一元二次方程式公式可用於解任何形式為 \(ax^2 + bx + c = 0\)（其中 \(a \neq 0\)）的一元二次方程式。其根的公式為 \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)。在本頁中，您將了解各部分的含義、如何逐步使用該公式、判別式如何預測解的數量，以及詳細的解題範例。此外，還有互動式練習題供您立即練習。
什麼是一元二次方程式公式
一元二次方程式是指任何可以寫成標準式 \(ax^2 + bx + c = 0\) 的方程式，其中 \(a\)、\(b\) 和 \(c\) 為常數且 \(a \neq 0\)。這些數字 \(a\)、\(b\) 和 \(c\) 被稱為係數：\(a\) 是 \(x^2\) 的係數，\(b\) 是 \(x\) 的係數，\(c\) 是常數項。
一元二次方程式公式可以直接從這三個係數求出解（即根），無需進行因式分解。它適用於所有一元二次方程式，即使是那些無法輕易分解的方程式也同樣適用。
公式來源（推導）： 該公式是透過對一般方程式進行配方法所得出的。將 \(ax^2 + bx + c = 0\) 除以 \(a\)，移項常數，在等號兩邊同時加上 \(\left(\frac{b}{2a}\right)^2\) 以湊成完全平方式，最後開平方根。結果即為下方的通用公式，適用於任何 \(a\)、\(b\)、\(c\)。
判別式：根的數量
平方根底下的部分 \(b^2 - 4ac\) 被稱為判別式（通常記作 \(D\)）。您不需要算完整個公式就能知道方程式有多少個解——判別式的正負號會直接告訴您答案。
由於負數無法開實數平方根，\(D\) 的正負號將所有一元二次方程式分為三種情況：兩個根、一個重根或無實數根。在圖形上，這代表拋物線 \(y = ax^2 + bx + c\) 與 x 軸的交點情形——交於兩點、交於一點（頂點），或完全不相交。
| 判別式 D = b² − 4ac | 實數根 | 結果說明 |
|---|---|---|
| D > 0 | 兩個相異實數根 | 拋物線與 x 軸交於兩點。使用正負號：x = (−b ± √D) / 2a。 |
| D = 0 | 一個實數根（重根） | 拋物線與 x 軸交於頂點。± 符號消失：x = −b / 2a。 |
| D < 0 | 無實數根 | 拋物線不與 x 軸相交。負數沒有實數平方根。 |
如何使用一元二次方程式公式：步驟
一元二次方程式公式的使用方法始終一致。請依照這五個步驟操作，絕對不會出錯——最困難的部分通常只是正確讀取係數（及其正負號）。
一元二次方程式公式範例（逐步解題）
範例 1. 兩個實數根 (D > 0)
解 \(2x^2 - 7x + 3 = 0\)。
步驟 1–2. 方程式已為標準式，讀取係數：\(a = 2\), \(b = -7\), \(c = 3\)。
步驟 3. 判別式：\(D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4\cdot 2\cdot 3 = 49 - 24 = 25\)。
步驟 4. \(D = 25 > 0\)，因此有兩個相異實數根。
步驟 5. 代入：\(x = \dfrac{-(-7) \pm \sqrt{25}}{2\cdot 2} = \dfrac{7 \pm 5}{4}\)。
使用加號：\(x = \dfrac{7 + 5}{4} = \dfrac{12}{4} = 3\)。使用減號：\(x = \dfrac{7 - 5}{4} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}\)。
根： \(x = 3\) 和 \(x = \tfrac{1}{2}\)。
範例 2. 一個重根 (D = 0)
解 \(x^2 - 6x + 9 = 0\)。
步驟 1–2. 已為標準式：\(a = 1\), \(b = -6\), \(c = 9\)。
步驟 3. 判別式：\(D = (-6)^2 - 4\cdot 1\cdot 9 = 36 - 36 = 0\)。
步驟 4. \(D = 0\)，因此有恰一個實數根（重根）。由於 \(\sqrt{0} = 0\)，\(\pm\) 項消失。
步驟 5. \(x = \dfrac{-(-6) \pm \sqrt{0}}{2\cdot 1} = \dfrac{6}{2} = 3\)。
根： \(x = 3\)（此方程式為完全平方式 \((x-3)^2 = 0\)）。
範例 3. 無實數根 (D < 0)
解 \(x^2 + 2x + 5 = 0\)。
步驟 1–2. 標準式：\(a = 1\), \(b = 2\), \(c = 5\)。
步驟 3. 判別式：\(D = 2^2 - 4\cdot 1\cdot 5 = 4 - 20 = -16\)。
步驟 4. \(D = -16 < 0\)。由於負數無法開實數平方根，此方程式無實數根——其拋物線不與 x 軸相交。
步驟 5. 無需進一步計算實數解。（如果您已學過複數，其根為 \(x = -1 \pm 2i\)，但若僅求實數解，到此即可。）
一元二次方程式公式常見錯誤
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搞錯 b 的正負號，特別是當 b 為負數時。
公式開頭為 −b。若 b = −7，則 −b = +7——兩個負號抵銷。在化簡前，請完整寫出代入過程，例如 −(−7)。
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忘記 ± 符號，只寫出一個根。
當 D > 0 時，± 會產生兩個答案：一個加號和一個減號。除非 D = 0，否則務必計算 (−b + √D)/(2a) 和 (−b − √D)/(2a) 兩者。
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只將分子的一部分除以 2a。
整個分子 −b ± √D 都要除以 2a，而不僅僅是 √D 部分。請將其視為一個分數：(−b ± √D) / (2a)。
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當 a 或 c 為負數時，計算判別式出錯。
在 D = b² − 4ac 中，當 a·c 為負時，減去 4ac 實際上是加上一個數。例如 3x² − 2x − 1，−4·3·(−1) = +12，所以 D = 4 + 12 = 16，而非 4 − 12。
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在方程式未化為標準式前就套用公式。
先將所有項移至等號一側，使方程式呈現 ax² + bx + c = 0。例如，x² = 5x − 6 必須先變為 x² − 5x + 6 = 0，才能讀取 a、b、c。
常見問題
什麼是一元二次方程式公式？
一元二次方程式公式為 x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)。它能直接從係數 a、b 和 c 求出任何一元二次方程式 ax² + bx + c = 0（其中 a ≠ 0）的解。
如何逐步使用一元二次方程式公式？
將方程式寫成標準式 ax² + bx + c = 0，找出包含正負號的 a、b 和 c，計算判別式 D = b² − 4ac，檢查其正負號以判斷根的數量，最後代入 x = (−b ± √D) / (2a) 並化簡正負兩種情況。
什麼是判別式？為什麼它很重要？
判別式為 D = b² − 4ac，即平方根底下的運算式。其正負號無需完成整個計算即可判斷實數根的數量：D > 0 有兩個實數根，D = 0 有一個重根，D < 0 無實數根。
什麼時候應該使用一元二次方程式公式而不是因式分解？
當方程式能以簡單整數進行因式分解時，因式分解較快。一元二次方程式公式適用於所有一元二次方程式，包括無法輕易分解、根為無理數或非整數的情況，因此它是因式分解不明顯時最可靠的解法。
一元二次方程式公式是怎麼來的？
它是透過對一般方程式 ax² + bx + c = 0 進行配方法推導而來的：除以 a，透過加上 (b/2a)² 來配方，將左側重寫為完全平方式，最後對兩邊開平方根。結果即為一元二次方程式公式。
一元二次方程式公式會不會算不出答案？
如果判別式為負數 (D < 0)，則沒有實數解，因為負數無法開實數平方根。該方程式仍有兩個複數根，但沒有實數根——在圖形上，拋物線完全不接觸 x 軸。
