如何解比例：基本性质和应用题解法

两个数的比是它们的商。比 \(2:3\)（读作“二比三”）表示一个数是另一个数的多少倍，或者一个数占另一个数的几分之几。它可以写成两种形式：\(2:3\) 或分数 \(\frac{2}{3}\)——它们是相同的。

比例是两个比的相等式：

比例中有四个数，它们都有名称。写在两端的数是极项，写在中间的数是内项。当两个比相等时，比例成立。

比例的基本性质：极项的乘积等于内项的乘积。

为什么会这样？将等式 \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) 的两边同时乘以 \(b \cdot d\)。左边约去 \(b\)，右边约去 \(d\)，就剩下 \(a \cdot d = c \cdot b\)。这并非魔法，而是等式的普通性质。

这正是学生们所说的“交叉相乘解比例”：对角线相乘。这个性质也适用于反向：如果对于四个非零数 \(a, b, c, d\) 满足 \(a \cdot d = b \cdot c\)，那么它们就可以组成一个正确的比例。

由此可以得到两个技能：检验比例是否正确，以及在比例中找到未知数。

从基本性质可以得出两个简短的规则：

• 未知极项 = 内项乘积 ÷ 已知极项；
• 未知内项 = 极项乘积 ÷ 已知内项。

不必死记硬背。只需要一个通用的方法：交叉相乘，得到“数字 \(\cdot\, x\) = 数字”的形式，然后进行除法。我们以比例 \(x : 7 = 12 : 21\) 为例，分步讲解。

最后一步是检验，只需五秒钟，几乎可以发现所有算术错误，所以不应跳过。

两个量称为成正比，如果其中一个量增加几倍，另一个量也增加相同的倍数。买了双倍数量的笔记本，支付双倍的钱。这类量的比是恒定的。

两个量成反比，如果其中一个量增加几倍，另一个量就减少相同的倍数。双倍的工人数量，完成相同工作所需的天数就减半。这类量的乘积是恒定的。

当我们写出比例时，主要区别就显现出来了。对于正比关系，比例直接写出：\(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}\)。对于反比关系，第二个比要颠倒：\(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_2}{b_1}\)。

为什么？因为反比关系中乘积是恒定的：\(a_1 \cdot b_1 = a_2 \cdot b_2\)。将两边同时除以 \(a_2 \cdot b_1\) —— 就得到 \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_2}{b_1}\)。所以“颠倒”不是需要记住的咒语，而是乘积恒定而非比值恒定的结果。

“比例”应用题的解题步骤如下：

1. 将已知条件按两列方式列出，使相同单位的量对齐（份数对份数，克对克）。
2. 用 \(x\) 表示未知量。
3. 确定比例关系：在心中将第一个量增加一倍，观察第二个量是增加还是减少。
4. 建立比例：对于反比关系，颠倒第二个比。
5. 交叉相乘求解，并检验答案是否合理。

以食谱为例。制作4份煎饼需要300克面粉——制作6份需要多少面粉？份数多了，面粉量也应该多：这是正比关系，比例直接写出：

制作6份需要450克面粉。答案合理：份数增加了1.5倍，面粉量也增加了1.5倍。

比例尺（地图上的距离与实际距离的比）和价格（数量与总价的比）问题也用同样的方法解决。详细解析见下文示例。

百分比是百分之一，因此任何简单的百分比问题都可以转化为比例：

其中一个数是未知的——我们用交叉相乘法找到它。

求部分。 240 的 15% 是多少？建立比例 \(x : 240 = 15 : 100\)，所以 \(100x = 240 \cdot 15 = 3600\)，则 \(x = 36\)。

求整体。 数字 21 是某个数字的 35%。建立比例 \(21 : x = 35 : 100\)，所以 \(35x = 21 \cdot 100 = 2100\)，则 \(x = 60\)。

求百分比。 18 占 45 的百分之多少？建立比例 \(18 : 45 = p : 100\)，所以 \(45p = 18 \cdot 100 = 1800\)，则 \(p = 40\)，即 40%。

一个方法解决三种不同类型的问题，无需额外记忆。只有“增长或减少了百分之多少”这个问题需要单独处理：先计算变化量，然后除以初始值——这已经是百分比变化公式，而不是简单的比例。