Căn bậc hai của số \(a\) là một số mà bình phương của nó bằng \(a\), còn căn bậc hai số học chỉ giá trị không âm của nó: \(\sqrt{25} = 5\). Chỉ có thể khai phương các số không âm, nhưng các tính chất của căn thức giúp biến đổi các biểu thức cồng kềnh thành ngắn gọn. Trên trang này — định nghĩa và tập xác định, tất cả các tính chất của căn bậc hai kèm công thức, bảng căn bậc hai từ 1 đến 20, các phương pháp khai phương và đưa thừa số ra ngoài dấu căn, các ví dụ đã giải, lỗi thường gặp và bài tập tương tác.
Căn bậc hai của một số là gì
Căn bậc hai của số \(a\) là một số mà bình phương của nó bằng \(a\). Khai phương và bình phương là hai phép toán ngược nhau: từ \(7^2 = 49\) suy ra ngay căn bậc hai của 49 bằng 7.
Tuy nhiên, một số dương có đúng hai căn bậc hai và chúng chỉ khác nhau về dấu: \(5^2 = 25\) và \((-5)^2 = 25\), nghĩa là căn bậc hai của 25 là cả \(5\) và \(-5\). Để ký hiệu \(\sqrt{25}\) chỉ một số duy nhất, người ta quy ước: dấu \(\sqrt{\phantom{a}}\) chỉ dùng cho căn không âm. Đó chính là căn bậc hai số học.
Ký hiệu này có tên gọi riêng: dấu \(\sqrt{\phantom{a}}\) là dấu căn, còn số hoặc biểu thức bên dưới nó là biểu thức dưới dấu căn.
Căn bậc hai số học: định nghĩa và tập xác định
Căn bậc hai số học của số không âm \(a\) là số không âm mà bình phương của nó bằng \(a\). Nó được ký hiệu là \(\sqrt{a}\) và đọc là «căn bậc hai của a».
Trong định nghĩa có hai điều kiện ẩn, và cả hai đều quan trọng như nhau:
- biểu thức dưới dấu căn không âm: \(a \ge 0\);
- giá trị của căn không âm: \(\sqrt{a} \ge 0\).
Từ đó ta có ngay: \(\sqrt{25} = 5\), chứ không phải \(-5\); \(\sqrt{0} = 0\); còn ký hiệu \(\sqrt{-9}\) trong tập số thực không có nghĩa — không có số nào bình phương lên lại là số âm.
Điều kiện thứ nhất xác định tập xác định của biểu thức chứa căn. Ví dụ, \(\sqrt{x-7}\) có nghĩa khi \(x - 7 \ge 0\), tức là khi \(x \ge 7\): bất kỳ giá trị \(x\) nào nhỏ hơn đều khiến biểu thức dưới căn trở thành số âm.
Từ định nghĩa cũng suy ra đẳng thức \((\sqrt{a})^2 = a\) với \(a \ge 0\): bình phương căn bậc hai sẽ trả về số dưới dấu căn. Nó hoạt động ngay cả khi chúng ta không thể tính chính xác giá trị căn: \((\sqrt{31})^2 = 31\).
Bảng căn bậc hai: bình phương các số từ 1 đến 20
Căn bậc hai được khai phương trọn vẹn khi và chỉ khi số dưới dấu căn là số chính phương. Vì vậy, bảng bình phương cũng hoạt động như bảng căn bậc hai: đọc theo cả hai chiều — \(14^2 = 196\), nghĩa là \(\sqrt{196} = 14\).
Bảng này giúp ích không chỉ với số nguyên:
- số thập phân: \(\sqrt{0{,}64} = 0{,}8\), vì \(0{,}8^2 = 0{,}64\);
- phân số: \(\sqrt{\dfrac{16}{81}} = \dfrac{4}{9}\) — khai phương riêng biệt tử số và mẫu số;
- số tròn chục/trăm: \(\sqrt{2500} = 50\), vì \(2500 = 25 \cdot 100\), và ta biết căn của mỗi thừa số.
Các tính chất của căn bậc hai
Các tính chất của căn bậc hai cho phép tính toán biểu thức mà không cần khai phương từng căn riêng lẻ, đồng thời giúp rút gọn kết quả.
Căn bậc hai của một tích bằng tích các căn bậc hai: \(\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\) với \(a \ge 0\) và \(b \ge 0\). Ví dụ, \(\sqrt{9 \cdot 16} = 3 \cdot 4 = 12\) — kết quả giống như \(\sqrt{144}\).
Căn bậc hai của một thương bằng thương các căn bậc hai: \(\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\) với \(a \ge 0\) và \(b > 0\). Ví dụ, \(\sqrt{\dfrac{36}{49}} = \dfrac{6}{7}\). Điều kiện \(b > 0\) là bắt buộc: không được chia cho số 0.
Căn bậc hai của một bình phương bằng giá trị tuyệt đối: \(\sqrt{a^2} = |a|\), điều này đúng với mọi số \(a\). Đây là điểm tinh tế nhất của toàn bộ chủ đề. Nếu \(a \ge 0\), không có gì thay đổi: \(\sqrt{7^2} = 7\). Nhưng với \(a\) âm, dấu sẽ được «chỉnh lại»: \(\sqrt{(-6)^2} = \sqrt{36} = 6\), chứ không phải \(-6\) — vì căn bậc hai số học không bao giờ âm.
Bình phương của căn bậc hai trả về số dưới dấu căn: \((\sqrt{a})^2 = a\) với \(a \ge 0\).
Tuy nhiên, với tổng và hiệu thì không tồn tại các tính chất tương tự: căn của một tổng không bằng tổng các căn. Đây là lỗi phổ biến nhất trong chủ đề này, phân tích chi tiết ở bên dưới.
| Tính chất và điều kiện | Ví dụ |
|---|---|
| √(a · b) = √a · √bvới a ≥ 0 và b ≥ 0 | √(4 · 25) = 2 · 5 = 10 |
| √(a / b) = √a / √bvới a ≥ 0 và b > 0 | √(81 / 16) = 9 / 4 |
| √(a²) = |a|với mọi a | √((−12)²) = 12 |
| (√a)² = avới a ≥ 0 | (√13)² = 13 |
| √(a² · b) = |a| · √bvới b ≥ 0 | √(25 · 3) = 5√3 |
Cách khai phương căn bậc hai
Không phải lúc nào cũng có máy tính cầm tay, và các bài tập ở trường hầu như luôn được chọn lọc để có thể khai phương được. Thứ tự thực hiện như sau.
- Kiểm tra bảng bình phương. Nếu số đó có trong bảng, kết quả đã có: \(\sqrt{289} = 17\).
- Tách thừa số tròn chục/trăm. Với các số có chữ số 0, nên tách \(100\), \(10\,000\) v.v.: \(\sqrt{6400} = \sqrt{64 \cdot 100} = 8 \cdot 10 = 80\).
- Phân tích thành thừa số nguyên tố. Đây là phương pháp vạn năng: \(576 = 2^6 \cdot 3^2\), chia đôi các số mũ và ta được \(\sqrt{576} = 2^3 \cdot 3 = 24\).
- Chuyển số thập phân thành phân số. \(\sqrt{1{,}44} = \sqrt{\dfrac{144}{100}} = \dfrac{12}{10} = 1{,}2\). Đồng thời cách này giúp tránh mất chữ số hàng thập phân.
- Nếu không có số chính phương — căn bậc hai là số vô tỉ. Khi đó, người ta để nguyên kết quả dưới dạng ký hiệu (viết là \(\sqrt{30}\)), hoặc ước lượng giữa các số chính phương lân cận.
Việc kiểm tra chỉ mất một giây: bình phương số nhận được và xem có quay lại số dưới dấu căn ban đầu không. \(24^2 = 576\) — chính xác.
Đưa thừa số ra ngoài dấu căn
Căn bậc hai hiếm khi để ở dạng «thô» — người ta đưa mọi thứ có thể khai phương ra ngoài. Áp dụng tính chất \(\sqrt{a^2 b} = |a| \sqrt{b}\) với \(b \ge 0\): tìm ước số chính phương lớn nhất của số dưới dấu căn.
- \(\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}\);
- \(\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}\);
- \(\sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = 10\sqrt{3}\).
Phép toán ngược lại là đưa thừa số vào trong dấu căn: \(a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}\) với \(a \ge 0\). Ví dụ, \(3\sqrt{5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}\).
Với thừa số âm cần cẩn thận: dấu trừ không được đưa vào trong căn và vẫn ở bên ngoài. Cách viết đúng là \(-2\sqrt{3} = -\sqrt{12}\), chứ không phải \(\sqrt{12}\).
Tại sao cần làm điều này: sau khi đưa thừa số ra ngoài, các căn thức có cùng biểu thức dưới dấu căn sẽ trở thành các hạng tử đồng dạng và có thể cộng trừ với nhau. Còn việc đưa thừa số vào trong căn là cách nhanh nhất để so sánh hai biểu thức chứa căn.
Căn bậc hai bằng bao nhiêu nếu không khai phương được
Nếu số dưới dấu căn không phải là số chính phương, căn bậc hai là số vô tỉ: biểu thức thập phân của nó là vô hạn không tuần hoàn. Ví dụ, \(\sqrt{2} \approx 1{,}4142\ldots\), và giá trị chính xác chỉ được viết dưới dạng ký hiệu \(\sqrt{2}\). Kết quả làm tròn chỉ được viết khi đề bài yêu cầu.
Có thể ước lượng căn bậc hai như vậy mà không cần máy tính: tìm hai số chính phương lân cận mà số dưới dấu căn nằm giữa chúng. Quy tắc so sánh hoạt động: với \(a \ge 0\) và \(b \ge 0\), từ \(a < b\) suy ra \(\sqrt{a} < \sqrt{b}\) — số dưới dấu căn lớn hơn sẽ cho căn bậc hai lớn hơn.
Ví dụ tính toán với căn bậc hai
Ví dụ 1. Giá trị của biểu thức chứa căn
Tính \(\sqrt{121} - \sqrt{0{,}36} + \sqrt{\dfrac{9}{25}}\).
Bước 1. \(\sqrt{121} = 11\), vì \(11^2 = 121\).
Bước 2. \(\sqrt{0{,}36} = 0{,}6\), vì \(0{,}6^2 = 0{,}36\).
Bước 3. Khai phương phân số theo tử số và mẫu số: \(\sqrt{\dfrac{9}{25}} = \dfrac{3}{5} = 0{,}6\).
Bước 4. Cộng trừ: \(11 - 0{,}6 + 0{,}6 = 11\).
Kết quả: 11.
Ví dụ 2. Căn bậc hai của một tích
Tính \(\sqrt{8} \cdot \sqrt{18}\).
Bước 1. Các căn này không khai phương được riêng lẻ, vì vậy gộp chúng lại thành một: \(\sqrt{8} \cdot \sqrt{18} = \sqrt{8 \cdot 18}\).
Bước 2. Tính tích dưới dấu căn: \(8 \cdot 18 = 144\).
Bước 3. \(\sqrt{144} = 12\).
Cách khác — đưa thừa số ra ngoài trước: \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\) và \(\sqrt{18} = 3\sqrt{2}\), khi đó \(2\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2} = 6 \cdot (\sqrt{2})^2 = 6 \cdot 2 = 12\). Kết quả trùng khớp.
Kết quả: 12.
Ví dụ 3. Khai phương bằng cách phân tích thành thừa số
Tính \(\sqrt{576}\) và \(\sqrt{6400}\).
Bước 1. Số 576 không có trong bảng bình phương, vì vậy phân tích nó thành các thừa số nguyên tố: \(576 = 2^6 \cdot 3^2\).
Bước 2. Chia đôi các số mũ: \(\sqrt{2^6 \cdot 3^2} = 2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24\).
Bước 3. Kiểm tra. \(24^2 = 576\) — chính xác.
Bước 4. Với số 6400, thuận tiện hơn khi tách thừa số tròn trăm: \(\sqrt{6400} = \sqrt{64 \cdot 100} = 8 \cdot 10 = 80\). Kiểm tra: \(80^2 = 6400\).
Kết quả: \(\sqrt{576} = 24\), \(\sqrt{6400} = 80\).
Ví dụ 4. Đưa thừa số ra ngoài và rút gọn biểu thức đồng dạng
Rút gọn \(2\sqrt{98} - \sqrt{300} + \sqrt{72}\).
Bước 1. Đưa thừa số ra ngoài mỗi căn: \(\sqrt{98} = \sqrt{49 \cdot 2} = 7\sqrt{2}\), nghĩa là \(2\sqrt{98} = 14\sqrt{2}\).
Bước 2. \(\sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = 10\sqrt{3}\).
Bước 3. \(\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}\).
Bước 4. Chỉ có thể cộng các căn có cùng biểu thức dưới dấu căn: \(14\sqrt{2} + 6\sqrt{2} = 20\sqrt{2}\), còn hạng tử chứa \(\sqrt{3}\) để riêng.
Kết quả: \(20\sqrt{2} - 10\sqrt{3}\).
Ví dụ 5. Căn bậc hai của bình phương chứa biến
Rút gọn \(\sqrt{(x-4)^2}\) với \(x < 4\).
Bước 1. Theo tính chất căn bậc hai của bình phương \(\sqrt{(x-4)^2} = |x-4|\) — viết ngay giá trị tuyệt đối, không phải \(x - 4\).
Bước 2. Phá dấu giá trị tuyệt đối theo điều kiện. Nếu \(x < 4\), thì hiệu \(x - 4\) âm, và giá trị tuyệt đối của số âm là số đối của nó: \(|x-4| = 4 - x\).
Bước 3. Kiểm tra. Lấy \(x = 1\): vế trái \(\sqrt{(1-4)^2} = \sqrt{9} = 3\), vế phải \(4 - 1 = 3\) — khớp.
Kết quả: \(4 - x\). Để so sánh, với \(x \ge 4\) kết quả sẽ là \(x - 4\).
Ví dụ 6. So sánh các biểu thức chứa căn
So sánh \(3\sqrt{5}\) và \(5\sqrt{2}\).
Bước 1. Cả hai số đều dương, vì vậy đưa thừa số vào trong căn: \(3\sqrt{5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}\).
Bước 2. \(5\sqrt{2} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{50}\).
Bước 3. So sánh các số dưới dấu căn: \(45 < 50\), và số dưới dấu căn lớn hơn sẽ cho căn bậc hai lớn hơn.
Kết quả: \(3\sqrt{5} < 5\sqrt{2}\).
Những lỗi thường gặp khi làm việc với căn bậc hai
-
Viết $\sqrt{a^2} = a$, quên mất giá trị tuyệt đối.
Đẳng thức đúng là \(\sqrt{a^2} = |a|\). Đối với số âm, điều này rất quan trọng: \(\sqrt{(-13)^2} = \sqrt{169} = 13\), chứ không phải \(-13\). Căn bậc hai số học không thể âm, vì vậy dấu dưới căn được «chỉnh lại».
-
Cho rằng căn của một tổng bằng tổng các căn: $\sqrt{9 + 16} = 3 + 4$.
Không có tính chất như vậy. Trước tiên thực hiện phép tính dưới dấu căn: \(\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\), chứ không phải 7. Chỉ có tính chất đối với tích và thương: \(\sqrt{ab} = \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\) và \(\sqrt{a/b} = \sqrt{a}/\sqrt{b}\).
-
Trả lời rằng $\sqrt{49} = \pm 7$.
\(\sqrt{49} = 7\) — căn bậc hai số học luôn là một số duy nhất và không âm. Hai giá trị xuất hiện trong một bài toán khác: phương trình \(x^2 = 49\) có các nghiệm \(x = 7\) và \(x = -7\). Không được nhầm lẫn ký hiệu căn với nghiệm của phương trình.
-
Viết $\sqrt{-16} = -4$, lập luận «âm nhân âm».
Dưới dấu căn không thể là số âm: \((-4)^2 = 16\), chứ không phải \(-16\), vì vậy \(\sqrt{-16}\) trong tập số thực không tồn tại. Còn biểu thức \(-\sqrt{16} = -4\) hoàn toàn chính xác — dấu trừ nằm trước căn, không phải dưới căn.
-
Đưa thừa số âm vào trong căn: $-2\sqrt{3} = \sqrt{12}$.
Quy tắc \(a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}\) chỉ hoạt động khi \(a \ge 0\). Dấu trừ vẫn ở bên ngoài: \(-2\sqrt{3} = -\sqrt{12}\). Kiểm tra dấu: \(-2\sqrt{3} \approx -3{,}46\), còn \(\sqrt{12} \approx 3{,}46\) — hai số đối nhau.
-
Mất chữ số hàng thập phân: $\sqrt{0{,}04} = 0{,}02$.
Kiểm tra bằng cách bình phương ngược lại: \(0{,}02^2 = 0{,}0004\), không khớp. Đúng là \(\sqrt{0{,}04} = 0{,}2\), vì \(0{,}2^2 = 0{,}04\). Cách đáng tin cậy là chuyển sang phân số thường: \(\sqrt{\dfrac{4}{100}} = \dfrac{2}{10} = 0{,}2\).
-
Tin rằng căn bậc hai luôn nhỏ hơn chính số đó.
Điều này chỉ đúng với các số lớn hơn 1. Trên đoạn từ 0 đến 1 thì ngược lại: \(\sqrt{0{,}25} = 0{,}5\), và \(0{,}5\) lớn hơn \(0{,}25\). Còn với 0 và 1, căn bậc hai bằng chính số đó.
Câu hỏi và trả lời
Căn bậc hai số học là gì theo cách nói đơn giản?
Đó là số không âm mà khi bình phương lên sẽ cho số dưới dấu căn. Ký hiệu là \(\sqrt{a}\), trong đó biểu thức dưới dấu căn phải không âm: \(a \ge 0\). Ví dụ, \(\sqrt{64} = 8\), vì \(8 \ge 0\) và \(8^2 = 64\).
Căn bậc hai khác căn bậc hai số học như thế nào?
Một số dương có hai căn bậc hai — đối nhau về dấu. Căn bậc hai số học chỉ giá trị không âm trong số đó, và chính nó được ký hiệu bởi dấu \(\sqrt{\phantom{a}}\). Vì vậy \(\sqrt{25} = 5\), mặc dù phương trình \(x^2 = 25\) có hai nghiệm: 5 và \(-5\).
Làm thế nào để khai phương căn bậc hai mà không cần máy tính?
Trước tiên hãy kiểm tra số đó trong bảng bình phương. Nếu không có — hãy phân tích thành thừa số và tách các số chính phương: \(784 = 16 \cdot 49\), vì vậy \(\sqrt{784} = 4 \cdot 7 = 28\). Luôn kiểm tra kết quả bằng phép toán ngược: \(28^2 = 784\).
Có thể khai phương căn bậc hai của số âm không?
Trong tập số thực — không: bình phương của bất kỳ số nào cũng không âm, vì vậy biểu thức \(\sqrt{-9}\) không có nghĩa. Chính từ điều kiện này mà người ta tìm tập xác định: ví dụ, \(\sqrt{x-7}\) chỉ tồn tại khi \(x \ge 7\).
Căn bậc hai của bình phương một số bằng bao nhiêu?
Bằng giá trị tuyệt đối của số đó: \(\sqrt{a^2} = |a|\). Với \(a\) không âm sẽ thu được chính số đó, với \(a\) âm sẽ thu được số đối của nó: \(\sqrt{(-6)^2} = 6\).
Làm thế nào để đưa thừa số ra ngoài dấu căn?
Tìm ước số chính phương lớn nhất của số dưới dấu căn và áp dụng tính chất \(\sqrt{a^2 b} = |a|\sqrt{b}\). Ví dụ, \(\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}\). Phép toán ngược lại là đưa thừa số vào trong căn: \(3\sqrt{5} = \sqrt{45}\).
Căn bậc hai của 2 bằng bao nhiêu?
Số \(\sqrt{2}\) là số vô tỉ: biểu thức thập phân của nó là vô hạn không tuần hoàn, \(\sqrt{2} \approx 1{,}4142\). Không tồn tại giá trị chính xác dưới dạng phân số, vì vậy trong các câu trả lời người ta để nguyên ký hiệu \(\sqrt{2}\), và chỉ làm tròn nếu đề bài yêu cầu.
Làm thế nào để so sánh hai số chứa căn mà không cần tính toán?
Đưa thừa số vào trong căn và so sánh các số dưới dấu căn: số dưới dấu căn lớn hơn sẽ cho căn bậc hai lớn hơn. Ví dụ, \(\sqrt{17}\) và 4: vì \(4 = \sqrt{16}\) và \(17 > 16\), nên \(\sqrt{17} > 4\).
Căn bậc hai được học ở lớp mấy?
Ở lớp 8 trong các tiết đại số: trước tiên là định nghĩa căn bậc hai số học và các tính chất, sau đó là biến đổi các biểu thức chứa căn và giải phương trình dạng \(x^2 = a\). Sau đó căn bậc hai xuất hiện trong công thức biệt thức delta và trong các bài thi OGE và EGE.
