乘法公式（簡稱乘法公式）是代數中常用的恆等式，能幫助我們快速展開括號或進行因式分解，省去繁瑣的乘法運算。本頁面整理了七個核心公式：和的平方、差的平方、平方差、和的立方、差的立方、立方和與立方差。我們將逐一解析公式推導與範例，最後還有互動式練習題，讓你立即上手！
什麼是乘法公式
乘法公式是透過多項式乘法推導出的恆等式，只要記住這些「模板」，以後遇到類似結構，直接代入數字或字母即可，無需每次都重新展開括號。
在七年級代數課程中，乘法公式主要用於兩個方向：
- 由左至右 — 快速展開括號，進行平方或立方運算；
- 由右至左 — 將多項式因式分解（這對於約分與解方程式至關重要）。
總共需要記住七個公式。下方為公式總表，隨後將詳細解析每個公式。
乘法公式總表
將七個乘法公式整理成表格，方便隨時查閱。此處的 \(a\) 與 \(b\) 可以是任何表達式：數字、變數或像 \(2x\) 這樣的單項式。
| 公式 | 表達式 |
|---|---|
| 和的平方 | (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 |
| 差的平方 | (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 |
| 平方差 | a2 − b2 = (a − b)(a + b) |
| 和的立方 | (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 |
| 差的立方 | (a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3 |
| 立方和 | a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2) |
| 立方差 | a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2) |
和的平方與差的平方
和的平方是將 \((a+b)\) 自乘：
口訣：和的平方等於第一項平方，加上第一項與第二項乘積的兩倍，再加上第二項平方。差的平方推導方式相同，中間項符號變為負：
重點是不要漏掉中間項 \(2ab\)：正因為有它，\((a+b)^2 \neq a^2 + b^2\)。和的平方與差的平方僅在 \(2ab\) 前的符號不同，而兩端的 \(a^2\) 與 \(b^2\) 永遠為正。
範例。 \((x+3)^2 = x^2 + 2\cdot x\cdot 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9.\)
和的平方具有直觀的幾何意義：這是一個邊長為 \((a+b)\) 的大正方形面積。
平方差
將相同兩項的和與差相乘，中間項會互相抵消：
這就是平方差公式：$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)。這是因式分解中最實用的乘法公式：一旦看到兩個平方的差，立即將其分解為乘積。
範例（展開括號）。 \((x-7)(x+7) = x^2 - 49.\)
範例（因式分解）。 \(x^2 - 16 = x^2 - 4^2 = (x-4)(x+4).\)
注意：平方和 \(a^2 + b^2\) 無法使用此公式進行因式分解 — 僅適用於平方差。
和的立方、差的立方、立方和與立方差
和的立方與差的立方包含四項：
差的立方符號交替出現：\(+\,-\,+\,-\)。再次提醒常見陷阱：\((a+b)^3 \neq a^3 + b^3\) — 不能直接「分配」次方，中間項 \(3a^2b\) 與 \(3ab^2\) 不可遺漏。
範例。 \((x+2)^3 = x^3 + 3x^2\cdot 2 + 3x\cdot 2^2 + 2^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8.\)
立方和與立方差則用於因式分解：
第二個括號稱為和或差的不完全平方。其中間項符號與第一個括號相反：立方和為 \(-ab\)，立方差為 \(+ab\)。
範例。 \(x^3 - 8 = x^3 - 2^3 = (x-2)(x^2 + 2x + 4).\)
乘法公式應用範例
範例 1. 展開括號：和的平方
題目。 將 \((2x+5)^2\) 平方。
步驟 1. 辨識和的平方公式：\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)，其中 \(a = 2x\), \(b = 5\).
步驟 2. 計算每一項：
- \(a^2 = (2x)^2 = 4x^2\);
- \(2ab = 2\cdot 2x\cdot 5 = 20x\);
- \(b^2 = 5^2 = 25\).
答案。 \((2x+5)^2 = 4x^2 + 20x + 25.\)
範例 2. 使用平方差公式
題目。 計算乘積 \((3x-4)(3x+4)\).
步驟 1. 這是相同兩項的差與和的乘積 — 即平方差公式 \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\)，其中 \(a = 3x\), \(b = 4\).
步驟 2. 將每一項平方：\(a^2 = (3x)^2 = 9x^2\), \(b^2 = 4^2 = 16\).
答案。 \((3x-4)(3x+4) = 9x^2 - 16.\)
範例 3. 因式分解
題目。 因式分解 \(x^2 - 36\) 與 \(x^3 + 27\).
平方差。 \(x^2 - 36 = x^2 - 6^2 = (x-6)(x+6).\)
立方和。 注意到 \(27 = 3^3\)，因此 \(x^3 + 27 = x^3 + 3^3\)。應用公式 \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\)，其中 \(a = x\), \(b = 3\):
注意不完全平方中的 \(-3x\) 符號 — 立方和的中間項符號為負。
範例 4. 和的立方
題目。 展開括號 \((x+2)^3\).
步驟 1. 和的立方公式：\((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\)，其中 \(a = x\), \(b = 2\).
步驟 2. 依序計算各項：
- \(a^3 = x^3\);
- \(3a^2b = 3\cdot x^2\cdot 2 = 6x^2\);
- \(3ab^2 = 3\cdot x\cdot 2^2 = 12x\);
- \(b^3 = 2^3 = 8\).
答案。 \((x+2)^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8.\)
乘法公式常見錯誤
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遺漏兩倍乘積：寫成 $(a+b)^2 = a^2 + b^2$.
和的平方與差的平方永遠包含中間項 \(2ab\)：\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)。驗證方法很簡單 — 用直式展開 \((a+b)(a+b)\)，中間項自然會出現。
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混淆差的平方與平方差的符號。
差的平方僅中間項為負：\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)（兩端為正）。而平方差則是兩平方項之間為負：\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\)。這是兩個不同的公式。
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「分配」立方次方：$(a+b)^3 = a^3 + b^3$.
這是錯誤的。和的立方包含四項：\((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\)。公式 \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\) 是完全不同的（立方和），用於因式分解。
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在立方和/差的不完全平方中加入兩倍乘積 $2ab$.
不完全平方為 \(a^2 \pm ab + b^2\)，中間項前沒有 2。符號與第一個括號相反：立方和為 \((a+b)(a^2 - ab + b^2)\)，立方差為 \((a-b)(a^2 + ab + b^2)\)。
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嘗試對平方和 $a^2 + b^2$ 進行因式分解。
只有平方差 \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\) 可以因式分解。在學校課程中，平方和 \(a^2 + b^2\) 無法進行因式分解。
常見問題
總共有幾個乘法公式？
七個：和的平方、差的平方、平方差、和的立方、差的立方、立方和與立方差。上述表格皆已列出。
和的平方等於什麼？
等於第一項平方，加上兩倍乘積，再加上第二項平方：\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)。差的平方中間項符號為負：\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)。
如何對平方差進行因式分解？
使用公式 \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\)。例如，\(x^2 - 25 = x^2 - 5^2 = (x-5)(x+5)\)。只要確認兩項皆為完全平方且中間為減號即可。
為什麼 $(a+b)^2$ 不等於 $a^2 + b^2$？
因為在展開 \((a+b)(a+b)\) 時，會產生兩個相同的 \(ab\) 項，合併後形成中間項 \(2ab\)。不可遺漏：正確公式為 \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)。
和的立方與立方和有什麼區別？
和的立方 \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\) 用於展開括號。立方和 \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\) 則用於因式分解。這是不同的公式，請勿混淆。
幾年級會學到乘法公式？
通常在七年級代數課程：先學和的平方、差的平方與平方差，隨後學習立方公式。這些公式在簡化表達式、約分與解方程式時會頻繁使用。
