數字 \(a\) 的算術平方根是其平方等於 \(a\) 的非負數： \(\sqrt{25} = 5\)。只能從非負數中提取平方根，但根的性質能將複雜的表達式簡化為簡短的表達式。本頁包含定義和定義域，所有帶公式的平方根性質，1到20的平方根表，提取平方根和提出因子的方法，已解說的範例，常見錯誤和互動練習器。
什麼是數字的平方根
數字 \(a\) 的平方根是其平方等於 \(a\) 的數字。提取平方根和平方是互逆操作：從 \(7^2 = 49\) 可直接得出 49 的平方根是 7。
但正數恰好有兩個平方根，它們僅符號不同：\(5^2 = 25\) 和 \((-5)^2 = 25\)，即 25 的平方根是 5 和 -5。為了使符號 \(\sqrt{\phantom{a}}\) 表示一個唯一的數字，約定：符號 \(\sqrt{\phantom{a}}\) 只表示非負的根。這就是算術平方根。
這個符號有其名稱：符號 \(\sqrt{\phantom{a}}\) 是根號，而其下的數字或表達式是被開方數。
算術平方根：定義和定義域
非負數 \(a\) 的算術平方根是指一個非負數，它的平方等於 \(a\)。記作 \(\sqrt{a}\)，讀作「根號 a」。
定義中包含兩個條件，兩者同等重要：
- 被開方數非負：\(a \ge 0\)；
- 根的值非負：\(\sqrt{a} \ge 0\)。
由此我們得到：\(\sqrt{25} = 5\)，而不是 \(-5\)；\(\sqrt{0} = 0\)；而 \(\sqrt{-9}\) 在實數範圍內沒有意義 — 沒有數字的平方是負數。
第一個條件定義了帶根號表達式的定義域。例如，\(\sqrt{x-7}\) 在 \(x - 7 \ge 0\) 時有意義，即 \(x \ge 7\)：任何較小的 \(x\) 值都會使根號下出現負數。
從定義還可得出 \((\sqrt{a})^2 = a\) 在 \(a \ge 0\) 時成立：將根號的值平方會得到被開方數。即使我們無法精確計算根的值，這個公式也適用：\((\sqrt{31})^2 = 31\)。
平方根表：1到20的數字平方
當被開方數是完全平方數時，平方根才能整除。因此，平方表也可以作為平方根表使用：可以雙向閱讀 — \(14^2 = 196\)，所以 \(\sqrt{196} = 14\)。
該表不僅對整數有用：
- 小數：\(\sqrt{0{,}64} = 0{,}8\)，因為 \(0{,}8^2 = 0{,}64\)；
- 分數：\(\sqrt{\dfrac{16}{81}} = \dfrac{4}{9}\) — 分別對分子和分母開平方；
- 整十、整百數：\(\sqrt{2500} = 50\)，因為 \(2500 = 25 \cdot 100\)，且每個因子的平方根都已知。
平方根的性質
平方根的性質允許我們計算表達式，而無需單獨計算每個根，並簡化答案。
乘積的平方根等於根的乘積：\(\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\)，條件是 \(a \ge 0\) 和 \(b \ge 0\)。例如，\(\sqrt{9 \cdot 16} = 3 \cdot 4 = 12\) — 與 \(\sqrt{144}\) 的結果相同。
商的平方根等於根的商：\(\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\)，條件是 \(a \ge 0\) 和 \(b > 0\)。例如，\(\sqrt{\dfrac{36}{49}} = \dfrac{6}{7}\)。條件 \(b > 0\) 是嚴格的：不能除以零。
平方的平方根等於絕對值：\(\sqrt{a^2} = |a|\)，這對任何數字 \(a\) 都成立。這是整個主題中最主要的細節。如果 \(a \ge 0\)，則沒有變化：\(\sqrt{7^2} = 7\)。但如果 \(a\) 是負數，符號會「變直」：\(\sqrt{(-6)^2} = \sqrt{36} = 6\)，而不是 \(-6\) — 因為算術平方根不可能是負數。
根的平方會得到被開方數：\((\sqrt{a})^2 = a\)，條件是 \(a \ge 0\)。
但是對於和與差，不存在類似的性質：和的平方根不等於根的和。這是該主題中最常見的錯誤，詳見下文。
| 性質與條件 | 範例 |
|---|---|
| √(a · b) = √a · √b當 a ≥ 0 且 b ≥ 0 | √(4 · 25) = 2 · 5 = 10 |
| √(a / b) = √a / √b當 a ≥ 0 且 b > 0 | √(81 / 16) = 9 / 4 |
| √(a²) = |a|對任意 a | √((−12)²) = 12 |
| (√a)² = a當 a ≥ 0 | (√13)² = 13 |
| √(a² · b) = |a| · √b當 b ≥ 0 | √(25 · 3) = 5√3 |
如何從數字中提取平方根
計算器並非總是在手邊，而學校的作業幾乎總是設計成可以提取平方根的。步驟如下。
- 查平方表。如果數字在表中，答案就出來了：\(\sqrt{289} = 17\)。
- 分離整數因子。對於帶有零的數字，方便分離出 \(100\)、\(10\,000\) 等：\(\sqrt{6400} = \sqrt{64 \cdot 100} = 8 \cdot 10 = 80\)。
- 分解為質因數。這是一種通用方法：\(576 = 2^6 \cdot 3^2\)，將指數除以二得到 \(\sqrt{576} = 2^3 \cdot 3 = 24\)。
- 將小數轉換為分數。\(\sqrt{1{,}44} = \sqrt{\dfrac{144}{100}} = \dfrac{12}{10} = 1{,}2\)。同時這也能防止丟失位數。
- 如果不是完全平方數 — 則平方根是無理數。這時可以保留符號（就寫 \(\sqrt{30}\)），或者估計在兩個相鄰的完全平方數之間。
驗證只需一秒鐘：將得到的數字平方，看是否回到被開方數。\(24^2 = 576\) — 正確。
從根號中提出因子
根號很少保持「原始」狀態 — 我們會將所有可以提取的因子提出來。利用性質 \(\sqrt{a^2 b} = |a| \sqrt{b}\)，條件是 \(b \ge 0\)：我們尋找被開方數的最大平方因子。
- \(\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}\)；
- \(\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}\)；
- \(\sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = 10\sqrt{3}\)。
反向操作是將因子移入根號：\(a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}\)，條件是 \(a \ge 0\)。例如，\(3\sqrt{5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}\)。
對於負因子需要小心：負號不能移入根號，必須留在外面。正確的寫法是 \(-2\sqrt{3} = -\sqrt{12}\)，而不是 \(\sqrt{12}\)。
為什麼需要這樣做：提出因子後，具有相同被開方數的根可以合併為同類項，然後可以相加。而將因子移入根號 — 是比較兩個帶根號的表達式最快的方法。
無法提取的平方根等於多少
如果被開方數不是完全平方數，則平方根是無理數：其小數表示是無限不循環的。例如，\(\sqrt{2} \approx 1{,}4142\ldots\)，精確值只能用符號 \(\sqrt{2}\) 表示。只有在題目要求時才寫出近似值。
可以在沒有計算器的情況下估計這樣的根：找到兩個相鄰的完全平方數，被開方數介於它們之間。比較法則適用：對於 \(a \ge 0\) 和 \(b \ge 0\)，從 \(a < b\) 可得出 \(\sqrt{a} < \sqrt{b}\) — 被開方數越大，根也越大。
帶平方根的計算範例
範例 1. 計算帶根號的表達式的值
計算 \(\sqrt{121} - \sqrt{0{,}36} + \sqrt{\dfrac{9}{25}}\)。
步驟 1。\(\sqrt{121} = 11\)，因為 \(11^2 = 121\)。
步驟 2。\(\sqrt{0{,}36} = 0{,}6\)，因為 \(0{,}6^2 = 0{,}36\)。
步驟 3。分數的平方根分別對分子和分母開根：\(\sqrt{\dfrac{9}{25}} = \dfrac{3}{5} = 0{,}6\)。
步驟 4。相加：\(11 - 0{,}6 + 0{,}6 = 11\)。
答案：11。
範例 2. 乘積的平方根
計算 \(\sqrt{8} \cdot \sqrt{18}\)。
步驟 1。單獨計算這兩個根無法得到整數，所以將它們合併成一個：\(\sqrt{8} \cdot \sqrt{18} = \sqrt{8 \cdot 18}\)。
步驟 2。計算根號下的乘積：\(8 \cdot 18 = 144\)。
步驟 3。\(\sqrt{144} = 12\)。
另一種方法 — 提前提出因子：\(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\) 和 \(\sqrt{18} = 3\sqrt{2}\)，那麼 \(2\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2} = 6 \cdot (\sqrt{2})^2 = 6 \cdot 2 = 12\)。結果一致。
答案：12。
範例 3. 通過分解因子提取平方根
計算 \(\sqrt{576}\) 和 \(\sqrt{6400}\)。
步驟 1。數字 576 不在平方表中，所以將它分解為質因數：\(576 = 2^6 \cdot 3^2\)。
步驟 2。將指數除以二：\(\sqrt{2^6 \cdot 3^2} = 2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24\)。
步驟 3. 驗證。\(24^2 = 576\) — 正確。
步驟 4。對於數字 6400，分離整數因子更方便：\(\sqrt{6400} = \sqrt{64 \cdot 100} = 8 \cdot 10 = 80\)。驗證：\(80^2 = 6400\)。
答案：\(\sqrt{576} = 24\)，\(\sqrt{6400} = 80\)。
範例 4. 提出因子並合併同類項
簡化 \(2\sqrt{98} - \sqrt{300} + \sqrt{72}\)。
步驟 1。從每個根號中提出因子：\(\sqrt{98} = \sqrt{49 \cdot 2} = 7\sqrt{2}\)，所以 \(2\sqrt{98} = 14\sqrt{2}\)。
步驟 2。\(\sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = 10\sqrt{3}\)。
步驟 3。\(\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}\)。
步驟 4。只有被開方數相同的根才能合併：\(14\sqrt{2} + 6\sqrt{2} = 20\sqrt{2}\)，而帶有 \(\sqrt{3}\) 的項單獨保留。
答案：\(20\sqrt{2} - 10\sqrt{3}\)。
範例 5. 帶變量的平方的平方根
簡化 \(\sqrt{(x-4)^2}\) 在 \(x < 4\) 的條件下。
步驟 1。根據平方的平方根性質 \(\sqrt{(x-4)^2} = |x-4|\) — 直接寫絕對值，而不是 \(x - 4\)。
步驟 2。根據條件展開絕對值。如果 \(x < 4\)，則差值 \(x - 4\) 是負數，而負數的絕對值是其相反數：\(|x-4| = 4 - x\)。
步驟 3. 驗證。取 \(x = 1\)：左邊 \(\sqrt{(1-4)^2} = \sqrt{9} = 3\)，右邊 \(4 - 1 = 3\) — 相符。
答案：\(4 - x\)。作為對比，在 \(x \ge 4\) 的條件下，答案將是 \(x - 4\)。
範例 6. 比較帶根號的表達式
比較 \(3\sqrt{5}\) 和 \(5\sqrt{2}\)。
步驟 1。兩個數字都是正數，所以將因子移入根號：\(3\sqrt{5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}\)。
步驟 2。\(5\sqrt{2} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{50}\)。
步驟 3。比較被開方數：\(45 < 50\)，被開方數越大，根也越大。
答案：\(3\sqrt{5} < 5\sqrt{2}\)。
處理平方根的常見錯誤
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寫成 $\sqrt{a^2} = a$，忘記了絕對值。
正確的等式是 \(\sqrt{a^2} = |a|\)。對於負數，這點至關重要：\(\sqrt{(-13)^2} = \sqrt{169} = 13\)，而不是 \(-13\)。算術平方根不可能是負數，所以根號下的符號會「變直」。
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認為和的平方根等於根的和：$\sqrt{9 + 16} = 3 + 4$。
沒有這樣的性質。首先計算根號下的運算：\(\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)，而不是 7。只有乘積和商才有性質：\(\sqrt{ab} = \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\) 和 \(\sqrt{a/b} = \sqrt{a}/\sqrt{b}\)。
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回答 $\sqrt{49} = \pm 7$。
\(\sqrt{49} = 7\) — 算術平方根總是唯一的且非負。兩個值出現在另一個問題中：方程 \(x^2 = 49\) 的根是 \(x = 7\) 和 \(x = -7\)。不能混淆根的符號和方程的解。
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寫成 $\sqrt{-16} = -4$，認為「負負得正」。
根號下不能是負數：\((-4)^2 = 16\)，而不是 \(-16\)，所以 \(\sqrt{-16}\) 在實數範圍內沒有意義。而表達式 \(-\sqrt{16} = -4\) 是完全正確的 — 負號在根號外面，而不是裡面。
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將負因子移入根號：$-2\sqrt{3} = \sqrt{12}$。
規則 \(a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}\) 只在 \(a \ge 0\) 時有效。負號留在外面：\(-2\sqrt{3} = -\sqrt{12}\)。用符號驗證：\(-2\sqrt{3} \approx -3{,}46\)，而 \(\sqrt{12} \approx 3{,}46\) — 兩個數字符號相反。
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處理小數時丟失位數：$\sqrt{0{,}04} = 0{,}02$。
通過反向平方驗證：\(0{,}02^2 = 0{,}0004\)，不符。正確的是 \(\sqrt{0{,}04} = 0{,}2\)，因為 \(0{,}2^2 = 0{,}04\)。可靠的方法是轉換為分數：\(\sqrt{\dfrac{4}{100}} = \dfrac{2}{10} = 0{,}2\)。
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認為根總是小於數字本身。
這只對大於一的數字才成立。在 0 到 1 的區間內情況相反：\(\sqrt{0{,}25} = 0{,}5\)，而 \(0{,}5\) 大於 \(0{,}25\)。對於 0 和 1，根等於數字本身。
問答
用簡單的話說，什麼是算術平方根？
它是一個非負數，該數的平方等於被開方數。記作 \(\sqrt{a}\)，其中被開方數必須是非負數：\(a \ge 0\)。例如，\(\sqrt{64} = 8\)，因為 \(8 \ge 0\) 且 \(8^2 = 64\)。
平方根和算術平方根有什麼區別？
正數有兩個平方根 — 符號相反。算術平方根僅指其中非負的那一個，這也是符號 \(\sqrt{\phantom{a}}\) 所表示的。因此 \(\sqrt{25} = 5\)，儘管方程 \(x^2 = 25\) 有兩個根：5 和 \(-5\)。
如何在沒有計算器的情況下提取數字的平方根？
首先查閱平方表。如果數字不在表中 — 將其分解為因子並分離出完全平方數：\(784 = 16 \cdot 49\)，所以 \(\sqrt{784} = 4 \cdot 7 = 28\)。始終通過反向運算驗證答案：\(28^2 = 784\)。
可以從負數中提取平方根嗎？
在實數範圍內 — 不可以：任何數字的平方都是非負的，因此表達式 \(\sqrt{-9}\) 沒有意義。這也是定義域的條件：例如，\(\sqrt{x-7}\) 僅在 \(x \ge 7\) 時存在。
數字的平方根等於多少？
等於該數字的絕對值：\(\sqrt{a^2} = |a|\)。對於非負數 \(a\)，結果是它本身，對於負數 \(a\) — 是其相反數：\(\sqrt{(-6)^2} = 6\)。
如何從根號中提出因子？
找到被開方數的最大平方因子，並應用性質 \(\sqrt{a^2 b} = |a|\sqrt{b}\)。例如，\(\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}\)。反向操作是將因子移入根號：\(3\sqrt{5} = \sqrt{45}\)。
2 的平方根等於多少？
數字 \(\sqrt{2}\) 是無理數：其小數表示無限不循環，\(\sqrt{2} \approx 1{,}4142\)。不存在分數形式的精確值，因此答案中通常保留符號 \(\sqrt{2}\)，只有在題目要求時才進行近似。
如何比較兩個帶根號的數字，而不計算它們？
將因子移入根號，然後比較被開方數：被開方數越大，根也越大。例如，\(\sqrt{17}\) 和 4：因為 \(4 = \sqrt{16}\) 且 \(17 > 16\)，所以 \(\sqrt{17} > 4\)。
什麼時候學習平方根？
在八年級的代數課上：首先學習算術平方根的定義及其性質，然後是帶根號表達式的轉換和方程 \(x^2 = a\) 的求解。之後在判別式公式以及中考和高考題目中會再次遇到根號。
