Tỉ lệ thức là sự bằng nhau của hai tỉ số, ví dụ \(2:3 = 8:12\). Để giải tỉ lệ thức, bạn chỉ cần một công cụ — tính chất cơ bản của tỉ lệ thức: tích của các thành viên ngoài bằng tích của các thành viên giữa. Ở trường, nó được gọi là quy tắc "nhân chéo". Dưới đây là: tỉ số và tỉ lệ thức là gì, cách tìm thành viên chưa biết, tỉ lệ thuận khác tỉ lệ nghịch như thế nào, phân tích các bài toán về công thức, tỉ lệ xích và giá cả, cách tính phần trăm và bài tập 10 câu.
Tỉ số và tỉ lệ thức là gì
Tỉ số của hai số là thương của chúng. Tỉ số \(2:3\) (đọc là "hai trên ba") cho biết số này gấp bao nhiêu lần số kia hoặc số này chiếm bao nhiêu phần của số kia. Nó có thể được ghi theo hai cách: \(2:3\) hoặc dưới dạng phân số \(\frac{2}{3}\) — chúng giống nhau.
Tỉ lệ thức là sự bằng nhau của hai tỉ số:
Trong một tỉ lệ thức có bốn số, và chúng có tên gọi. Các số ở hai đầu là thành viên ngoài, các số ở giữa là thành viên giữa. Tỉ lệ thức đúng khi cả hai tỉ số bằng cùng một số.
Tính chất cơ bản của tỉ lệ thức: quy tắc "nhân chéo"
Tính chất cơ bản của tỉ lệ thức: tích của các thành viên ngoài bằng tích của các thành viên giữa.
Tại sao lại như vậy? Nhân cả hai vế của đẳng thức \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) với \(b \cdot d\). Ở vế trái, \(b\) sẽ rút gọn, ở vế phải, \(d\) sẽ rút gọn, và ta còn lại đúng \(a \cdot d = c \cdot b\). Không có phép thuật nào ở đây — chỉ là tính chất thông thường của đẳng thức.
Đây chính là điều mà học sinh gọi là «giải tỉ lệ thức bằng cách nhân chéo»: nhân các số theo đường chéo, nhân chéo. Tính chất này cũng hoạt động theo chiều ngược lại: nếu với bốn số (không có số nào bằng 0) mà \(a \cdot d = b \cdot c\) đúng, thì ta có thể lập được một tỉ lệ thức đúng từ chúng.
Từ đó, ta có ngay hai kỹ năng: kiểm tra xem tỉ lệ thức có đúng không, và tìm số chưa biết trong đó.
Cách tìm thành viên chưa biết của tỉ lệ thức
Từ tính chất cơ bản, ta có hai quy tắc ngắn gọn:
- thành viên ngoài chưa biết = tích các thành viên giữa : thành viên ngoài đã biết;
- thành viên giữa chưa biết = tích các thành viên ngoài : thành viên giữa đã biết.
Không nhất thiết phải ghi nhớ chúng. Chỉ cần một phương pháp phổ biến: nhân chéo, thu được đẳng thức dạng «số \(\cdot\, x\) = số» và chia. Chúng ta sẽ phân tích điều này từng bước với tỉ lệ thức \(x : 7 = 12 : 21\).
Bước cuối cùng — kiểm tra — chỉ mất năm giây và giúp phát hiện hầu hết các lỗi số học, vì vậy không nên bỏ qua nó.
Tỉ lệ thuận và tỉ lệ nghịch
Hai đại lượng được gọi là tỉ lệ thuận với nhau nếu khi một đại lượng tăng lên vài lần thì đại lượng kia cũng tăng lên bấy nhiêu lần. Mua gấp đôi số vở thì phải trả gấp đôi số tiền. Với các đại lượng này, tỉ số của chúng không đổi.
Các đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau nếu khi một đại lượng tăng lên vài lần thì đại lượng kia giảm đi bấy nhiêu lần. Nhiều công nhân hơn thì thời gian làm xong công việc đó ít hơn. Với các đại lượng này, tích của chúng không đổi.
Sự khác biệt chính thể hiện ở chỗ khi ta lập tỉ lệ thức. Đối với tỉ lệ thuận, nó được lập theo dạng «như cũ»: \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}\). Đối với tỉ lệ nghịch, tỉ số thứ hai bị đảo ngược: \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_2}{b_1}\).
Tại sao lại vậy? Đối với tỉ lệ nghịch, tích không đổi: \(a_1 \cdot b_1 = a_2 \cdot b_2\). Chia cả hai vế cho \(a_2 \cdot b_1\) — và ta sẽ có \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_2}{b_1}\). Vì vậy, việc «đảo ngược» không phải là một câu thần chú cần ghi nhớ, mà là hệ quả của việc tích không đổi, chứ không phải tỉ số.
| Dấu hiệu | Tỉ lệ thuận | Tỉ lệ nghịch |
|---|---|---|
| Quan hệ | nhiều hơn → nhiều hơn | nhiều hơn → ít hơn |
| Không đổi | tỉ số a : b | tích a × b |
| Cách ghi | a₁ : a₂ = b₁ : b₂ | a₁ : a₂ = b₂ : b₁ |
| Ví dụ | 3 cây bút — 90 ₽, 5 cây bút — 150 ₽ | 4 thợ sơn — 9 ngày, 6 thợ sơn — 6 ngày |
Cách lập tỉ lệ thức cho bài toán: công thức, tỉ lệ xích, giá cả
Các bài toán văn «về tỉ lệ thức» được giải theo một kịch bản:
- Ghi điều kiện bài toán thành hai cột sao cho các đại lượng giống nhau đứng dưới nhau (phần ăn dưới phần ăn, gam dưới gam).
- Đặt ẩn \(x\) cho đại lượng cần tìm.
- Xác định loại quan hệ: Tăng đại lượng thứ nhất lên gấp đôi và xem đại lượng thứ hai có tăng hay giảm.
- Lập tỉ lệ thức — đối với quan hệ nghịch, đảo ngược tỉ số thứ hai.
- Giải bằng cách nhân chéo và kiểm tra xem kết quả có hợp lý không.
Chúng ta sẽ minh họa bằng công thức nấu ăn. Để làm 4 phần bánh kếp cần 300 g bột — cần bao nhiêu gam bột cho 6 phần? Số phần nhiều hơn, nghĩa là cần nhiều bột hơn: quan hệ thuận, tỉ lệ thức được lập «như cũ»:
Để làm 6 phần cần 450 g bột. Kết quả hợp lý: số phần tăng gấp rưỡi, và lượng bột cần cũng tăng gấp rưỡi.
Các bài toán về tỉ lệ xích (khoảng cách trên bản đồ so với khoảng cách trên thực địa theo tỉ lệ 1 trên số tỉ lệ xích) và về giá cả (số lượng hàng hóa so với số lượng tương ứng với giá tiền) cũng được giải tương tự. Phân tích chi tiết — trong các ví dụ dưới đây.
Phần trăm qua tỉ lệ thức
Phần trăm là một phần trăm của một số, vì vậy mọi bài toán đơn giản về phần trăm đều có thể chuyển thành tỉ lệ thức:
Ở đâu đó, một trong bốn số là chưa biết — ta tìm nó bằng cách nhân chéo.
Tìm phần. 15% của 240 là bao nhiêu? Lập tỉ lệ thức \(x : 240 = 15 : 100\), nghĩa là \(100x = 240 \cdot 15 = 3600\) và \(x = 36\).
Tìm toàn bộ. Số 21 chiếm 35% của một số nào đó. Lập tỉ lệ thức \(21 : x = 35 : 100\), nghĩa là \(35x = 21 \cdot 100 = 2100\) và \(x = 60\).
Tìm phần trăm. 18 chiếm bao nhiêu phần trăm của 45? Lập tỉ lệ thức \(18 : 45 = p : 100\), nghĩa là \(45p = 18 \cdot 100 = 1800\) và \(p = 40\), tức là 40%.
Một phương pháp — ba loại bài toán khác nhau, không cần ghi nhớ thêm gì. Riêng câu hỏi «phần trăm tăng hoặc giảm» thì khác: trước tiên tìm sự thay đổi, sau đó chia nó cho giá trị ban đầu — đây là công thức thay đổi phần trăm, chứ không phải tỉ lệ thức đơn giản.
Ví dụ giải tỉ lệ thức có hướng dẫn từng bước
Ví dụ 1. Tìm thành viên giữa chưa biết
Bài toán. Tìm thành viên chưa biết của tỉ lệ thức \(15 : x = 45 : 24\).
Bước 1. Xác định thành viên. Thành viên ngoài là 15 và 24, thành viên giữa là \(x\) và 45.
Bước 2. Áp dụng tính chất cơ bản: \(15 \cdot 24 = x \cdot 45\), tức là \(360 = 45x\).
Bước 3. Chia: \(x = 360 : 45 = 8\).
Kiểm tra. \(15 : 8 = 1{,}875\) và \(45 : 24 = 1{,}875\) — các tỉ số bằng nhau.
Đáp số: \(x = 8\).
Ví dụ 2. Tỉ lệ thuận: giá cả và số lượng
Bài toán. Sáu quyển vở giá 210 ₽. Hỏi 10 quyển vở như vậy giá bao nhiêu?
Bước 1. Số lượng vở nhiều hơn — giá tiền nhiều hơn, vậy quan hệ là thuận.
Bước 2. Lập điều kiện bài toán sao cho các đại lượng giống nhau đứng cạnh nhau và lập tỉ lệ thức «như cũ»:
Bước 3. Nhân chéo: \(6x = 10 \cdot 210 = 2100\), vậy \(x = 2100 : 6 = 350\).
Kiểm tra. Một quyển vở giá \(210 : 6 = 35\) ₽, còn mười quyển giá \(35 \cdot 10 = 350\) ₽. Khớp.
Đáp số: 350 ₽.
Ví dụ 3. Tỉ lệ nghịch: công nhân và ngày làm
Bài toán. Tám công nhân hoàn thành đơn hàng trong 15 ngày. Hỏi 12 công nhân sẽ hoàn thành đơn hàng đó trong bao nhiêu ngày, nếu họ làm việc với tốc độ như nhau?
Bước 1. Số công nhân nhiều hơn — số ngày cần ít hơn. Quan hệ là nghịch.
Bước 2. Lập tỉ lệ thức bằng cách đảo ngược tỉ số thứ hai:
Ở đây \(x\) là số ngày cho 12 công nhân, còn 15 là số ngày cho 8 công nhân: chúng đổi chỗ cho nhau vì quan hệ là nghịch.
Bước 3. Nhân chéo: \(8 \cdot 15 = 12x\), tức là \(120 = 12x\) và \(x = 10\).
Kiểm tra. Tích không đổi: \(8 \cdot 15 = 120\) và \(12 \cdot 10 = 120\). Khớp, và kết quả hợp lý — số ngày đã ít đi.
Đáp số: 10 ngày.
Ví dụ 4. Tỉ lệ xích bản đồ
Bài toán. Tỉ lệ xích bản đồ là \(1 : 200\,000\). Khoảng cách giữa hai làng trên bản đồ là 7 cm. Khoảng cách giữa chúng trên thực địa là bao nhiêu?
Bước 1. Tỉ lệ xích \(1 : 200\,000\) có nghĩa là: 1 cm trên bản đồ tương ứng với 200 000 cm trên thực địa. Đây là tỉ số đã cho.
Bước 2. Lập tỉ lệ thức:
Bước 3. Nhân chéo: \(1 \cdot x = 200\,000 \cdot 7\), tức là \(x = 1\,400\,000\) cm.
Bước 4. Đổi sang đơn vị thuận tiện: một kilômét có 100 000 cm, do đó \(1\,400\,000 : 100\,000 = 14\) km.
Đáp số: 14 km.
Ví dụ 5. Phần trăm qua tỉ lệ thức
Bài toán. Lớp có 25 học sinh, 60% trong số đó đi dã ngoại. Hỏi có bao nhiêu người đi dã ngoại?
Bước 1. Toàn bộ là 25 học sinh, tương ứng với 100%. Phần cần tìm là \(x\) người, tương ứng với 60%.
Bước 2. Lập tỉ lệ thức «phần : toàn bộ = phần trăm : 100»:
Bước 3. Nhân chéo: \(100x = 25 \cdot 60 = 1500\), vậy \(x = 15\).
Kiểm tra. 15 người trên 25 là \(15 : 25 = 0{,}6\), tức là đúng 60%.
Đáp số: 15 người.
Những lỗi thường gặp khi giải tỉ lệ thức
-
Nhân các số «theo hàng ngang», chứ không phải nhân chéo: trong tỉ lệ thức 5 : 2 = 20 : 8, người ta tính 5 · 2 và 20 · 8.
Tính chất cơ bản liên kết các thành viên ngoài với thành viên giữa, tức là các số theo đường chéo: 5 · 8 = 40 và 2 · 20 = 40. Các tích bằng nhau — tỉ lệ thức đúng. Còn 5 · 2 và 20 · 8 không bằng nhau và không cho biết điều gì.
-
Trong bài toán về quan hệ nghịch, lại lập tỉ lệ thức «thuận». Sáu máy bơm làm đầy bể trong 10 giờ; cách ghi 6 : 15 = 10 : x cho ra 25 giờ cho 15 máy bơm.
Nhiều máy bơm hơn — thời gian phải ít hơn, mà lại ra nhiều hơn: nghĩa là tỉ lệ thức đã lập sai hướng. Cần đảo ngược tỉ số thứ hai: 6 : 15 = x : 10, khi đó 15x = 60 và x = 4 giờ. Luôn kiểm tra kết quả xem có hợp lý không.
-
Sau khi «nhân chéo», lại chia ngược lại: từ đẳng thức 8x = 96, ta có x = 8 : 96.
Để tìm x, ta chia tích cho hệ số đứng cạnh x: x = 96 : 8 = 12. Một thói quen tốt là thay số tìm được trở lại: 8 · 12 = 96, mọi thứ đều đúng.
-
Không thống nhất đơn vị đo. Trong bài toán tỉ lệ xích 1 : 50 000 với 3 cm trên bản đồ, người ta ghi đáp số «1,5» không có đơn vị hoặc gọi nó là mét.
Trước tiên, tính toán theo đơn vị đo của tỉ lệ xích: 3 · 50 000 = 150 000 cm. Và chỉ sau đó mới đổi đơn vị: 150 000 cm = 1500 m = 1,5 km. Đơn vị trong đáp số cũng quan trọng như bản thân con số.
-
Nhầm lẫn giữa tỉ số và tỉ lệ thức: khi yêu cầu lập tỉ lệ thức, người ta ghi một tỉ số «12 : 4».
Tỉ số là một thương số của hai số, ví dụ 12 : 4. Tỉ lệ thức là sự bằng nhau của hai tỉ số, nó có bốn số và dấu bằng: 12 : 4 = 30 : 10 (kiểm tra: 12 · 10 = 120 và 4 · 30 = 120).
Câu hỏi và trả lời
Tỉ số khác tỉ lệ thức như thế nào?
Tỉ số là thương của hai số, ví dụ 12 : 4. Tỉ lệ thức là sự bằng nhau của hai tỉ số, nó có bốn số: 12 : 4 = 30 : 10. Tỉ số trả lời câu hỏi «gấp bao nhiêu lần», còn tỉ lệ thức khẳng định rằng hai phép so sánh như vậy cho kết quả như nhau.
Thành viên ngoài và thành viên giữa của tỉ lệ thức là gì?
Trong cách ghi a : b = c : d, thành viên ngoài là các số ở hai đầu, tức là a và d. Thành viên giữa là các số ở giữa, tức là b và c. Nếu tỉ lệ thức được ghi dưới dạng phân số, thành viên ngoài là tử số của phân số thứ nhất và mẫu số của phân số thứ hai, còn thành viên giữa là mẫu số của phân số thứ nhất và tử số của phân số thứ hai.
Làm thế nào để kiểm tra xem tỉ lệ thức có đúng không?
Nhân chéo và so sánh các tích. Ví dụ, với 9 : 12 = 15 : 20, ta tính 9 · 20 = 180 và 12 · 15 = 180 — các số bằng nhau, vậy tỉ lệ thức đúng. Nếu các tích khác nhau, tỉ lệ thức sai.
Có thể đổi chỗ các thành viên của tỉ lệ thức không?
Có, nếu thực hiện theo đúng quy tắc. Trong một tỉ lệ thức đúng, có thể đổi chỗ các thành viên ngoài, có thể đổi chỗ các thành viên giữa, hoặc có thể đảo ngược cả hai vế cùng lúc — tỉ lệ thức vẫn đúng. Từ 4 : 6 = 10 : 15 ta có 4 : 10 = 6 : 15 hoặc 6 : 4 = 15 : 10 — tích theo đường chéo ở đâu cũng bằng 60. Nhưng không thể chỉ đổi chỗ một số.
«Giải tỉ lệ thức bằng cách nhân chéo» có nghĩa là gì?
Đây là cách nói thông thường về tính chất cơ bản của tỉ lệ thức. Các số được nhân theo đường chéo, nhân chéo: thành viên ngoài nhân với thành viên ngoài và thành viên giữa nhân với thành viên giữa. Ta thu được một phương trình với một ẩn số, được giải bằng một phép chia. Không có «phương pháp nhân chéo» riêng biệt nào ngoài tính chất cơ bản.
Làm thế nào để xác định quan hệ thuận hay nghịch trong bài toán?
Tưởng tượng tăng đại lượng thứ nhất lên gấp đôi và xem xét đại lượng thứ hai. Nếu nó cũng tăng gấp đôi — quan hệ là thuận, tỉ lệ thức được lập «như cũ». Nếu nó giảm đi một nửa — quan hệ là nghịch, tỉ số thứ hai cần đảo ngược. Một dấu hiệu khác: với quan hệ thuận, tỉ số các đại lượng không đổi, còn với quan hệ nghịch — tích của chúng không đổi.
Làm thế nào để giải bài toán phần trăm bằng tỉ lệ thức?
Lập tỉ lệ thức «phần : toàn bộ = phần trăm : 100» và tìm ẩn số bằng cách nhân chéo. Ví dụ, 12% của 350: ta có x : 350 = 12 : 100, nghĩa là 100x = 4200 và x = 42. Theo cách tương tự, ta cũng tìm được toàn bộ theo phần đã biết, hoặc tìm phần trăm.
