運算順序是一組規則，用來告訴你數學算式中哪一部分要先計算。最常見的記憶方式是 PEMDAS：Parentheses (括號)、Exponents (指數)、Multiplication (乘法) 與 Division (除法)、Addition (加法) 與 Subtraction (減法)。遵循此順序，每個算式都會得到唯一正確的答案。在本頁中，您將找到 PEMDAS 規則的逐步說明、包含括號與指數的計算範例、學生最常犯的錯誤，以及可立即練習的互動式測驗。
PEMDAS 的含義：運算順序
PEMDAS 是運算執行順序的助記詞。許多學生會用這句話來記憶：「Please Excuse My Dear Aunt Sally」(請原諒我親愛的阿姨莎莉)。 請由上而下依序執行：
- P — Parentheses (括號)。 先處理所有分組符號內的運算：( ), [ ], { }。
- E — Exponents (指數)。 接著是次方與根號，例如 3² 或 √9。
- M 與 D — Multiplication (乘法) 與 Division (除法)。 兩者優先級相同。請一起處理，並由左至右計算。
- A 與 S — Addition (加法) 與 Subtraction (減法)。 兩者優先級也相同。最後處理，同樣由左至右計算。
最重要且學生最常忽略的概念是：PEMDAS 並非六個獨立的步驟。乘法並不總是優先於除法，加法也不總是優先於減法。每一對運算屬於同一層級，在該層級內，您只需由左至右依序計算。
由左至右規則 (乘除與加減的優先級相同)
由於乘法與除法位於同一層級，您必須依照它們出現的順序，由左至右處理，而不是「先算完所有乘法，再算所有除法」。加法與減法也是如此。
一個經典的陷阱是 20 ÷ 4 × 5。如果您先做乘法 (4 × 5 = 20)，您會得到 20 ÷ 20 = 1，這是錯誤的。由於除法在左邊，請先做除法：20 ÷ 4 = 5，然後 5 × 5 = 25。同樣的邏輯適用於 10 − 6 + 2：由左至右計算得到 4 + 2 = 6，而不是 10 − 8 = 2。
PEMDAS 與 BODMAS：規則相同，名稱不同
在英國、澳洲及許多其他國家，相同的規則被稱為 BODMAS (有時稱為 BIDMAS 或 BEDMAS)。字母看起來不同，但順序完全一致，只是術語不同。
- B — Brackets (括號) 等同於 P — Parentheses。
- O — Orders (階次) (或 I — Indices (指數), E — Exponents) 指的是次方與根號。
- DM 與 MD 是相同的等優先級組合，由左至右計算。
- AS 是加法與減法，由左至右計算。
因此，PEMDAS 與 BODMAS 總是會得出相同的答案。下表將它們逐一對照。
| 步驟 | PEMDAS | BODMAS | 操作說明 |
|---|---|---|---|
| 1 | Parentheses | Brackets | 先處理分組符號內的運算 |
| 2 | Exponents | Orders / Indices | 次方與根號 |
| 3 | Multiplication / Division | Division / Multiplication | 優先級相同，左 → 右 |
| 4 | Addition / Subtraction | Addition / Subtraction | 優先級相同，左 → 右 |
運算順序範例 (逐步解析)
範例 1. 乘法優先於加法
算式： 3 + 4 × 2
步驟 1 — 括號 / 指數： 此處沒有，跳過。
步驟 2 — 乘法 / 除法： 4 × 2 = 8。算式現在變為 3 + 8。
步驟 3 — 加法 / 減法： 3 + 8 = 11。
一個常見的錯誤答案是 14，這是因為先算了 3 + 4。乘法必須在加法之前完成。
範例 2. 括號、指數，然後由左至右
算式： (6 + 2) × 3² ÷ 4 − 5
步驟 1 — 括號： 6 + 2 = 8。現在變為：8 × 3² ÷ 4 − 5。
步驟 2 — 指數： 3² = 9。現在變為：8 × 9 ÷ 4 − 5。
步驟 3 — 乘法 / 除法 (由左至右)： 8 × 9 = 72，然後 72 ÷ 4 = 18。現在變為：18 − 5。
步驟 4 — 加法 / 減法： 18 − 5 = 13。
範例 3. 由左至右的陷阱
算式： 20 ÷ 4 × 5
沒有括號或指數，所以直接進入乘法與除法。它們優先級相同，所以我們由左至右讀取。
步驟 1： 20 ÷ 4 = 5 (除法在最左邊)。現在變為：5 × 5。
步驟 2： 5 × 5 = 25。
如果您先做了乘法 (4 × 5 = 20)，您會得到 20 ÷ 20 = 1 — 這是一個經典錯誤。字母順序 M 在 D 前面並不代表乘法優先；由左至右才是正確規則。
常見的 PEMDAS 錯誤
-
認為因為字母順序 M-D 和 A-S 的關係，乘法總是優先於除法 (或加法優先於減法)。
乘法與除法優先級相同，加法與減法也是。在每一對運算中，請由左至右計算。在 20 ÷ 4 × 5 中，因為除法在左邊，所以先做除法，得到 25 — 而不是 1。
-
忽略減法的由左至右規則，導致 10 − 6 + 2 被誤讀為 10 − 8 = 2。
請由左至右計算：10 − 6 = 4，然後 4 + 2 = 6。加法並不會「插隊」到它左邊的減法前面。
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跳過括號或因為括號出現在算式中間而最後才處理。
分組符號永遠優先，無論它們在哪裡。在 2 × (3 + 4) 中，您必須先計算 3 + 4 = 7 再相乘，得到 14 — 而不是 2 × 3 + 4 = 10。
-
誤讀指數的範圍，將 −3² 和 (−3)² 視為相同。
指數僅適用於其正下方的數字。−3² 意指 −(3²) = −9，而 (−3)² 意指 (−3)(−3) = 9。當您希望包含負號時，請使用括號。
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由外而內處理巢狀括號。
從最內層的分組開始，由內而外處理。在 2 × [3 + (4 − 1)] 中，先做 4 − 1 = 3，然後 3 + 3 = 6，最後 2 × 6 = 12。
常見問題
PEMDAS 代表什麼？
PEMDAS 代表 Parentheses (括號)、Exponents (指數)、Multiplication and Division (乘法與除法)、Addition and Subtraction (加法與減法)。這是您計算數學算式的順序。許多學生會用「Please Excuse My Dear Aunt Sally」這句話來記憶。
PEMDAS 與 BODMAS 有什麼區別？
數學上沒有區別 — 只有名稱不同。BODMAS (Brackets, Orders, Division, Multiplication, Addition, Subtraction) 在英國及許多其他國家教授，而 PEMDAS 則在美國使用。Brackets (括號) 與 Parentheses 相同，Orders (階次) 或 Indices (指數) 與 Exponents 相同。兩者對每個算式都會得出相同的答案。
在 PEMDAS 中，乘法總是比除法先做嗎？
不是。乘法與除法優先級相同。您只需在由左至右讀取時，先遇到哪個就先做哪個。例如，在 20 ÷ 4 × 5 中，因為除法在左邊，所以先做除法，然後再乘，得到 25。
為什麼我們需要運算順序？
如果沒有約定的順序，同一個算式對不同人來說可能會得出不同的答案。例如，3 + 4 × 2 如果先乘會得到 11，如果先加則會得到 14。PEMDAS 確保每個算式都有唯一正確的結果。
如何處理指數與負號同時出現的情況？
指數僅適用於其正下方的數值。因此 −3² 等於 −(3 × 3) = −9，因為指數在負號應用之前就先與 3 結合了。如果您希望包含負號，請寫成 (−3)²，這等於 9。括號可以控制指數的範圍。
如何處理巢狀括號？
從最內層的分組開始，由內而外處理。在 2 × [3 + (4 − 1)] 中，先做 4 − 1 = 3，然後 3 + 3 = 6，最後 2 × 6 = 12。每一層分組都會在處理外層之前先解決。
