаците с нули: да се сравнят 5,7 и 5,68 е по-лесно във вида 5,70 и 5,68 — седемдесет стотни са повече от шестдесет и осем, значи 5,7 > 5,68.
Дължината на записа не означава нищо: 0,5 е повече от 0,4999, въпреки че има по-малко цифри.
Действия с десетични дроби: примери с решения
Пример 1. Събиране: 5,3 + 2,47
Стъпка 1. Изравняваме знаците след запетаята: 5,3 = 5,30.
Стъпка 2. Записваме под колона, запетая под запетая.
Стъпка 3. Събираме като естествени числа: 530 + 247 = 777.
Стъпка 4. Поставяме запетаята под запетаите на събираемите: 7,77.
Пример 2. Изваждане от цяло число: 6 − 2,35
Стъпка 1. Представяме 6 като десетична дроб: 6 = 6,00.
Стъпка 2. Записваме под колона: 6,00 − 2,35.
Стъпка 3. Изваждаме със заемане от по-горните разрези: 3,65.
Проверка. 3,65 + 2,35 = 6 — съвпада.
Пример 3. Умножение: 2,5 × 0,04
Стъпка 1. Умножаваме, без да обръщаме внимание на запетаите: 25 × 4 = 100.
Стъпка 2. Броим знаците след запетаята: един в 2,5 и два в 0,04 — общо три.
Стъпка 3. Отделяме три знака отдясно: 0,100.
Стъпка 4. Премахваме нулите в края на дробната част: 0,1.
Проверка на реда. 0,04 е по-малко от единица, значи отговорът трябва да бъде по-малък от 2,5 — вярно.
Пример 4. Деление на десетична дроб: 1,44 : 1,2
Стъпка 1. Правим делителя цяло число: преместваме запетаята с един знак надясно и в двете числа — получаваме 14,4 : 12.
Стъпка 2. Делим с ъгълче цялата част: 14 : 12 = 1, остатък 2.
Стъпка 3. Цялата част приключи — поставяме в частното запетая и спускаме 4: 24 : 12 = 2.
Отговор: 1,2. Проверка: 1,2 × 1,2 = 1,44.
Чести грешки при действия с десетични дроби
-
При събиране и изваждане изравняват числата по десния край, като цели числа: 3,25 + 4,8 записват под колона без отчитане на запетаята и получават 3,73.
Подравнявайте по запетаята, а не по последната цифра: 4,8 = 4,80, и тогава 3,25 + 4,80 = 8,05. Десетите трябва да стоят под десетите, стотните — под стотните.
-
При умножение се опитват да изравняват запетаите или поставят запетаята в произведението „под запетаите“ на множителите.
При умножение запетаите изобщо не се изравняват. Умножете като цели числа и отделете отдясно толкова знаци, колкото са след запетаята в двата множителя общо.
-
Ако в произведението цифрите са по-малко, отколкото трябва да се отделят, губят нули: 0,12 × 0,3 = 0,36 вместо 0,036.
12 × 3 = 36 — това са само две цифри, а трябва да се отделят три. Допишете липсващите нули отляво: 0,036.
-
При деление на десетична дроб преместват запетаята само в делителя: 4,2 : 0,7 превръщат в 4,2 : 7 и получават 0,6.
Запетаята се премества и в двете числа с еднакъв брой знаци: 4,2 : 0,7 = 42 : 7 = 6. В противен случай частното ще намалее 10 пъти.
-
Сравняват дробите по броя на цифрите: смятат, че 5,68 е по-голямо от 5,7, защото записът е по-дълъг.
Изравнете знаците с нули и сравнявайте поразрядно: 5,70 и 5,68 — при десетите 7 > 6, значи 5,7 > 5,68.
-
При умножение и деление с 10, 100, 1000 преместват запетаята в грешната посока.
Умножението увеличава числото — запетаята отива надясно: 3,74 × 10 = 37,4. Делението намалява — наляво: 3,74 : 10 = 0,374. Броят на знаците е равен на броя на нулите.
Въпроси и отговори
Какви действия с десетични дроби се изучават в 5 клас?
В 5 клас се преминават всички четири действия — събиране, изваждане, умножение и деление на десетични дроби, както и тяхното сравняване и закръгляне. Обикновено първо се изучават събиране и изваждане под колона, след това умножение и деление на естествено число и накрая — деление на десетична дроб.
Ще се промени ли десетичната дроб, ако отдясно допишем нули?
Не: 5,7 = 5,70 = 5,700 — това е едно и също число. Дописването на нули се използва, за да се изравни броят на знаците след запетаята при събиране, изваждане и сравняване. Но не може да се вмъква нула между цифрите или да се премахва нула от средата на числото — то ще се промени.
Как се закръгля десетична дроб?
Намерете разреда, до който трябва да закръглите, и погледнете следващата след него цифра: ако тя е по-малка от 5 — закръгляната цифра не се променя (3,748 ≈ 3,7), ако е 5 или повече — се увеличава с единица (2,85 ≈ 2,9). Всички цифри надясно се премахват.
Как се превръща обикновена дроб в десетична?
Разделете числителя на знаменателя: 3/4 = 3 : 4 = 0,75. Не всяка обикновена дроб дава краен десетичен запис: например, 1/3 = 0,333… — безкрайна периодична дроб. Крайна десетична дроб се получава, когато знаменателят се разлага само на двойки и петици.
В какъв ред се извършват действията в изрази с десетични дроби?
Редът е същият, както при естествените числа: първо действията в скобите, след това умножение и деление отляво надясно, след това събиране и изваждане отляво надясно. Десетичният запис на числата не влияе на реда на действията.
Може ли да се раздели по-малка десетична дроб на по-голяма?
Да. Ако делимото е по-малко от делителя, частното просто ще бъде по-малко от единица: 0,3 : 0,6 = 3 : 6 = 0,5. В цялата част на частното в този случай се пише 0 и се продължава делението след запетаята.
