算術數列是一種數列，其中每一項都比前一項大一個固定的數 \(d\)（稱為公差）。任何一項都可以用公式 \(a_n = a_1 + (n-1)d\) 求得，而前 \(n\) 項的總和則使用公式 \(S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2}\cdot n\)。本頁面詳細解析了定義與公差、兩種總和公式、特性性質、判斷某數是否屬於數列、與幾何數列的區別、典型的會考題型以及用於自我檢測的互動式練習。
什麼是算術數列
算術數列是一種數列，其中每一項都是透過在前一項加上同一個數而得到的。這個數稱為公差，通常用字母 \(d\) 表示。
單一公式定義：數列 \(a_1, a_2, a_3, \dots\) 被稱為算術數列，若對於任何項數 \(n\) 均滿足等式
以數列 3, 7, 11, 15, 19, … 為例。首項 \(a_1 = 3\)，公差 \(d = 4\)：每一項都比前一項大 4。因此下一項是 23，而 3 之前（若向後推）則是負 1。
整個數列僅由兩個數決定——首項 \(a_1\) 與公差 \(d\)。只要知道這兩個數，就能求出任意項、計算任意前 n 項的總和，並檢查某個數是否出現在數列中。數列通常記為 \((a_n)\)，其項記為 \(a_1, a_2, a_3\) 等，其中下標永遠代表項數，而非數值。
算術數列的公差：如何求 d
公差永遠是 後項減前項：
減法的順序很重要：如果反過來減，符號會相反。對於數列 20, 17, 14, 11, 8，公差為 \(17 - 20 = -3\)，而非 \(+3\)。
\(d\) 的符號決定了數列的行為：
- \(d > 0\) — 數列遞增，數值變大；
- \(d < 0\) — 數列遞減，數值變小；
- \(d = 0\) — 所有項都相同，例如 6, 6, 6, 6, … 這也是算術數列，稱為常數數列。
若已知不同項數的兩項，公差可由公式求得
範例。 設 \(a_4 = 30\) 且 \(a_{10} = 6\)。則 \(d = \dfrac{6 - 30}{10 - 4} = \dfrac{-24}{6} = -4\)，首項為 \(a_1 = a_4 - 3d = 30 + 12 = 42\)。檢查數列開頭：42, 38, 34, 30 — 第四項確實是 30。
公差不一定是整數：數列 1; 1.5; 2; 2.5 的公差為 0.5，這也是完整的算術數列。
算術數列第 n 項公式
本主題的核心公式可以讓你不用列出所有前項，直接找到任意項：
為什麼是 \(n - 1\)？為了從首項走到第 \(n\) 項，公差加的次數比項數少一次：到第二項走一步，到第三項走兩步，到第二十項走十九步。
範例。 對於數列 3, 7, 11, 15, 19, …，\(a_1 = 3\) 且 \(d = 4\)，因此
這種簡化寫法非常方便：一眼就能看出 \(a_{20} = 4\cdot 20 - 1 = 79\)，而 \(a_{100} = 399\)。同時它也暗示了公差：任何算術數列的第 \(n\) 項公式都是線性的，形式為 \(a_n = dn + c\)，其中 \(n\) 前面的係數就是公差。
有時首項未知，但已知其他項。這時通用公式為：\(a_n = a_k + (n - k)d\)。
算術數列的特性性質
除了首項外，數列中的任何一項都等於其相鄰兩項的算術平均數：
這正是它被稱為「算術」數列的原因。此等式也適用於反向推導：若數列中每一項都等於其相鄰項的半和，則該數列為算術數列。此性質稱為算術數列的「判別法」，在題目中常用來證明三個數構成算術數列。
範例。 數 7, \(x\), 23 是算術數列的三個連續項。則 \(x = \dfrac{7 + 23}{2} = 15\)。檢查：7, 15, 23 — 公差均為 8，完全符合。
此性質的另一種方便寫法：\(2a_n = a_{n-1} + a_{n+1}\)，即 中間項的兩倍等於兩端項之和。當項數以代數式表示時，這種形式更容易應用。
算術數列前 n 項總和
總和 \(S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n\) 可由以下兩種公式之一計算：
第一個公式的靈感來自高斯（Gauss）在小學時計算 1 到 100 之和的方法。將首項與末項相加，次項與倒數第二項相加，以此類推，每一對的和都相同。因此 \(1 + 2 + \dots + 100 = \dfrac{1 + 100}{2}\cdot 100 = 5050\)。
第二個公式是由第一個公式代入 \(a_n = a_1 + (n-1)d\) 得到的——當末項未知且不想額外計算時使用。
範例。 計算數列 3, 7, 11, 15, 19, … 的前二十項總和。
使用第一個公式：\(a_{20} = 79\)，因此 \(S_{20} = \dfrac{3 + 79}{2}\cdot 20 = 41\cdot 20 = 820\)。
使用第二個公式：\(S_{20} = \dfrac{2\cdot 3 + 19\cdot 4}{2}\cdot 20 = \dfrac{6 + 76}{2}\cdot 20 = 41\cdot 20 = 820\)。
答案一致——這就是驗算的最佳方式。
如何判斷某數是否屬於算術數列
「某數是否為數列的一項」的問題可以透過方程式解決。該數屬於數列的充要條件是其項數 \(n\) 必須為自然數：1, 2, 3 等。若 \(n\) 為分數或非正數，則表示該數不屬於此數列。
範例 1. 數 99 是否屬於數列 3, 7, 11, 15, 19, …？此數列的第 \(n\) 項公式為 \(a_n = 4n - 1\)，因此解 \(4n - 1 = 99\)，得到 \(4n = 100\) 且 \(n = 25\)。項數為自然數，表示 99 在數列中，是第 25 項。
範例 2. 那麼 2026 呢？由 \(4n - 1 = 2026\) 得到 \(4n = 2027\) 且 \(n = 506.75\)。項數為分數，因此 2026 不是此數列的一項。
口算小技巧：對於公式為 \(a_n = 4n - 1\) 的數列，所有項除以 4 的餘數皆為 3。數 2026 除以 4 餘 2，因此它不在數列中。
算術數列的典型會考題型
在數學會考中，數列每年都會出現，幾乎所有題目都歸納為四種情境。
根據項數求項值。 已知 \(a_1\) 和 \(d\)（或前幾項）— 代入 \(a_n = a_1 + (n-1)d\)。
根據項值求項數。 已知某數 — 將其與第 \(n\) 項公式相等並解出 \(n\)。
求總和。 使用兩種公式之一計算 \(S_n\)；若缺少 \(a_n\) — 先求出它。
求項數。 從第 \(n\) 項公式可得方便的推論：\(n = \dfrac{a_n - a_1}{d} + 1\).
另外還有文字應用題，將數列隱藏在故事中。例如：工人第一天製作 12 個零件，之後每天比前一天多製作 3 個；15 天內他總共製作多少零件？這裡 \(a_1 = 12\), \(d = 3\), \(n = 15\)。計算末項：\(a_{15} = 12 + 14\cdot 3 = 54\)。則 \(S_{15} = \dfrac{12 + 54}{2}\cdot 15 = 33\cdot 15 = 495\) 個零件。
這類題目的主要建議：先列出已知條件 (\(a_1\), \(d\), \(n\), \(a_n\), \(S_n\)) 與待求項目。考試中一半的錯誤不是因為公式，而是因為混淆了項數與項值。
算術數列與幾何數列：區別何在
兩者都是決定下一項的規則。區別在於運算：算術數列是加上同一個數 \(d\)，幾何數列是乘以同一個數 \(q\)（稱為公比）。
因此行為截然不同。算術數列均勻增長，像「階梯」：3, 7, 11, 15 — 每一步加 4。幾何數列呈指數增長：3, 6, 12, 24 — 每一步乘以 2，十步後數值將超過一千五百。
判斷數列類型很簡單：計算相鄰項的差與比值。差相同為算術數列，比值相同為幾何數列。若兩者皆不符合，則僅為一般數列：例如 1, 4, 9, 16 — 這是自然數的平方，不是數列（差值 3, 5, 7 不同，比值也不同）。
在學校課程中，這兩個主題在 9 年級是連續教學的，因此公式容易混淆。記住核心：算術數列公差 \(d\) 是加減的，幾何數列公比 \(q\) 是乘除的。其餘皆為推論。
算術數列解題範例
範例 1. 根據兩項求首項與公差
已知。 \(a_3 = 14, a_7 = 30\)。求 \(a_1, d\) 與 \(a_{20}\)。
步驟 1. 從第三項到第七項剛好走了 \(7 - 3 = 4\) 步，每步加 \(d\)。因此 \(a_7 = a_3 + 4d\)，即 \(30 = 14 + 4d\)，得到 \(4d = 16\) 且 \(d = 4\)。
步驟 2. 向後推回首項：\(a_1 = a_3 - 2d = 14 - 8 = 6\)。
步驟 3. 寫出第 \(n\) 項公式：\(a_n = 6 + (n-1)\cdot 4 = 4n + 2\)。
步驟 4. 計算目標項：\(a_{20} = 4\cdot 20 + 2 = 82\)。
檢查。 列出數列開頭：6, 10, 14, 18, 22, 26, 30。第三項 14，第七項 30 — 符合。
答案： \(a_1 = 6, d = 4, a_{20} = 82\)。
範例 2. 前 30 項總和（兩種公式）
已知。 數列 \(-5, -2, 1, 4, \dots\) 求 \(S_{30}\)。
步驟 1. 確定參數：\(a_1 = -5, d = -2 - (-5) = 3\)。
步驟 2. 求第三十項：\(a_{30} = -5 + 29\cdot 3 = -5 + 87 = 82\)。
步驟 3. 使用第一個公式計算：\(S_{30} = \dfrac{-5 + 82}{2}\cdot 30 = \dfrac{77}{2}\cdot 30 = 77\cdot 15 = 1155\)。
步驟 4. 使用第二個公式驗算。 先算分子：\(2\cdot(-5) + 29\cdot 3 = -10 + 87 = 77\)。
接著同第三步：\(S_{30} = \dfrac{77}{2}\cdot 30 = 1155\)。
兩種路徑都得到 1155 — 說明計算正確。
答案： \(S_{30} = 1155\)。
範例 3. 所有 7 的倍數之二位數總和
題目。 求所有能被 7 整除的二位數之總和。
步驟 1. 這些數本身構成一個公差為 7 的算術數列。最小的二位數倍數是 14，最大是 98（下一個 105 已是三位數）。得到 \(a_1 = 14, d = 7, a_n = 98\)。
步驟 2. 計算項數：\(n = \dfrac{98 - 14}{7} + 1 = \dfrac{84}{7} + 1 = 12 + 1 = 13\)。
步驟 3. 計算總和：\(S_{13} = \dfrac{14 + 98}{2}\cdot 13 = \dfrac{112}{2}\cdot 13 = 56\cdot 13 = 728\)。
步驟 4. 使用第二個公式驗算。 \(S_{13} = \dfrac{2\cdot 14 + 12\cdot 7}{2}\cdot 13 = \dfrac{28 + 84}{2}\cdot 13 = 56\cdot 13 = 728\)。
答案： 728。
範例 4. 檢查某數是否屬於數列
題目。 數 145 是否為數列 \(7, 12, 17, \dots\) 的一項？數 142 呢？
步驟 1. 數列參數：\(a_1 = 7, d = 5\)，因此 \(a_n = 7 + (n-1)\cdot 5 = 5n + 2\)。
步驟 2. 檢查 145：方程式 \(5n + 2 = 145\) 得到 \(5n = 143\) 且 \(n = 28.6\)。項數為分數，因此 145 不是數列的一項。
步驟 3. 檢查 142：\(5n + 2 = 142\)，得到 \(5n = 140\) 且 \(n = 28\)。項數為自然數 — 該數屬於數列。
步驟 4. 代入驗算。 \(a_{28} = 7 + 27\cdot 5 = 7 + 135 = 142\)。正確。
答案： 145 不屬於數列；142 屬於且為第 28 項。
範例 5. 含有代數式的特性性質
題目。 當 \(x\) 為何值時，數 \(x - 3, 2x + 1, 4x - 1\) 為算術數列的三個連續項？
步驟 1. 根據特性性質，中間項的兩倍等於兩端項之和：
步驟 2. 展開括號：\(4x + 2 = 5x - 4\)。
步驟 3. 解方程式：\(2 + 4 = 5x - 4x\)，即 \(x = 6\)。
步驟 4. 檢查。 代入 \(x = 6\)：首項 \(6 - 3 = 3\)，第二項 \(2\cdot 6 + 1 = 13\)，第三項 \(4\cdot 6 - 1 = 23\)。差值：\(13 - 3 = 10\) 且 \(23 - 13 = 10\) — 一致。
答案： \(x = 6\)，數列為 3, 13, 23，公差為 10。
範例 6. 數列中有多少負項
題目。 數列 \(-21, -18, -15, \dots\) 有多少個負項？
步驟 1. 參數：\(a_1 = -21, d = 3\)。第 \(n\) 項公式：\(a_n = -21 + (n-1)\cdot 3 = 3n - 24\)。
步驟 2. 寫出「項為負」的條件：\(3n - 24 < 0\)，得到 \(3n < 24\) 且 \(n < 8\)。
步驟 3. 項數為自然數，因此 \(n = 1, 2, \dots, 7\) — 總共 七 項。
步驟 4. 檢查邊界。 \(a_7 = 3\cdot 7 - 24 = -3\) — 為負。\(a_8 = 3\cdot 8 - 24 = 0\) — 0 不是負數，因此第八項不計入。\(a_9 = 3\) — 為正。
答案： 七個負項。
算術數列常見錯誤
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在第 n 項公式中寫成 $a_n = a_1 + nd$ 而非 $a_n = a_1 + (n-1)d$。
從首項到第 \(n\) 項走的步數比項數少 1。對於數列 \(5, 9, 13, \dots\)，第十項為 \(a_{10} = 5 + 9\cdot 4 = 41\)，而非 45。快速檢查：代入 \(n = 1\) — 應該剛好得到 \(a_1\)。
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公差算反：$d = a_1 - a_2$，導致符號相反。
公差為後項減前項：\(d = a_2 - a_1\)。對於數列 \(40, 34, 28, \dots\)，正確為 \(d = 34 - 40 = -6\)。負號不是錯誤，而是遞減數列的特徵。
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在總和公式中忘記除以 2 或乘以 $n$：寫成 $S_n = (a_1 + a_n)\cdot n$。
總和是「首項加末項」的對數，對數為 \(\dfrac{n}{2}\)，因此必須除以 2。對於數列 \(2, 9, 16, \dots\)，\(a_{10} = 2 + 9\cdot 7 = 65\) 且 \(S_{10} = \dfrac{2 + 65}{2}\cdot 10 = 67\cdot 5 = 335\)，而非 670。
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檢查某數是否屬於數列時，得到 $n = 0$ 或負數，卻仍回答「屬於」。
項數必須是自然數，從 1 開始計數。例如，對於數列 \(10, 14, 18, \dots\)，方程式 \(10 + 4(n-1) = 6\) 得到 \(n = 0\)，表示 6 不在數列中：該數若存在應在首項之前。
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混淆項值與項數：將項值代入需要項數的地方，反之亦然。
\(a_n\) 是數值，\(n\) 是序號。若題目問「第幾項等於 142」，答案應為 28，而非 142。好習慣：解題前先列出「已知：\(a_1 = \dots, d = \dots\)，求：\(n\)」。
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認為數列必須遞增且由整數組成。
公差可以是負數 (\(20, 17, 14, \dots\))、分數 (1; 1.5; 2; 2.5) 甚至為零 (8, 8, 8, …)。這三種情況都是合法的算術數列，所有公式皆適用。
問與答
什麼是算術數列（簡單說明）？
這是一種數列，其中每一項都是透過在前一項加上同一個數 \(d\)（公差）得到的。例如 3, 7, 11, 15, 19, … 是首項為 3、公差為 4 的數列。
算術數列的第 n 項公式是什麼？
\(a_n = a_1 + (n-1)d\)，其中 \(a_1\) 是首項，\(d\) 是公差，\(n\) 是項數。若已知非首項的某項，則使用通用公式 \(a_n = a_k + (n-k)d\)。
如何求算術數列的公差？
用任一項減去前一項：\(d = a_n - a_{n-1}\)。若已知不同項數的兩項，使用 \(d = \dfrac{a_k - a_m}{k-m}\)。例如 \(a_5 = 23\) 且 \(a_9 = 43\)，則 \(d = \dfrac{43-23}{9-5} = 5\)，首項為 \(23 - 4\cdot 5 = 3\)。
如何求算術數列的首項？
由第 \(n\) 項公式推導：\(a_1 = a_n - (n-1)d\)。例如 \(a_{12} = 60\) 且 \(d = 4\)，則 \(a_1 = 60 - 11\cdot 4 = 60 - 44 = 16\)。檢查：\(16 + 11\cdot 4 = 60\)。
如何求算術數列的前 n 項總和？
若已知末項，使用 \(S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2}\cdot n\)；若只已知首項與公差，使用 \(S_n = \dfrac{2a_1 + (n-1)d}{2}\cdot n\)。兩者結果相同，因此第二個公式常用來驗算第一個。
如何求算術數列的項數？
由第 \(n\) 項公式推導：\(n = \dfrac{a_n - a_1}{d} + 1\)。例如在數列 \(8, 13, 18, \dots, 98\) 中，公差為 5，因此 \(n = \dfrac{98-8}{5} + 1 = 18 + 1 = 19\) 項。
算術數列與幾何數列有何不同？
算術數列是加上公差 \(d\)，幾何數列是乘以公比 \(q\)。第 \(n\) 項公式分別為 \(a_n = a_1 + (n-1)d\) 與 \(b_n = b_1 q^{\,n-1}\)。判斷類型時，計算相鄰項的差與比值：差相同為算術數列，比值相同為幾何數列。
公差可以是負數或零嗎？
可以。當 \(d < 0\) 時數列遞減（例如 20, 17, 14, 11），當 \(d = 0\) 時所有項相同（6, 6, 6, …）— 這是常數數列。公差也可以是分數：1; 1.5; 2; 2.5 — 這也是算術數列。
幾年級學習算術數列？
9 年級代數課程，與幾何數列及數列主題一起學習。數列題目包含在會考中：通常要求求出項數、項值、項數總量或前 \(n\) 項總和。
