韦达定理将二次方程的根与其系数联系起来：对于标准方程 \(x^2 + px + q = 0\)，根的和等于 \(-p\)，根的积等于 \(q\)。这使得我们可以口算求根，无需判别式。本页包含标准方程和一般方程的精确公式、韦达逆定理、求根法的步骤、已解示例以及交互式练习器。
什么是韦达定理
韦达定理是一种将二次方程的根与其系数联系起来的规则。其表述如下：如果 \(x_1\) 和 \(x_2\) 是标准二次方程 \(x^2 + px + q = 0\) 的根，那么
用文字来说：根的和等于第二系数的相反数，根的积等于常数项。和中的负号是整个主题中最重要的部分：必须写成 \(-p\)，而不是 \(p\)。
对于一般形式的方程 \(ax^2 + bx + c = 0\)（其中 \(a \neq 0\)），通过除以 \(a\) 可以得到公式：
该定理仅在存在实根时有效，即当 \(D \ge 0\) 时。如果判别式为负，则无根可求：不存在具有该和与该积的实数。
标准型与一般型：何时需要除以 a
标准型是指二次项系数为 1 的二次方程：\(x^2 + px + q = 0\)。韦达定理对其表述最简洁，因此求根试算法总是从化为标准型开始。
如果 \(a \neq 1\)，方程首先需要逐项除以 \(a\)。例如，\(3x^2 - 10x + 3 = 0\) 除以 \(3\) 后变为 \(x^2 - \frac{10}{3}x + 1 = 0\)，即 \(p = -\frac{10}{3}\)，\(q = 1\)。由此得出 \(x_1 + x_2 = \frac{10}{3}\) 和 \(x_1 \cdot x_2 = 1\)。
同样的想法可以直接写成一般形式，无需化为标准型：\(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\)，\(x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\)。最常犯的错误是，将“简洁”的公式 \(-p\) 和 \(q\) 应用于非标准方程，从而得到和为 10 而不是 \(\frac{10}{3}\)。
韦达逆定理
韦达定理有一个逆定理，正是它允许我们通过试算法解方程。其表述如下：如果存在两个数 \(m\) 和 \(n\)，使得
那么 \(m\) 和 \(n\) 就是方程 \(x^2 + px + q = 0\) 的根。
区别是根本性的。正定理从根推导系数：已知根，我们得到它们之间的关系。逆定理则相反：我们猜出了一对具有所需和与积的数——那么我们就有权称它们为根，无需再证明其他任何东西。
由此也得出了一个有用的规则：如果 \(x_1\) 和 \(x_2\) 是根，那么多项式可以分解为因式 \(x^2 + px + q = (x - x_1)(x - x_2)\)。例如，\(x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)\)。
韦达定理求根法：步骤
求根试算法是韦达定理的主要实际应用。当根为整数时，它比判别式法更快，并且包含五个步骤。
根据系数 p 和 q 判断根的符号
在试凑之前，仅通过查看 \(p\) 和 \(q\) 的符号就可以判断根的符号——这可以大大缩短试凑过程：立即就能看出是寻找一对正数、一对负数还是异号数。
| p 和 q | 根 | 示例 |
|---|---|---|
| q > 0, p < 0 | 均为正数 | x2 − 5x + 6 = 0 → 2; 3 |
| q > 0, p > 0 | 均为负数 | x2 + 5x + 6 = 0 → −2; −3 |
| q < 0 | 异号 | x2 + 2x − 15 = 0 → 3; −5 |
| q = 0 | 0 和 −p | x2 − 5x = 0 → 0; 5 |
韦达定理还是判别式：如何选择
通过判别式求根的公式 \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\) 总是有效的，但需要计算。韦达定理则能瞬间得出结果，但仅限于根可以猜出来的情况——通常是小的整数。
实际操作规则如下：
- 方程是标准型，且 \(q\) 可以分解为一对小的因子 → 尝试韦达试算法，答案可以口算得出；
- 系数很大或为分数，根在 10-15 秒内猜不出 → 计算判别式；
- 只需知道根的数量或根的符号，而不需要根本身 → \(D\) 和上面的符号表就足够了。
结合使用也很有用：计算出判别式并找到根后——用韦达定理检查答案。和应等于 \(-p\)，积应等于 \(q\)。这种检查只需几秒钟，并且可以发现几乎所有的算术错误。
韦达定理解题示例
示例 1. 试凑根法：两个根都是正数
求解 \(x^2 - 9x + 20 = 0\)。
步骤 1. 方程是标准型：\(p = -9\), \(q = 20\)。
步骤 2. 检查判别式：\(D = (-9)^2 - 4\cdot 20 = 81 - 80 = 1 > 0\) —— 有两个根。
步骤 3. 写出关系式：\(x_1 + x_2 = -p = 9\), \(x_1 \cdot x_2 = q = 20\)。
步骤 4. 尝试分解 20：\(1\cdot 20\) (和为 21)，\(2\cdot 10\) (和为 12)，\(4\cdot 5\) (和为 9) —— 最后一对合适。两个因子都是正数，因为 \(q > 0\) 且 \(p < 0\)。
步骤 5. 代入验证。 \(4^2 - 9\cdot 4 + 20 = 16 - 36 + 20 = 0\)；\(5^2 - 9\cdot 5 + 20 = 25 - 45 + 20 = 0\)。
答案： \(x_1 = 4\), \(x_2 = 5\)。
示例 2. 异号根
求解 \(x^2 + 3x - 28 = 0\)。
步骤 1. 方程是标准型：\(p = 3\), \(q = -28\)。
步骤 2. \(q < 0\)，意味着根的符号相反，判别式必然为正：\(D = 3^2 - 4\cdot(-28) = 9 + 112 = 121 > 0\)。
步骤 3. 关系式：\(x_1 + x_2 = -3\), \(x_1 \cdot x_2 = -28\)。
步骤 4. 分解 28：\(1\cdot 28\), \(2\cdot 14\), \(4\cdot 7\)。需要差为 3 —— 数对 4 和 7 合适。由于和为负数，绝对值较大的根取负号：4 和 \(-7\)。
步骤 5. 验证。 \(4^2 + 3\cdot 4 - 28 = 16 + 12 - 28 = 0\)；\((-7)^2 + 3\cdot(-7) - 28 = 49 - 21 - 28 = 0\)。
答案： \(x_1 = 4\), \(x_2 = -7\)。
示例 3. 一般形式方程 (a ≠ 1)
求解 \(3x^2 - 10x + 3 = 0\)。
步骤 1. 系数 \(a = 3\)，因此不能直接使用“简洁”的公式 \(-p\) 和 \(q\)。使用一般形式：\(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = \dfrac{10}{3}\)，\(x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{3}{3} = 1\)。
步骤 2. 积为 1 —— 这意味着根互为倒数：如果一个根是 \(t\)，另一个就是 \(\tfrac{1}{t}\)。和 \(t + \tfrac{1}{t} = \tfrac{10}{3}\) 表明 \(t = 3\)，因为 \(3 + \tfrac{1}{3} = \tfrac{10}{3}\)。
步骤 3. 代入验证。 \(3\cdot 3^2 - 10\cdot 3 + 3 = 27 - 30 + 3 = 0\)；\(3\cdot\left(\tfrac{1}{3}\right)^2 - 10\cdot\tfrac{1}{3} + 3 = \tfrac{1}{3} - \tfrac{10}{3} + 3 = 0\)。
答案： \(x_1 = 3\), \(x_2 = \tfrac{1}{3}\)。
示例 4. 根据根构造方程
任务。 构造一个标准二次方程，其根为 \(-4\) 和 \(6\)。
步骤 1. 计算和与积：\(x_1 + x_2 = -4 + 6 = 2\), \(x_1 \cdot x_2 = -4 \cdot 6 = -24\)。
步骤 2. 根据韦达逆定理，系数为 \(p = -(x_1 + x_2) = -2\) 和 \(q = x_1 x_2 = -24\)。这里隐藏着主要陷阱：\(p\) 是和的相反数。
步骤 3. 写出方程：\(x^2 - 2x - 24 = 0\)。
步骤 4. 代入验证。 \((-4)^2 - 2\cdot(-4) - 24 = 16 + 8 - 24 = 0\)；\(6^2 - 2\cdot 6 - 24 = 36 - 12 - 24 = 0\)。
答案： \(x^2 - 2x - 24 = 0\)。分解式 \((x + 4)(x - 6) = 0\) 得到相同结果。
示例 5. 用韦达定理检查他人答案
任务。 学生解方程 \(x^2 + 5x + 6 = 0\) 并写下答案：\(x_1 = 2\), \(x_2 = 3\)。检查他是否出错。
步骤 1. 根据韦达定理，应有 \(x_1 + x_2 = -p = -5\) 和 \(x_1 \cdot x_2 = q = 6\)。
步骤 2. 提供的答案中，积符合要求 (\(2\cdot 3 = 6\))，但和不符合：\(2 + 3 = 5 \neq -5\)。因此，答案错误：丢失了负号。
步骤 3. 寻找正确的数对：需要积为 6 且和为 \(-5\) 的数——它们是 \(-2\) 和 \(-3\)（因为 \(q > 0\) 且 \(p > 0\)，所以两个根都是负数）。
步骤 4. 代入验证。 \((-2)^2 + 5\cdot(-2) + 6 = 4 - 10 + 6 = 0\)；\((-3)^2 + 5\cdot(-3) + 6 = 9 - 15 + 6 = 0\)。
答案： 正确的根是 \(x_1 = -2\), \(x_2 = -3\)。
使用韦达定理时的常见错误
-
丢失和中的负号：写成 $x_1 + x_2 = p$ 而不是 $x_1 + x_2 = -p$。
负号只出现在和中，积取原符号：\(x_1 + x_2 = -p\), \(x_1 x_2 = q\)。用简单方程 \(x^2 - 5x + 6 = 0\) 检查：这里 \(p = -5\)，根的和是 5，根确实是 2 和 3。
-
将 $-p$ 和 $q$ 的公式应用于非标准方程：对于 $2x^2 - 9x + 4 = 0$，说“和为 9，积为 4”。
只要 \(a \neq 1\)，就使用一般形式的公式：\(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = \dfrac{9}{2}\)，\(x_1 x_2 = \dfrac{c}{a} = 2\)。这里的根是 4 和 \(\tfrac{1}{2}\)，而不是 4 和 1。或者，先将整个方程除以 \(a\)。
-
在检查判别式之前就试凑根：对于 $x^2 + x + 1 = 0$，尝试寻找和为 $-1$ 且积为 $1$ 的数对。
首先要确保有根：\(D = 1 - 4 = -3 < 0\)，没有实根，试凑不可能。韦达定理仅在 \(D \ge 0\) 时适用。
-
仅根据积试凑根，而不检查和：对于 $x^2 - 8x + 12 = 0$，取 3 和 4，因为它们的积是 12。
必须同时检查两个关系式。对于 \(x^2 - 8x + 12 = 0\)，积为 12 的数对是 (1; 12), (2; 6), (3; 4)，而和为 8 的只有数对 2 和 6。验证：\(2^2 - 8\cdot 2 + 12 = 0\) 和 \(6^2 - 8\cdot 6 + 12 = 0\)。
-
根据根构造方程时，将 $p$ 等于和：对于根 2 和 5，写出 $x^2 + 7x + 10 = 0$。
系数 \(p\) 等于和的相反数：\(p = -(2 + 5) = -7\), \(q = 2\cdot 5 = 10\)，即 \(x^2 - 7x + 10 = 0\)。代入验证：\(2^2 - 7\cdot 2 + 10 = 0\), \(5^2 - 7\cdot 5 + 10 = 0\)。
-
认为韦达定理只适用于整数根，因此不用于检查答案。
关系式 \(x_1 + x_2 = -p\) 和 \(x_1 x_2 = q\) 对任何实根——整数、分数或无理数——都成立。只是口算试凑对整数方便，而对于其他类型的根，韦达定理仍然是检查判别式法求得答案的快速方法。
问答
用简单的话怎么表述韦达定理？
如果标准二次方程 \(x^2 + px + q = 0\) 有根，那么它们的和等于第二系数的相反数，积等于常数项：\(x_1 + x_2 = -p\) 和 \(x_1 x_2 = q\)。
方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 的根的和与积是多少？
对于一般形式的方程，根的和等于 \(-\dfrac{b}{a}\)，积等于 \(\dfrac{c}{a}\)。这些公式是通过将整个方程除以 \(a\) 从标准型推导出来的。
韦达逆定理与正定理有何区别？
正定理从根推导系数：已知根，我们得到和 \(-p\) 和积 \(q\)。逆定理则相反：如果一对数给出所需的和与积，那么这些数就是方程的根。正是逆定理允许我们通过试凑法解方程。
如何用韦达定理试凑根？
将方程化为 \(x^2 + px + q = 0\) 的形式，确保 \(D \ge 0\)，写出 \(x_1 + x_2 = -p\) 和 \(x_1 x_2 = q\)，然后尝试分解 \(q\) 的因子对，选择和等于 \(-p\) 的那对。例如，对于 \(x^2 + 6x + 8 = 0\)，需要积为 8 且和为 \(-6\) 的数——它们是 \(-2\) 和 \(-4\)。
当二次项系数不为 1 时，韦达定理是否仍然有效？
是的，但形式为一般形式：\(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}\)，\(x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}\)。简洁的公式 \(-p\) 和 \(q\) 只对标准方程有效，因此当 \(a \neq 1\) 时，方程首先需要除以 \(a\)。
如果韦达定理的根试凑不出来怎么办？
这意味着根不是整数，或者根本不存在。计算判别式：当 \(D < 0\) 时，没有实根；当 \(D \ge 0\) 时，用公式 \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\) 找到根，然后再用韦达定理检查答案。
如何不解方程就确定根的符号？
通过 \(p\) 和 \(q\) 的符号（当 \(D \ge 0\) 时）：如果 \(q > 0\) 且 \(p < 0\) —— 两个根都是正数；如果 \(q > 0\) 且 \(p > 0\) —— 两个根都是负数；如果 \(q < 0\) —— 根的符号相反；如果 \(q = 0\) —— 其中一个根是零。
韦达定理在哪个年级学习？
八年级代数课，紧随二次方程和判别式之后。之后会用于将二次三项式分解为因式 \(x^2 + px + q = (x - x_1)(x - x_2)\)，研究带参数的根，以及在 OGE 和 ЕГЭ 考试题目中。
