平均數、中位數、眾數與全距是描述一組數字的四種方式。其中三種——平均數、中位數和眾數——屬於集中趨勢測量：它們能告訴你「典型」數值是什麼樣子。第四種，全距，則是用來測量數據的分散程度。在本頁中，你將找到每一項的清晰定義、精確的計算方法（包括較複雜的偶數個數中位數）、使用時機、詳細範例、常見錯誤以及練習用的互動式測驗。
什麼是平均數、中位數、眾數與全距？
每一種測量方式都能回答關於數據的不同問題：
- 平均數 — 即平均值。它將所有數值平衡為一個數字。
- 中位數 — 將數字排序後位於中間的數值。
- 眾數 — 出現次數最多的數值。
- 全距 — 分散程度，從最小值到最大值的差距。
下表顯示了每一項的定義以及精確的計算方法。請注意，只有眾數與頻率有關，且只有全距描述的是分散程度而非集中數值。
| 測量項目 | 定義 | 計算方法 |
|---|---|---|
| 平均數 | 平均數值 | 將所有數字相加，然後除以數字的個數 |
| 中位數 | 排序後的中間值 | 將數字排序；選出中間的數字。若有兩個中間數字，則取其平均值 |
| 眾數 | 出現最頻繁的數值 | 找出出現次數最多的數值。可能沒有、有一個或多個 |
| 全距 | 數據的分散程度 | 用最大值減去最小值 |
如何計算平均數、中位數與眾數
讓我們用同一組數據集計算這四項，這樣你就能看出它們的差異。以數字 4, 8, 8, 5, 3, 8, 6 為例（共七個數值）。
平均數。 相加：4 + 8 + 8 + 5 + 3 + 8 + 6 = 42。共有 7 個數值，所以平均數為 42 ÷ 7 = 6。
中位數。 先排序：3, 4, 5, 6, 8, 8, 8。共有 7 個數值，中間的是第 4 個，所以中位數為 6。（務必先排序再選中間值——這是最常見的錯誤。）
眾數。 數字 8 出現了三次，比其他任何數字都多，所以眾數為 8。
全距。 最大值是 8，最小值是 3，所以全距為 8 − 3 = 5。
同一組數據，四個不同的答案——這就是為什麼我們需要四種測量方式。
何時使用各項測量
這些測量方式並非競爭關係——每一種都適用於不同類型的問題。
- 平均數 是日常生活中常見的「平均值」，當數值分佈較均勻時（如平均考試分數或每日氣溫）非常實用。它的缺點是：單一極大或極小的數值（即離群值）會使其偏離中間位置。
- 中位數 是中間的數值，因此幾乎不受離群值影響。這就是為什麼房價和收入通常以中位數呈現的原因——一棟豪宅不會扭曲典型的數值。
- 眾數 是唯一適用於無法計算平均值之項目的測量方式，例如最暢銷的鞋碼或班上最受歡迎的顏色。數據集可以有一個眾數、多個眾數，或完全沒有眾數。
- 全距 完全不描述典型數值——它告訴你數據的分散程度。全距小代表數值集中；全距大代表數值分散。
詳細範例：逐步解析
範例 1. 同一數據集的四項測量
數據集： 7, 3, 7, 10, 3, 6, 3
步驟 1 — 將數字排序。 3, 3, 3, 6, 7, 7, 10。
步驟 2 — 平均數。 相加：3 + 3 + 3 + 6 + 7 + 7 + 10 = 39。共有 7 個數值，所以平均數為 39 ÷ 7 ≈ 5.57。
步驟 3 — 中位數。 共有 7 個數值，中間的是排序列表中的第 4 個：3, 3, 3, 6, 7, 7, 10。中位數為 6。
步驟 4 — 眾數。 數字 3 出現了三次，比其他任何數字都多，所以眾數為 3。
步驟 5 — 全距。 最大值減最小值：10 − 3 = 7。
答案： 平均數 ≈ 5.57，中位數 = 6，眾數 = 3，全距 = 7。
範例 2. 偶數個數的中位數
數據集： 12, 5, 8, 20（四個數值——偶數個數）。
步驟 1 — 排序。 5, 8, 12, 20。
步驟 2 — 找出兩個中間值。 偶數個數沒有單一的中間數字。這裡的兩個中間值是 8 和 12。
步驟 3 — 取其平均值。 (8 + 12) ÷ 2 = 20 ÷ 2 = 10。中位數為 10——即使 10 並非原始數字之一。這對於偶數個數的中位數來說是正常的。
範例 3. 沒有眾數的數據集
數據集： 2, 5, 9, 11, 14。
每個數值都只出現一次，所以沒有數值重複。此數據集沒有眾數——這是正確的答案，並非錯誤。
相反地，數據集 4, 4, 7, 7, 9 有兩個眾數（4 和 7），因為兩者出現的次數最多。具有兩個眾數的集合稱為雙眾數。
避免常見錯誤
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在未排序的情況下計算中位數。
中位數是數字按順序排列後的中間值。在選取中間值之前，務必由小到大排序。在 7, 2, 9 中，中位數是 7（排序後為：2, 7, 9），而不是 9。
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當數字個數為偶數時，只選取兩個中間數字中的其中一個。
偶數個數沒有單一的中間值。請取兩個中間值並計算其平均。對於 5, 8, 12, 20，中位數為 (8 + 12) ÷ 2 = 10，而不是 8 或 12。
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假設每個數據集都必須有一個眾數。
數據集可能沒有眾數（如果沒有數字重複）或有多個眾數（如果兩個或多個數值出現次數並列最多）。兩者都是正確答案——不要強行找單一眾數。
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混淆平均數與中位數，將它們視為同一件事。
平均數是平均值（相加後除以個數）；中位數是排序後的中間值。它們通常不同，特別是當存在離群值時。對於 2, 3, 4, 100，平均數為 27.25，但中位數僅為 3.5。
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將全距與眾數搞混，或忘記進行減法運算。
全距是分散程度的測量：最大值減最小值。它是一個描述分散程度的單一數字，而非出現最頻繁的數值。對於 4, 9, 15，全距為 15 − 4 = 11。
常見問題
什麼是平均數、中位數、眾數與全距？
平均數是平均值（將所有數值相加並除以個數）。中位數是數字排序後的中間值。眾數是出現次數最多的數值。全距是最大值減去最小值。平均數、中位數和眾數描述的是典型數值；全距描述的是數據的分散程度。
如何找出數據集的平均數？
將所有數字相加得到總和，然後將總和除以數字的個數。例如，4, 6, 8, 2 的平均數為 (4 + 6 + 8 + 2) ÷ 4 = 20 ÷ 4 = 5。
當數字個數為偶數時，如何找出中位數？
將數字排序，然後取中間的兩個數值並計算其平均（相加後除以 2）。對於 5, 8, 12, 20，兩個中間值是 8 和 12，所以中位數為 (8 + 12) ÷ 2 = 10。結果可能是一個不在原始數據集中的數字。
平均數與中位數有什麼區別？
平均數是所有數值的平均，因此每個數字都會影響它。中位數只是排序後的中間值，因此幾乎不受極大或極小數值（離群值）的影響。當數據集存在離群值時，中位數通常比平均數更能代表典型數值。
數據集可以有多個眾數或沒有眾數嗎？
可以。如果沒有數值重複，數據集就沒有眾數。如果兩個或多個數值出現次數並列最多，該集合就有多個眾數——兩個眾數稱為雙眾數。沒有眾數或有多個眾數都是完全正確的。
什麼是集中趨勢測量？
集中趨勢測量是用來描述數據集中心或典型數值的單一數字。主要的三種是平均數、中位數和眾數。全距不是集中趨勢測量——它測量的是分散程度。
