指數律是八條關於冪的乘法、除法、乘方與簡化的規則。本頁面將所有公式整理在一張表中：同底數冪的乘積與商、冪的乘方、積與商的乘方，以及零、負與分數指數。每個性質都附有原理說明，接著是逐步範例、關於符號的常見錯誤解析，以及可以立即自我檢測的互動式練習題。
什麼是冪：底數與指數
冪是相同因數相乘的簡寫。記號 \(a^n\) 表示數字 \(a\) 自乘 \(n\) 次：
其中 \(a\) 是 底數（被乘的數），\(n\) 是 指數（乘的次數）。例如 \(3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81\)：底數為 3，指數為 4。
兩個需要立即記住的記號：\(a^1 = a\)（數字的「一份」），\(a^2\) 稱為「平方」，\(a^3\) 稱為「立方」。以下所有規則都基於底數與指數：有些性質要求 底數相同，有些則要求 指數相同。區分這兩種情況比死記公式更重要。
所有指數律：公式表
將八條基本指數律整理成一張表，方便隨時查閱。前五條適用於任何指數，後三條將冪的概念擴展至零、負與分數指數。
| 性質 | 公式 |
|---|---|
| 乘法 底數相同 — 指數相加 | am · an = am+n |
| 除法 底數相同 — 指數相減 | am : an = am−n |
| 冪的乘方 指數相乘 | (am)n = amn |
| 積的乘方 每個因數都要乘方 | (ab)n = anbn |
| 商的乘方 分子與分母都要乘方 | (a/b)n = an/bn |
| 零指數 任何非零數的零次方為 1 | a0 = 1 |
| 負指數 取倒數變為分數 | a−n = 1/an |
| 分數指數 即 n 次方根 | am/n = ⁿ√(am) |
同底數冪的乘法與除法
這是指數運算中最常見的兩種操作。
乘法時指數相加，底數不變：
原因：第一個因數有 \(m\) 個相同數字，第二個有 \(n\) 個，總共 \(m+n\) 個。例如 \(2^5 \cdot 2^3 = 2^{5+3} = 2^8 = 256\)。
除法時指數相減（被除數指數減去除數指數）：
例如 \(11^9 : 11^6 = 11^{9-6} = 11^3 = 1331\)。
注意：指數的加減法中，指數不能相加。 \(2^3 + 2^4\) 無法簡化為單一冪：\(2^3 + 2^4 = 8 + 16 = 24\)，而 \(2^7 = 128\)。指數律僅適用於乘法與除法。
乘法時底數也不會變。 \(2^3 \cdot 2^4\) 是 \(2^7\)，而不是 \(4^7\)：指數相加，底數照寫。
冪的乘方、積的乘方與商的乘方
冪的乘方 — 指數相乘：
例如 \((4^3)^2 = 4^{3 \cdot 2} = 4^6 = 4096\)。
積的乘方 — 每個因數都要乘方：
例如 \((2 \cdot 5)^3 = 2^3 \cdot 5^3 = 8 \cdot 125 = 1000\)。
商的乘方 — 分子與分母都要乘方：
例如 \(\left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16}\)。
後兩條公式常 由右向左 使用 — 這樣可以處理 底數不同但指數相同 的乘法：\(4^3 \cdot 25^3 = (4 \cdot 25)^3 = 100^3 = 1\,000\,000\)。
如果底數與指數都不同，通常會將表達式 化為同底數：觀察這些數是否為同一個數的冪。例如 \(9^4 = (3^2)^4 = 3^8\)，而 \(4^3 \cdot 8^2\) 可轉化為 \((2^2)^3 \cdot (2^3)^2 = 2^6 \cdot 2^6 = 2^{12}\)。
零指數與負指數
任何非零數的零次方等於 1：
這不是憑空捏造的，而是除法規則的結果：\(6^3 : 6^3 = 6^{3-3} = 6^0\)，但該除法結果為 \(216 : 216 = 1\)。因此 \(6^0 = 1\)。\(0^0\) 無意義。
負指數表示取倒數：
例如 \(2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}\)，而 \(10^{-2} = \frac{1}{100} = 0{,}01\)。
實用的推論：分數的負指數會將分數上下顛倒，指數變為正數：
指數的負號不會使數字變負。 \(2^{-3}\) 是正分數 \(\frac{1}{8}\)，而不是 \(-8\)。指數的符號負責「顛倒」，而非結果的符號。
重點：表格中的八條性質同樣適用於零指數與負指數 — 例如 \(x^{-2} \cdot x^{-5} = x^{-7}\)。
分數指數與根號
分數指數是表示根號的另一種方式：
分母表示 根指數，分子表示 被開方數的指數。範例：\(16^{\frac{1}{2}} = \sqrt{16} = 4\)，\(32^{\frac{1}{5}} = \sqrt[5]{32} = 2\)，\(27^{\frac{2}{3}} = \left(\sqrt[3]{27}\right)^2 = 3^2 = 9\)。
限制：當分母 \(n\) 為偶數時，底數必須為非負數 (\(a \geqslant 0\)) — 在學校課程中，負數的偶次方根無實數解。
用途：分數指數適用 相同的指數律，因此將根號轉換為指數後，乘除運算會更方便。例如 \(\sqrt{7} \cdot \sqrt[4]{7} = 7^{\frac{1}{2}} \cdot 7^{\frac{1}{4}} = 7^{\frac{3}{4}}\)。
負數的冪：符號去哪了
若底數為負，結果的符號取決於指數的奇偶性：
- 偶數指數 — 結果為正：\((-3)^2 = 9\)；
- 奇數指數 — 結果為負：\((-3)^3 = -27\)。
特別要注意 有括號與無括號 的區別：\((-3)^2 = 9\)，但 \(-3^2 = -9\)。後者只有 3 被平方，負號保留在前面。這是考試中最常見的符號錯誤。
記住 -1 的冪很有用：\((-1)^{100} = 1\)，而 \((-1)^{101} = -1\) — 偶數指數得 \(+1\)，奇數指數得 \(-1\)。
指數表達式的運算順序
當表達式中同時包含指數與一般運算時，順序為：先括號，再指數與根號，接著乘除，最後加減。
例如 \(5 + 2 \cdot 3^2 = 5 + 2 \cdot 9 = 5 + 18 = 23\)：先平方，再乘法，最後加法。
範例：如何應用指數律
範例 1. 同一表達式中的乘法與除法
題目。 化簡 \(x^7 \cdot x^4 : x^9\)。
步驟 1. 乘法：底數相同，指數相加 — \(x^7 \cdot x^4 = x^{7+4} = x^{11}\)。
步驟 2. 除法：指數相減 — \(x^{11} : x^9 = x^{11-9} = x^2\)。
答案。 \(x^2\) (當 \(x \neq 0\) 時)。
範例 2. 帶係數的積的乘方
題目。 計算 \((3a^4)^3\)。
步驟 1. 每個因數都要乘方：\((3a^4)^3 = 3^3 \cdot (a^4)^3\)。
步驟 2. 分別計算：\(3^3 = 27\)，冪的乘方指數相乘 — \((a^4)^3 = a^{4 \cdot 3} = a^{12}\)。
答案。 \(27a^{12}\)。此處常見錯誤是忘記將 3 立方，寫成 \(3a^{12}\)。
範例 3. 乘法中的負指數
題目。 計算 \(8^{-2} \cdot 8^{5}\)。
步驟 1. 底數相同 — 依規則指數相加，負號直接參與運算：\(8^{-2+5} = 8^{3}\)。
步驟 2. \(8^3 = 512\)。
答案。 \(512\)。注意：不需要將 \(8^{-2}\) 展開為分數 — 指數律可以直接處理負指數。
範例 4. 分數的負指數
題目。 計算 \(\left(\frac{2}{5}\right)^{-2}\)。
步驟 1. 負指數將分數顛倒：\(\left(\frac{2}{5}\right)^{-2} = \left(\frac{5}{2}\right)^{2}\)。
步驟 2. 分子分母分別平方：\(\left(\frac{5}{2}\right)^{2} = \frac{25}{4}\)。
答案。 \(\frac{25}{4} = 6{,}25\)。
範例 5. 分數指數
題目。 計算 \(81^{\frac{3}{4}}\)。
步驟 1. 指數分母為根指數：\(81^{\frac{3}{4}} = \left(\sqrt[4]{81}\right)^{3}\)。
步驟 2. \(\sqrt[4]{81} = 3\)，因為 \(3^4 = 81\)。
步驟 3. 最後立方：\(3^3 = 27\)。
答案。 \(27\)。先開根號比較方便 — 數字會變小，比先計算 \(81^3\) 容易。
範例 6. 綜合表達式
題目。 計算 \(\dfrac{(3^2)^3}{3^4}\)。
步驟 1. 分子的冪的乘方：\((3^2)^3 = 3^{2 \cdot 3} = 3^6\)。
步驟 2. 同底數冪的除法：\(3^6 : 3^4 = 3^{6-4} = 3^2\)。
步驟 3. \(3^2 = 9\)。
答案。 \(9\)。通用規則：先處理括號與冪的乘方，再進行乘除運算。
指數運算的常見錯誤
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在 **加法** 中將指數相加：寫成 $2^2 + 2^2 = 2^4$。
指數僅在乘法時相加。這裡 \(2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8\)，而 \(2^4 = 16\) — 等式不成立。指數的和通常無法簡化為單一冪，只能提出公因式：\(2^2 + 2^2 = 2 \cdot 2^2 = 2^3\)。
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將底數也相乘：$2^3 \cdot 2^4 = 4^7$。
乘法時底數保持不變，僅指數改變：\(2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = 128\)。
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認為 $(a+b)^n = a^n + b^n$，將和與積混淆。
只有積才能「分配」指數：\((2 \cdot 3)^2 = 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36\) — 正確。但 \((2+3)^2 = 5^2 = 25\)，而 \(2^2 + 3^2 = 13\)。和的乘方需要乘法公式，而非指數律。
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認為 $a^0 = 0$。
相反：任何非零數的零次方等於 1 — \(9^0 = 1\)。只有底數本身為零時結果才為零 (\(0^n = 0\) 且 \(n > 0\))，而 \(0^0\) 無意義。
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指數相減順序錯誤：$3^7 : 3^2 = 3^{-5}$。
應由被除數指數減去除數指數，而非相反：\(3^7 : 3^2 = 3^{7-2} = 3^5 = 243\)。順序與一般減法一樣重要。
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認為負指數使數字變負：$2^{-2} = -4$。
負指數表示分數，而非負號：\(2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}\)。結果仍為正。
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遺失負底數的符號：寫成 $(-4)^2 = -16$。
偶數指數時負號會「消失」：\((-4)^2 = (-4) \cdot (-4) = 16\)。無括號的寫法意義不同：\(-4^2 = -(4^2) = -16\)。括號決定一切。
關於指數律的問答
乘法時指數是相加還是相乘？
同底數冪相乘時 指數相加，底數不變：\(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\)。例如 \(6^2 \cdot 6^5 = 6^{7}\)。指數相乘的情況是冪的乘方：\((a^m)^n = a^{mn}\)。
除法時指數是相加還是相減？
相減：被除數指數減去除數指數，\(a^m : a^n = a^{m-n}\) (\(a \neq 0\))。例如 \(10^9 : 10^4 = 10^{5}\)。
任何數的零次方等於多少？
等於 1（底數非零）：\(a^0 = 1\)。這源於除法規則 — \(a^n : a^n\) 同時等於 \(a^0\) 與 1。\(0^0\) 在學校課程中無定義。
如何消除負指數？
取倒數：\(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\)。例如 \(x^{-5} = \frac{1}{x^5}\)。若底數本身為分數，直接顛倒分數，指數變為正數。
什麼是底數與指數？
在 \(a^n\) 中，\(a\) 是底數，即重複的因數；\(n\) 是指數，表示因數的個數。在 \(5^4\) 中，底數為 5，指數為 4，值為 625。
可以將不同底數的冪相乘嗎？
若指數相同，可以合併：\(a^n \cdot b^n = (ab)^n\)。例如 \(2^4 \cdot 5^4 = 10^4 = 10\,000\)。若底數與指數都不同，通常先化為同底數（若可能），否則維持原樣。
總共有幾條指數律？
基本有八條：同底數冪的乘法與除法、冪的乘方、積的乘方、商的乘方、零指數、負指數與分數指數。不同教材分組方式不同，因此有「五條」或「十條」的說法，但內容是一樣的 — 上表已總結所有規則。
分數指數代表什麼？
根號。分母為根指數，分子為被開方數的指數：\(a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}\)。例如 \(16^{\frac{1}{2}} = \sqrt{16} = 4\)。分母為偶數時，底數必須為非負數。
幾年級學習指數律？
正整數指數律在國中七年級代數學習，整數負指數在八年級，而分數指數與根號在九至十一年級。這些性質在會考與學測的表達式轉換中非常重要。
