Phương trình bậc hai: công thức, biệt thức và cách giải

Phương trình bậc hai là phương trình có dạng

trong đó \(x\) là ẩn số, còn \(a\), \(b\), \(c\) là các số (hệ số), với \(a \neq 0\). Cách viết này được gọi là dạng chuẩn của phương trình bậc hai: các hạng tử được sắp xếp theo lũy thừa giảm dần từ trái sang phải, vế phải bằng không.

Điều kiện \(a \neq 0\) không phải là hình thức. Chính hạng tử \(ax^2\) làm cho phương trình trở thành bậc hai: nếu \(a = 0\) thì chỉ còn \(bx + c = 0\), tức là phương trình bậc nhất thông thường với một nghiệm duy nhất. Do đó, trong các bài toán chứa tham số, bước đầu tiên luôn là kiểm tra xem hệ số cao nhất có bằng không hay không.

Ta gần như luôn có thể đưa phương trình về dạng chuẩn: phá ngoặc, chuyển tất cả các hạng tử sang vế trái và thu gọn các hạng tử đồng dạng. Ví dụ, \(5x^2 = 3x - 2\) sau khi chuyển vế trở thành \(5x^2 - 3x + 2 = 0\), từ đó \(a = 5\), \(b = -3\), \(c = 2\).

Nếu cả ba hệ số đều khác không, phương trình được gọi là đầy đủ. Nếu \(b\) hoặc \(c\) (hoặc cả hai) bằng không — gọi là khuyết. Có đúng ba loại phương trình khuyết và không loại nào cần dùng đến biệt thức: mỗi loại đều giải được chỉ trong một hoặc hai dòng, đây là cách nhanh nhất để tiết kiệm thời gian trong bài kiểm tra.

Ý tưởng chính cho \(ax^2 + bx = 0\) là đặt nhân tử chung. Tích \(x(ax + b)\) bằng không khi và chỉ khi ít nhất một trong các nhân tử bằng không, từ đó có ngay hai nghiệm. Đối với \(ax^2 + c = 0\), ý tưởng khác: cô lập \(x^2\) và xét dấu của số thu được — bình phương của một số thực không bao giờ âm.

Biệt thức là một số được tính dựa trên các hệ số của phương trình đầy đủ:

Bản thân từ này có nghĩa là "cái phân biệt": biệt thức không giải phương trình, nó chỉ phân biệt ba tình huống — có hai nghiệm, một nghiệm hoặc vô nghiệm. Do đó, câu hỏi "phương trình có bao nhiêu nghiệm" được giải quyết mà không cần tìm chính các nghiệm đó.

Cần tính \(D\) cẩn thận: \(b^2\) luôn dương, ngay cả khi \(b\) âm, và dấu của \(a\) và \(c\) được tính vào tích \(4ac\) như bình thường. Lấy ví dụ \(x^2 + 4x - 5 = 0\): ở đây \(a = 1\), \(b = 4\), \(c = -5\), nghĩa là \(D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36\). Biệt thức dương, nên sẽ có hai nghiệm.

Khi \(D \ge 0\), các nghiệm được tìm theo công thức chính của chủ đề:

Dấu \(\pm\) có nghĩa là hai phép tính: một lần với phép cộng, một lần với phép trừ. Khi \(D = 0\), cả hai phép tính đều cho cùng một số \(x = -\dfrac{b}{2a}\) — nghiệm này được gọi là nghiệm kép.

Hai nơi thường mắc lỗi nhất: trên tử số là trừ \(b\) (với \(b = -7\) thì thành \(+7\)), và ở mẫu số là \(2a\), chứ không phải chỉ là \(2\). Khi \(a = 1\) thì không thấy sự khác biệt, vì vậy lỗi thường xuất hiện ở những nơi hệ số cao nhất khác một.

Giải \(2x^2 - 9x - 5 = 0\): \(D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 81 + 40 = 121\), \(\sqrt{D} = 11\), do đó \(x_1 = \dfrac{9 + 11}{4} = 5\) và \(x_2 = \dfrac{9 - 11}{4} = -0{,}5\).

Nếu \(b\) là số chẵn, ta có thể viết \(b = 2k\) và tính biệt thức "thu gọn":

Các số trong phép tính nhỏ hơn bốn lần (\(D = 4D_1\)), và dấu của \(D_1\) giống với dấu của \(D\) — nghĩa là kết luận về số lượng nghiệm không thay đổi.

Ví dụ: \(3x^2 + 8x - 3 = 0\). Ở đây \(b = 8\), tức là \(k = 4\), và \(D_1 = 4^2 - 3 \cdot (-3) = 16 + 9 = 25\), \(\sqrt{D_1} = 5\). Khi đó \(x_1 = \dfrac{-4 + 5}{3} = \dfrac{1}{3}\) và \(x_2 = \dfrac{-4 - 5}{3} = -3\). Với công thức thông thường, ta phải làm việc với \(D = 100\) — kết quả như nhau, nhưng tính toán nhiều hơn.

Phương trình với \(a = 1\) được gọi là phương trình rút gọn và viết là \(x^2 + px + q = 0\). Mọi phương trình bậc hai đều có thể đưa về dạng này bằng cách chia cho \(a\): ví dụ, \(4x^2 - 12x + 8 = 0\) sau khi chia cho 4 trở thành \(x^2 - 3x + 2 = 0\).

Dạng rút gọn có giá trị vì định lý Viète áp dụng được cho nó: tổng các nghiệm bằng \(-p\), và tích bằng \(q\). Đối với \(x^2 - 7x + 10 = 0\), ta cần hai số có tổng bằng 7 và tích bằng 10 — đó là 2 và 5, và không cần phải tính biệt thức.

Việc nhẩm nghiệm theo Viète rất hữu ích khi các nghiệm là số nguyên và nhỏ, hơn nữa nó còn giúp kiểm tra đáp án tìm được qua biệt thức một cách miễn phí: tổng phải bằng \(-p\), tích phải bằng \(q\). Các công thức cho dạng tổng quát, định lý đảo và thuật toán nhẩm nghiệm được giải thích trong một tài liệu riêng — định lý Viète.

Nếu các nghiệm \(x_1\) và \(x_2\) đã được tìm thấy, tam thức bậc hai được phân tích thành nhân tử:

Không được quên hệ số \(a\) — nếu thiếu nó, đẳng thức sẽ không còn đúng. Kiểm tra việc phân tích luôn dễ dàng: phá ngoặc và so sánh với tam thức ban đầu. Chẳng hạn, với \(x^2 + 2x - 8\), các nghiệm là 2 và \(-4\), nên \(x^2 + 2x - 8 = (x - 2)(x + 4)\).

Cách ngược lại cũng hiệu quả: nếu tam thức có thể phân tích nhẩm, các nghiệm sẽ hiện ra ngay và không cần biệt thức. Ở đây, các hằng đẳng thức đáng nhớ sẽ giúp ích — ví dụ, \(x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)\) cho nghiệm \(4\) và \(-4\) ngay lập tức.

Cách thứ ba để không cần công thức nghiệm là tạo bình phương đủ. Trong \(x^2 + 6x + 5 = 0\), hai hạng tử đầu được bổ sung để tạo thành bình phương của một tổng: \((x + 3)^2 - 9 + 5 = 0\), tức là \((x + 3)^2 = 4\), từ đó \(x + 3 = \pm 2\) và \(x = -1\) hoặc \(x = -5\). Chính phương pháp này được dùng để suy ra công thức nghiệm tổng quát.

Phương trình trùng phương có dạng \(ax^4 + bx^2 + c = 0\): chỉ có các lũy thừa chẵn. Nó được giải bằng cách đặt ẩn phụ \(t = x^2\), với điều kiện bắt buộc \(t \ge 0\) — bình phương của một số thực không bao giờ âm.

Sau khi đặt ẩn phụ, ta có phương trình bậc hai thông thường \(at^2 + bt + c = 0\). Giải nó bằng biệt thức, sau đó với mỗi nghiệm \(t\) không âm, ta quay lại tìm \(x = \pm\sqrt{t}\). Từ đó suy ra số lượng nghiệm: tối đa bốn nghiệm.

Ví dụ, \(x^4 - 5x^2 + 4 = 0\) sau khi đặt ẩn phụ cho ra \(t^2 - 5t + 4 = 0\) với nghiệm \(t = 1\) và \(t = 4\). Cả hai đều dương, nên \(x = \pm 1\) và \(x = \pm 2\) — tổng cộng bốn nghiệm. Nếu một trong các giá trị \(t\) âm, ta sẽ loại nó.

Phương pháp tương tự cũng được dùng để giải phương trình phân thức (sau khi quy đồng và loại bỏ các giá trị không xác định) và các phương trình có dạng ẩn phụ \(t = x^2 + 3x\).