二次方程式是一種形式為 \(ax^2 + bx + c = 0\) 的方程式，其中 \(a \neq 0\)。其根的數量由判別式 \(D = b^2 - 4ac\) 決定，而根本身則由公式 \(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\) 計算。本頁面涵蓋了該主題的所有內容：標準形式與係數、三種不完全方程式類型、判別式與三種情況、求根公式及其「偶數」變體、約化方程式與韋達定理、因式分解與雙二次方程式 — 包含逐步範例、常見錯誤分析以及互動練習器。
什麼是二次方程式
二次方程式是一種形式為
的方程式，其中 \(x\) 是未知數，而 \(a\)、\(b\)、\(c\) 是數字（係數），且 \(a \neq 0\)。這種寫法稱為二次方程式的標準形式：左側的項按指數遞減排列，右側為零。
條件 \(a \neq 0\) 並非形式主義。正是 \(ax^2\) 項使方程式成為二次方程式：當 \(a = 0\) 時，剩下 \(bx + c = 0\)，這是一個具有一個根的普通線性方程式。因此，在帶參數的問題中，首先要檢查最高次係數是否為零。
幾乎總是可以將方程式化為標準形式：展開括號，將所有項移到左側並合併同類項。例如，\(5x^2 = 3x - 2\) 移項後變成 \(5x^2 - 3x + 2 = 0\)，其中 \(a = 5\)、\(b = -3\)、\(c = 2\)。「二次函數方程式」的意思完全相同 — 這只是另一種稱呼。
完全與不完全二次方程式
如果三個係數都非零，則該方程式稱為完全二次方程式。如果 \(b\) 或 \(c\)（或兩者）為零，則稱為不完全二次方程式。不完全方程式有三種形式，其中任何一種都不需要判別式：每種都可以一兩行解決，這是節省考試時間最快的方法。
對於 \(ax^2 + bx = 0\) 的關鍵思想是提出公因式。乘積 \(x(ax + b)\) 等於零，當且僅當至少一個因式等於零，由此直接得到兩個根。對於 \(ax^2 + c = 0\)，思想不同：表達 \(x^2\) 並觀察所得數字的符號 — 一個實數的平方不可能是負數。
| 方程式類型 | 如何解 |
|---|---|
| ax2 + c = 02x2 − 50 = 0 | 將 c 移到右側並除以 a：x2 = −c/a。開平方根，注意正負號。x = 5 且 x = −5 |
| ax2 + bx = 0x2 + 7x = 0 | 提出公因式 x：x(ax + b) = 0。乘積為零，表示其中一個因式為零。x = 0 且 x = −7 |
| ax2 = 09x2 = 0 | 除以 a 並開零的平方根。根永遠只有一個。x = 0 |
判別式：如何計算以及有多少個根
判別式是一個根據完全二次方程式的係數計算出來的數字：
這個詞本身的意思是「區分者」：判別式本身不解決任何問題，它只是區分三種情況 — 有兩個根、一個根或沒有根。因此，「方程式有多少個根」這個問題可以在不計算根本身的情況下解決。
計算 \(D\) 時要小心：\(b^2\) 永遠是正數，即使 \(b\) 本身是負數，而 \(a\) 和 \(c\) 的符號則按原樣包含在 \(4ac\) 的乘積中。考慮 \(x^2 + 4x - 5 = 0\)：這裡 \(a = 1\)、\(b = 4\)、\(c = -5\)，因此 \(D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36\)。判別式是正數，將有兩個根。
二次方程式求根公式
當 \(D \ge 0\) 時，根可以通過該主題的主要公式計算：
符號 \(\pm\) 表示兩次計算：一次是加法，一次是減法。當 \(D = 0\) 時，兩次計算都得到相同的數字 \(x = -\dfrac{b}{2a}\) — 這個根稱為重根。
最常出錯的兩個地方是：分子是 \(b\) 的負值（對於 \(b = -7\) 則是 \(+7\)），而分母是 \(2a\)，而不是簡單的 \(2\)。當 \(a = 1\) 時，差異不明顯，因此錯誤只在最高次係數與 1 不同時出現。
解 \(2x^2 - 9x - 5 = 0\)：\(D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 81 + 40 = 121\)，\(\sqrt{D} = 11\)，因此 \(x_1 = \dfrac{9 + 11}{4} = 5\) 和 \(x_2 = \dfrac{9 - 11}{4} = -0{,}5\)。
偶數二次係數：使用 D₁ 的公式
如果 \(b\) 是偶數，則方便將其寫成 \(b = 2k\) 並計算「簡化」判別式：
計算中的數字會變成原來的四分之一（\(D = 4D_1\)），而 \(D_1\) 的符號與 \(D\) 相同 — 這意味著關於根數量的結論不變。
範例：\(3x^2 + 8x - 3 = 0\)。這裡 \(b = 8\)，即 \(k = 4\)，且 \(D_1 = 4^2 - 3 \cdot (-3) = 16 + 9 = 25\)，\(\sqrt{D_1} = 5\)。那麼 \(x_1 = \dfrac{-4 + 5}{3} = \dfrac{1}{3}\) 和 \(x_2 = \dfrac{-4 - 5}{3} = -3\)。使用普通公式需要處理 \(D = 100\) — 結果相同，但計算量更大。
約化方程式與韋達定理
係數 \(a = 1\) 的方程式稱為約化方程式，寫成 \(x^2 + px + q = 0\)。任何二次方程式都可以通過除以 \(a\) 來約化：例如，\(4x^2 - 12x + 8 = 0\) 除以 4 後變成 \(x^2 - 3x + 2 = 0\)。
約化形式很有價值，因為對於它，韋達定理成立：根的總和等於 \(-p\)，乘積等於 \(q\)。對於 \(x^2 - 7x + 10 = 0\)，需要總和為 7 且乘積為 10 的兩個數字 — 這就是 2 和 5，無需計算判別式。
當根是整數且不大時，韋達定理的配對很有用，它還可以免費檢查通過判別式找到的答案：總和應等於 \(-p\)，乘積應等於 \(q\)。通用形式、逆定理和配對算法的公式在單獨的材料中進行了討論 — 韋達定理。
二次三項式的因式分解
如果找到了根 \(x_1\) 和 \(x_2\)，則二次三項式可以分解為因式：
不能忘記因式 \(a\) — 沒有它，等式就不成立。分解的驗證總是很簡單：展開括號並與原始三項式進行比較。例如，\(x^2 + 2x - 8\) 的根是 2 和 \(-4\)，因此 \(x^2 + 2x - 8 = (x - 2)(x + 4)\)。
反向操作也有效：如果可以口頭分解三項式，根會立即顯現，無需判別式。這裡的 平方差公式 很有幫助 — 例如，\(x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)\) 可以立即得到根 \(4\) 和 \(-4\)。
第三種無需使用求根公式的方法是配方。在 \(x^2 + 6x + 5 = 0\) 中，前兩項可以補成完全平方：\((x + 3)^2 - 9 + 5 = 0\)，即 \((x + 3)^2 = 4\)，從而 \(x + 3 = \pm 2\) 且 \(x = -1\) 或 \(x = -5\)。正是這種方法在一般形式中推導出求根公式。
可化為二次方程式的方程式：雙二次方程式
雙二次方程式的形式為 \(ax^4 + bx^2 + c = 0\)：指數都是偶數。它通過替換 \(t = x^2\) 來求解，並且必須滿足條件 \(t \ge 0\) — 實數的平方不可能是負數。
替換後得到一個普通的二次方程式 \(at^2 + bt + c = 0\)。使用判別式求解，然後對於每個非負根 \(t\)，返回到 \(x = \pm\sqrt{t}\)。因此根的數量最多為四個。
例如，\(x^4 - 5x^2 + 4 = 0\) 替換後得到 \(t^2 - 5t + 4 = 0\)，其根為 \(t = 1\) 和 \(t = 4\)。兩者都是正數，因此 \(x = \pm 1\) 和 \(x = \pm 2\) — 總共四個根。如果其中一個 \(t\) 是負數，則將其捨棄。
同樣的方法也用於求解有理分式方程式（在通分並捨棄禁止值後）以及形式為 \(t = x^2 + 3x\) 的替換方程式。
二次方程式解題範例
範例 1. 完全方程式，D > 0
求解 \(3x^2 - 7x + 2 = 0\)。
步驟 1. 方程式已為標準形式：\(a = 3\)、\(b = -7\)、\(c = 2\)。
步驟 2. \(D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25 > 0\) — 有兩個根。
步驟 3. \(\sqrt{D} = 5\)，因此 \(x_{1,2} = \dfrac{7 \pm 5}{6}\)：\(x_1 = \dfrac{12}{6} = 2\)、\(x_2 = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}\)。
步驟 4. 代入驗算。 \(3 \cdot 2^2 - 7 \cdot 2 + 2 = 12 - 14 + 2 = 0\)；\(3 \cdot \left(\tfrac{1}{3}\right)^2 - 7 \cdot \tfrac{1}{3} + 2 = \tfrac{1}{3} - \tfrac{7}{3} + 2 = 0\)。
答案： \(x_1 = 2\)、\(x_2 = \dfrac{1}{3}\)。
範例 2. 判別式為零
求解 \(4x^2 - 12x + 9 = 0\)。
步驟 1. \(a = 4\)、\(b = -12\)、\(c = 9\)。
步驟 2. \(D = (-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 144 - 144 = 0\) — 只有一個根。
步驟 3. \(x = -\dfrac{b}{2a} = \dfrac{12}{8} = 1{,}5\)。
步驟 4. 驗證。 \(4 \cdot 1{,}5^2 - 12 \cdot 1{,}5 + 9 = 9 - 18 + 9 = 0\)。
答案： \(x = 1{,}5\)。請注意：左側是完全平方 \((2x - 3)^2\)，因此根只有一個。
範例 3. 判別式為負數
求解 \(2x^2 + 3x + 5 = 0\)。
步驟 1. \(a = 2\)、\(b = 3\)、\(c = 5\)。
步驟 2. \(D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 9 - 40 = -31 < 0\)。
步驟 3. 判別式為負數，因此無法在實數範圍內計算 \(\sqrt{D}\)。無需使用求根公式 — 解題到此結束。
答案： 沒有實數根。這是一個完整的答案，而不是錯誤的標誌：函數 \(y = 2x^2 + 3x + 5\) 的圖形根本不與 x 軸相交。
範例 4. 不完全方程式 $ax^2 + c = 0$ 類型
求解 \(3x^2 - 27 = 0\)。
步驟 1. 移項：\(3x^2 = 27\)。
步驟 2. 除以 3：\(x^2 = 9\)。
步驟 3. 平方等於 9 的數字有兩個：\(x = 3\) 和 \(x = -3\)。第二個符號最容易丟失。
步驟 4. 驗證。 \(3 \cdot 3^2 - 27 = 0\)；\(3 \cdot (-3)^2 - 27 = 27 - 27 = 0\)。
答案： \(x_1 = 3\)、\(x_2 = -3\)。與方程式 \(2x^2 + 8 = 0\) 比較：那裡的 \(x^2 = -4\)，沒有實數根。
範例 5. 不完全方程式 $ax^2 + bx = 0$ 類型
求解 \(5x^2 - 15x = 0\)。
步驟 1. 提出公因式：\(5x(x - 3) = 0\)。
步驟 2. 乘積為零，表示其中一個因式為零：\(5x = 0\) 或 \(x - 3 = 0\)。
步驟 3. 因此 \(x_1 = 0\)、\(x_2 = 3\)。
步驟 4. 驗證。 \(5 \cdot 0^2 - 15 \cdot 0 = 0\)；\(5 \cdot 3^2 - 15 \cdot 3 = 45 - 45 = 0\)。
答案： \(x_1 = 0\)、\(x_2 = 3\)。如果將原方程式除以 \(x\)，則只剩下 \(x = 3\) — 根 \(x = 0\) 會丟失。不能除以包含未知數的表達式。
範例 6. 偶數二次係數
求解 \(5x^2 - 22x + 8 = 0\)。
步驟 1. \(b = -22\) 是偶數，因此 \(k = -11\)，\(a = 5\)、\(c = 8\)。
步驟 2. \(D_1 = k^2 - ac = (-11)^2 - 5 \cdot 8 = 121 - 40 = 81\)，\(\sqrt{D_1} = 9\)。
步驟 3. \(x_{1,2} = \dfrac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a} = \dfrac{11 \pm 9}{5}\)：\(x_1 = 4\)、\(x_2 = \dfrac{2}{5} = 0{,}4\)。
步驟 4. 驗證。 \(5 \cdot 4^2 - 22 \cdot 4 + 8 = 80 - 88 + 8 = 0\)；\(5 \cdot 0{,}4^2 - 22 \cdot 0{,}4 + 8 = 0{,}8 - 8{,}8 + 8 = 0\)。
答案： \(x_1 = 4\)、\(x_2 = 0{,}4\)。普通判別式會得到 \(D = 324\) — 結果相同，但計算時間更長。
範例 7. 先化為標準形式
求解 \((x - 3)(x + 5) = 9\)。
步驟 1. 展開括號：\(x^2 + 5x - 3x - 15 = 9\)，即 \(x^2 + 2x - 15 = 9\)。
步驟 2. 將 9 移到左側：\(x^2 + 2x - 24 = 0\)。現在才可以寫出係數：\(a = 1\)、\(b = 2\)、\(c = -24\)。
步驟 3. \(D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100\)，\(\sqrt{D} = 10\)，\(x_{1,2} = \dfrac{-2 \pm 10}{2}\)：\(x_1 = 4\)、\(x_2 = -6\)。
步驟 4. 在原方程式中驗證。 \((4 - 3)(4 + 5) = 1 \cdot 9 = 9\)；\((-6 - 3)(-6 + 5) = (-9) \cdot (-1) = 9\)。
答案： \(x_1 = 4\)、\(x_2 = -6\)。這裡常見的錯誤是將每個括號都設為 9：規則「乘積為零」僅適用於零。
範例 8. 三項式因式分解
將 \(2x^2 - 5x - 3\) 分解為因式。
步驟 1. 令三項式等於零並求根：\(D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49\)，\(\sqrt{D} = 7\)，\(x_{1,2} = \dfrac{5 \pm 7}{4}\)：\(x_1 = 3\)、\(x_2 = -\dfrac{1}{2}\)。
步驟 2. 代入公式 \(a(x - x_1)(x - x_2)\)：\(2(x - 3)\left(x + \tfrac{1}{2}\right)\)。
步驟 3. 將 2 乘到第二個括號中比較方便：\((x - 3)(2x + 1)\)。
步驟 4. 展開驗證。 \((x - 3)(2x + 1) = 2x^2 + x - 6x - 3 = 2x^2 - 5x - 3\)。
答案： \(2x^2 - 5x - 3 = (x - 3)(2x + 1)\)。
範例 9. 雙二次方程式
求解 \(x^4 - 13x^2 + 36 = 0\)。
步驟 1. 設 \(t = x^2\)，其中 \(t \ge 0\)。方程式變為 \(t^2 - 13t + 36 = 0\)。
步驟 2. \(D = (-13)^2 - 4 \cdot 36 = 169 - 144 = 25\)，\(\sqrt{D} = 5\)，\(t_{1,2} = \dfrac{13 \pm 5}{2}\)：\(t_1 = 9\)、\(t_2 = 4\)。
步驟 3. 兩個值都是非負的，因此返回到 \(x\)：從 \(x^2 = 9\) 得到 \(x = \pm 3\)，從 \(x^2 = 4\) 得到 \(x = \pm 2\)。
步驟 4. 驗證。 \(3^4 - 13 \cdot 3^2 + 36 = 81 - 117 + 36 = 0\)；\(2^4 - 13 \cdot 2^2 + 36 = 16 - 52 + 36 = 0\)。對於負值，偶數次冪得到相同的值。
答案： \(x = \pm 2\) 和 \(x = \pm 3\) — 四個根。
解二次方程式的常見錯誤
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在將方程式化為標準形式之前計算判別式：對於 $2x^2 + 3x = x^2 + 5$，直接取 $a = 2$、$b = 3$、$c = 0$。
首先將所有項移到左側並合併同類項：\(2x^2 + 3x - x^2 - 5 = 0\)，即 \(x^2 + 3x - 5 = 0\)。只有從這裡才能得到 \(a = 1\)、\(b = 3\)、\(c = -5\)。求根公式僅適用於標準形式。
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將 $b$ 平方時丟失符號：對於 $x^2 - 9x + 14 = 0$，寫成 $D = -81 - 56$。
任何數字的平方都是非負數：\((-9)^2 = 81\)，而不是 \(-81\)。正確的是 \(D = 81 - 56 = 25\)，根為 \(x = \dfrac{9 \pm 5}{2}\)，即 7 和 2。驗證：\(49 - 63 + 14 = 0\) 和 \(4 - 18 + 14 = 0\)。
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在分子中將 $b$ 保留為 $-b$：對於 $x^2 + 5x - 6 = 0$，計算 $x = \dfrac{5 \pm 7}{2}$。
公式中有 \(-b\)，因此當 \(b = 5\) 時，分子為 \(-5\)：\(x = \dfrac{-5 \pm 7}{2}\)，得到 \(x_1 = 1\)、\(x_2 = -6\)。代入驗證：\(1 + 5 - 6 = 0\) 和 \(36 - 30 - 6 = 0\)。
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當 $D = 0$ 時寫「無根」：對於 $x^2 + 14x + 49 = 0$，判別式為零，解題中斷。
只有當 \(D < 0\) 時才沒有根。當 \(D = 0\) 時，根只有一個：\(x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{14}{2} = -7\)。驗證：\(49 - 98 + 49 = 0\)。
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將方程式 $4x^2 - 9x = 0$ 除以 $x$ 並得到唯一根 $x = 2{,}25$。
不能除以包含未知數的表達式：\(x\) 可能為零，根 \(x = 0\) 會丟失。正確的做法是提出公因式：\(x(4x - 9) = 0\)，因此 \(x_1 = 0\) 和 \(x_2 = 2{,}25\)。驗證：\(4 \cdot 2{,}25^2 - 9 \cdot 2{,}25 = 20{,}25 - 20{,}25 = 0\)。
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在方程式 $x^2 = 16$ 中只寫 $x = 4$。
平方等於 16 的數字有 \(-4\)。應寫出兩個根：\(x = \pm 4\)。更可靠的方法是通過標準形式 \(x^2 - 16 = 0\) 求解，即 \((x - 4)(x + 4) = 0\) — 這樣兩個因式就一目了然了。
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在帶參數的方程式中不檢查 $a \neq 0$ 的條件：對於 $(m - 2)x^2 + 3x - 1 = 0$，立即計算判別式。
當 \(m = 2\) 時，最高次係數變為零，方程式變成線性方程式 \(3x - 1 = 0\)，只有一個根 \(x = \dfrac{1}{3}\)。情況 \(m = 2\) 需要單獨處理，求根公式僅在 \(m \neq 2\) 時使用。
問答
什麼是二次方程式？
它是一種形式為 \(ax^2 + bx + c = 0\) 的方程式，其中 \(a\)、\(b\)、\(c\) 是數字且 \(a \neq 0\)。未知數以二次方形式出現，因此可能有兩個、一個或沒有根。
二次方程式的標準形式是什麼樣的？
標準（一般）形式是 \(ax^2 + bx + c = 0\)：所有項都按指數遞減排列在左側，右側為零。在計算判別式之前，任何二次方程式都應化為此形式。
如何計算判別式？
使用公式 \(D = b^2 - 4ac\)，代入係數及其符號。例如，對於 \(x^2 + 3x - 10 = 0\)，得到 \(D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49\)，根為 \(\dfrac{-3 \pm 7}{2}\)，即 2 和 \(-5\)。
二次方程式的求根公式是什麼？
\(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)，或簡稱 \(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\)。它適用於 \(D \ge 0\)；分母是 \(2a\)，而不是 2。
二次方程式可能有多少個根？
最多兩個。當 \(D > 0\) 時有兩個根，當 \(D = 0\) 時有一個根（重根），當 \(D < 0\) 時沒有實數根。
什麼是不完全二次方程式？
這是指 \(b = 0\)、\(c = 0\) 或兩者同時為零的方程式：\(ax^2 + c = 0\)、\(ax^2 + bx = 0\)、\(ax^2 = 0\)。這三種類型都可以不用判別式求解 — 通過移項或提出 \(x\) 作為公因式。
如何解二次方程式而不使用判別式？
有三種方法：對於約化方程式，通過韋達定理配對根；因式分解；以及配方法。當根是較小的整數時，配對法最快。
如果判別式為負數怎麼辦？
寫上沒有實數根，然後結束解題。負判別式是一個正常的答案：對應拋物線的圖形不與 x 軸相交。這種情況下的根只存在於複數範圍內，稍後會學習。
如何驗證找到的根？
將每個根代入原方程式 — 應得到一個正確的等式。對於約化方程式，還有一個快速驗證方法是韋達定理：根的總和等於 \(-p\)，乘積等於 \(q\)。
二次方程式和二次函數方程式是同一回事嗎？
是的，它們是同一對象 \(ax^2 + bx + c = 0\) 的兩種稱呼。不要將它與二次函數 \(y = ax^2 + bx + c\) 混淆：方程式的根正是函數圖形與 x 軸交點的橫坐標。
哪個年級學習二次方程式？
8年級代數：首先是不完全方程式，然後是判別式、求根公式和韋達定理。之後在二次函數、不等式、以及 OGE 和 ЕГЭ 的問題中會再次遇到。
