整除判別法：表格與範例

整除判別法是一種規則，讓我們無需進行實際除法，就能判斷一個數是否能被另一個數整除。只需觀察最後幾位數字或將數字的所有位數相加即可。

整除判別法在需要快速理解數字「結構」時非常實用：

• 約分分數時 — 可以立即看出分子和分母能約分什麼數；
• 將數字分解為質因數時；
• 尋找最大公因數與最小公倍數時；
• 在題目與應用題中快速檢查答案時。

重要的是不要混淆兩個不同的問題。「3726 能被 9 整除嗎？」— 這是由整除判別法回答的：數字和 3 + 7 + 2 + 6 = 18 能被 9 整除，所以答案是肯定的。而「結果是多少？」— 這是實際的除法：3726 : 9 = 414。判別法只能瞬間在腦中給出「是」或「否」的答案。

將所有學校教的整除判別法整理成一張表格，方便隨時查閱。顏色提示了觀察重點：最後一位數字、數字和、最後兩三位數字組成的「尾數」，或是同時符合兩種判別法。

最簡單的一組：只需觀察最後一位數字，其他位數不重要。

• 所有偶數都能被 2 整除 — 即以 0, 2, 4, 6 或 8 結尾的數；
• 以 0 或 5 結尾的數能被 5 整除；
• 以 0 結尾的數能被 10 整除。

數字長度無關緊要：987 654 320 同時能被 2, 5 和 10 整除，因為它以 0 結尾。而 1435 能被 5 整除（最後一位是 5），但不能被 2 或 10 整除 — 因為它是奇數。

由此得出一個有用的結論：能被 10 整除的數，必定是同時能被 2 和 5 整除的數。

這裡最後一位數字無法決定一切 — 必須使用數字的所有位數和：

• 若數字和能被 3 整除，則該數能被 3 整除；
• 若數字和能被 9 整除，則該數能被 9 整除。

如果數字和很大，可以再次對該和使用判別法：對於 899 991，數字和為 8 + 9 + 9 + 9 + 9 + 1 = 45，而 45 的數字和為 4 + 5 = 9 — 這意味著原數既能被 9 整除，也能被 3 整除。

這兩個判別法很相似，但不能互相取代。任何能被 9 整除的數，必定也能被 3 整除 — 因為 9 本身就能被 3 整除。反之則不然：數字和可能被 3 整除但不能被 9 整除，此時該數只符合其中一個判別法。兩種情況解析如下。

僅看最後一位數字是不夠的 — 需要觀察由最後幾位數字組成的「尾數」：

• 若末兩位數字組成的數能被 4 整除，則該數能被 4 整除；
• 若末三位數字組成的數能被 8 整除，則該數能被 8 整除；
• 若末兩位數字為 00, 25, 50 或 75，則該數能被 25 整除。

為什麼只需看尾數：100 能同時被 4 和 25 整除，而 1000 能被 8 整除。因此，左邊的所有數字本身就已經能被這些數整除，對結果沒有影響。

由此得出一個重要的結論：對於 4 和 8，僅憑偶數是不夠的。一個數可能是偶數，但如果其末兩位或三位組成的數不能被整除，那麼整個數也不能被整除。尾數解析如下。

6 沒有自己獨立的規則：6 = 2 · 3，且這兩個因數互質。因此，這是一個複合判別法 — 若一個數能同時被 2 和 3 整除，則該數能被 6 整除。

檢查 5124：最後一位是 4 — 是偶數，所以能被 2 整除；數字和 5 + 1 + 2 + 4 = 12 能被 3 整除。兩個條件都符合 → 5124 : 6 = 854。

僅有偶數是不夠的：1000 — 是偶數，但數字和為 1，不能被 3 整除，所以不能被 6 整除。反過來也不行：4521 的數字和為 12，能被 3 整除，但該數是奇數 — 所以也不能被 6 整除。

其他複合判別法也是這樣組合的：12 — 能被 3 和 4 整除，15 — 能被 3 和 5 整除，18 — 能被 2 和 9 整除，45 — 能被 5 和 9 整除。

11 的整除判別法使用交替加減數字和。從最後一位開始，交替變換符號：加、減、加、減。如果結果能被 11 整除（包括等於 0），則原數能被 11 整除。

同樣的判別法常有另一種說法：奇數位上的數字和與偶數位上的數字和之差，必須能被 11 整除。這其實是同一條規則。