Thứ tự thực hiện phép tính là tập hợp các quy tắc cho biết bạn cần tính phần nào của biểu thức toán học trước. Cách phổ biến nhất để ghi nhớ là PEMDAS: Parentheses (Dấu ngoặc), Exponents (Lũy thừa), Multiplication (Nhân) và Division (Chia), Addition (Cộng) và Subtraction (Trừ). Hãy tuân theo thứ tự đó và mọi biểu thức sẽ chỉ có một đáp án đúng duy nhất. Trên trang này, bạn sẽ tìm thấy quy tắc PEMDAS được giải thích từng bước, các ví dụ có dấu ngoặc và lũy thừa, những lỗi học sinh hay mắc phải nhất và bài tập tương tác để luyện tập ngay.
Ý nghĩa của PEMDAS: thứ tự thực hiện phép tính
PEMDAS là một từ viết tắt giúp ghi nhớ thứ tự thực hiện các phép tính. Nhiều học sinh ghi nhớ bằng câu "Please Excuse My Dear Aunt Sally." Hãy làm việc từ trên xuống dưới theo thang đo:
- P — Parentheses (Dấu ngoặc). Thực hiện mọi thứ bên trong các ký hiệu nhóm trước: ( ), [ ], { }.
- E — Exponents (Lũy thừa). Sau đó đến lũy thừa và căn thức, ví dụ như 3² hoặc √9.
- M và D — Multiplication (Nhân) và Division (Chia). Hai phép tính này có cùng mức độ ưu tiên. Hãy thực hiện chúng cùng nhau, theo thứ tự từ trái sang phải.
- A và S — Addition (Cộng) và Subtraction (Trừ). Hai phép tính này cũng có cùng mức độ ưu tiên. Hãy thực hiện chúng cuối cùng, cũng theo thứ tự từ trái sang phải.
Ý tưởng quan trọng nhất mà nhiều học sinh bỏ lỡ là: PEMDAS không phải là sáu bước riêng biệt. Phép nhân không phải lúc nào cũng đứng trước phép chia, và phép cộng không phải lúc nào cũng đứng trước phép trừ. Mỗi cặp phép tính đó nằm cùng một cấp, và trong cùng một cấp, bạn chỉ cần thực hiện từ trái sang phải.
Quy tắc trái sang phải (Nhân/Chia và Cộng/Trừ có mức độ ưu tiên ngang nhau)
Vì phép nhân và phép chia nằm cùng một cấp, bạn hãy thực hiện chúng theo thứ tự xuất hiện, đọc từ trái sang phải — không phải "tất cả phép nhân rồi mới đến tất cả phép chia". Điều tương tự cũng đúng với phép cộng và phép trừ.
Một cái bẫy kinh điển là 20 ÷ 4 × 5. Nếu bạn thực hiện phép nhân trước (4 × 5 = 20), bạn sẽ có 20 ÷ 20 = 1 — điều này là sai. Vì phép chia nằm bên trái, bạn thực hiện nó trước: 20 ÷ 4 = 5, sau đó 5 × 5 = 25. Logic tương tự áp dụng cho 10 − 6 + 2: thực hiện từ trái sang phải để có 4 + 2 = 6, không phải 10 − 8 = 2.
PEMDAS so với BODMAS: cùng một quy tắc, tên gọi khác nhau
Tại Anh, Úc và nhiều quốc gia khác, cùng quy tắc này được dạy là BODMAS (đôi khi là BIDMAS hoặc BEDMAS). Các chữ cái trông khác nhau, nhưng thứ tự là giống hệt nhau — chỉ có từ vựng thay đổi.
- B — Brackets (Dấu ngoặc) giống với P — Parentheses (Dấu ngoặc).
- O — Orders (Thứ tự) (hoặc I — Indices (Chỉ số), E — Exponents (Lũy thừa)) nghĩa là lũy thừa và căn thức.
- DM và MD là cùng một cặp ưu tiên ngang nhau, thực hiện từ trái sang phải.
- AS là cộng và trừ, thực hiện từ trái sang phải.
Vì vậy, PEMDAS và BODMAS luôn cho cùng một kết quả. Bảng so sánh dưới đây sắp xếp chúng theo từng chữ cái.
| Bước | PEMDAS | BODMAS | Việc cần làm |
|---|---|---|---|
| 1 | Parentheses | Brackets | Bên trong dấu ngoặc trước |
| 2 | Exponents | Orders / Indices | Lũy thừa và căn thức |
| 3 | Multiplication / Division | Division / Multiplication | Ưu tiên ngang nhau, trái → phải |
| 4 | Addition / Subtraction | Addition / Subtraction | Ưu tiên ngang nhau, trái → phải |
Ví dụ về thứ tự thực hiện phép tính (từng bước)
Ví dụ 1. Phép nhân trước phép cộng
Biểu thức: 3 + 4 × 2
Bước 1 — Dấu ngoặc / Lũy thừa: không có ở đây, nên bỏ qua.
Bước 2 — Nhân / Chia: 4 × 2 = 8. Biểu thức bây giờ là 3 + 8.
Bước 3 — Cộng / Trừ: 3 + 8 = 11.
Một đáp án sai phổ biến là 14, kết quả này đến từ việc cộng 3 + 4 trước. Phép nhân phải được thực hiện trước phép cộng.
Ví dụ 2. Dấu ngoặc, lũy thừa, sau đó từ trái sang phải
Biểu thức: (6 + 2) × 3² ÷ 4 − 5
Bước 1 — Dấu ngoặc: 6 + 2 = 8. Bây giờ: 8 × 3² ÷ 4 − 5.
Bước 2 — Lũy thừa: 3² = 9. Bây giờ: 8 × 9 ÷ 4 − 5.
Bước 3 — Nhân / Chia (từ trái sang phải): 8 × 9 = 72, sau đó 72 ÷ 4 = 18. Bây giờ: 18 − 5.
Bước 4 — Cộng / Trừ: 18 − 5 = 13.
Ví dụ 3. Cái bẫy từ trái sang phải
Biểu thức: 20 ÷ 4 × 5
Không có dấu ngoặc hay lũy thừa, vì vậy chúng ta đi thẳng đến phép nhân và phép chia. Chúng có mức độ ưu tiên ngang nhau, vì vậy chúng ta đọc từ trái sang phải.
Bước 1: 20 ÷ 4 = 5 (phép chia nằm ngoài cùng bên trái). Bây giờ: 5 × 5.
Bước 2: 5 × 5 = 25.
Nếu bạn nhân trước (4 × 5 = 20), bạn sẽ có 20 ÷ 20 = 1 — một lỗi kinh điển. Thứ tự chữ cái M-rồi-đến-D không có nghĩa là phép nhân thắng; quy tắc từ trái sang phải mới là quyết định.
Các lỗi PEMDAS thường gặp
-
Nghĩ rằng phép nhân luôn đứng trước phép chia (hoặc phép cộng trước phép trừ) vì thứ tự chữ cái M-D và A-S.
Phép nhân và phép chia ngang nhau, phép cộng và phép trừ cũng vậy. Trong mỗi cặp, hãy làm từ trái sang phải. Trong 20 ÷ 4 × 5, bạn chia trước vì nó nằm bên trái, cho kết quả 25 — không phải 1.
-
Bỏ qua quy tắc từ trái sang phải đối với phép trừ, dẫn đến 10 − 6 + 2 bị đọc thành 10 − 8 = 2.
Hãy đi từ trái sang phải: 10 − 6 = 4, sau đó 4 + 2 = 6. Phép cộng không "nhảy hàng" lên trước phép trừ nằm bên trái nó.
-
Bỏ qua dấu ngoặc hoặc thực hiện chúng cuối cùng vì chúng nằm ở giữa biểu thức.
Các ký hiệu nhóm luôn được ưu tiên đầu tiên, bất kể chúng nằm ở đâu. Trong 2 × (3 + 4), bạn tính 3 + 4 = 7 trước khi nhân, cho kết quả 14 — không phải 2 × 3 + 4 = 10.
-
Đọc sai phạm vi của lũy thừa, coi −3² và (−3)² là một.
Lũy thừa chỉ áp dụng cho số ngay bên dưới nó. −3² nghĩa là −(3²) = −9, trong khi (−3)² nghĩa là (−3)(−3) = 9. Sử dụng dấu ngoặc khi bạn muốn bao gồm cả dấu âm.
-
Thực hiện các dấu ngoặc lồng nhau từ ngoài vào trong.
Bắt đầu với nhóm trong cùng và làm ra ngoài. Trong 2 × [3 + (4 − 1)], hãy làm 4 − 1 = 3 trước, sau đó 3 + 3 = 6, rồi 2 × 6 = 12.
Các câu hỏi thường gặp
PEMDAS là viết tắt của gì?
PEMDAS là viết tắt của Parentheses (Dấu ngoặc), Exponents (Lũy thừa), Multiplication (Nhân) và Division (Chia), Addition (Cộng) và Subtraction (Trừ). Đó là thứ tự bạn dùng để tính một biểu thức toán học. Nhiều học sinh ghi nhớ bằng câu "Please Excuse My Dear Aunt Sally."
Sự khác biệt giữa PEMDAS và BODMAS là gì?
Không có sự khác biệt về toán học — chỉ khác về tên gọi. BODMAS (Brackets, Orders, Division, Multiplication, Addition, Subtraction) được dạy ở Anh và nhiều quốc gia khác, trong khi PEMDAS được sử dụng ở Mỹ. Brackets (Dấu ngoặc) giống với Parentheses, và Orders (hoặc Indices) giống với Exponents (Lũy thừa). Cả hai đều cho cùng một kết quả cho mọi biểu thức.
Phép nhân có luôn đứng trước phép chia trong PEMDAS không?
Không. Phép nhân và phép chia có mức độ ưu tiên ngang nhau. Bạn thực hiện cái nào xuất hiện trước khi đọc từ trái sang phải. Ví dụ, trong 20 ÷ 4 × 5, bạn chia trước vì nó nằm bên trái, sau đó mới nhân, cho kết quả 25.
Tại sao chúng ta cần thứ tự thực hiện phép tính?
Nếu không có một thứ tự thống nhất, cùng một biểu thức có thể cho ra các đáp án khác nhau đối với những người khác nhau. Ví dụ, 3 + 4 × 2 sẽ là 11 nếu bạn nhân trước hoặc 14 nếu bạn cộng trước. PEMDAS đảm bảo mọi biểu thức chỉ có một kết quả đúng duy nhất.
Làm thế nào để xử lý lũy thừa và dấu âm cùng nhau?
Lũy thừa chỉ áp dụng cho giá trị ngay bên dưới nó. Vì vậy, −3² bằng −(3 × 3) = −9, vì lũy thừa gắn với số 3 trước khi dấu âm được áp dụng. Nếu bạn muốn bao gồm cả dấu âm, hãy viết (−3)², kết quả bằng 9. Dấu ngoặc kiểm soát phạm vi mà lũy thừa bao phủ.
Bạn làm gì với các dấu ngoặc lồng nhau?
Thực hiện từ nhóm trong cùng ra ngoài. Trong 2 × [3 + (4 − 1)], trước tiên hãy làm 4 − 1 = 3, sau đó 3 + 3 = 6, rồi 2 × 6 = 12. Mỗi lớp nhóm được giải quyết trước lớp bao quanh nó.
