Dấu hiệu chia hết là các quy tắc cho phép xác định một số có chia hết cho một số khác hay không mà không cần thực hiện phép chia: chỉ cần nhìn vào các chữ số cuối hoặc cộng tất cả các chữ số của số đó. Trang này tổng hợp bảng dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11 và 25, phân tích trực quan dấu hiệu cho 3 và 9 qua tổng các chữ số, ví dụ có lời giải, các lỗi thường gặp và bài luyện tập tương tác, nơi bạn có thể tự kiểm tra ngay.
Dấu hiệu chia hết là gì
Dấu hiệu chia hết là một quy tắc cho phép xác định một số có chia hết cho một số khác hay không mà không cần thực hiện phép chia. Chỉ cần nhìn vào các chữ số cuối hoặc cộng tất cả các chữ số của số đó.
Dấu hiệu chia hết rất hữu ích ở mọi nơi cần nhanh chóng hiểu 'cấu tạo' của một số:
- khi rút gọn phân số — bạn có thể thấy ngay cách rút gọn tử số và mẫu số;
- khi phân tích một số ra thừa số nguyên tố;
- khi tìm ước chung và bội chung;
- khi kiểm tra nhanh đáp án trong các bài toán và ví dụ.
Điều quan trọng là không nhầm lẫn hai câu hỏi khác nhau. '3726 có chia hết cho 9 không?' — dấu hiệu chia hết trả lời câu này: tổng các chữ số 3 + 7 + 2 + 6 = 18 chia hết cho 9, vậy là có. Còn 'kết quả bằng bao nhiêu?' — đó là phép chia: 3726 : 9 = 414. Dấu hiệu chỉ cho câu trả lời 'có' hoặc 'không', nhưng lại tức thì và nhẩm được.
Bảng dấu hiệu chia hết
Tất cả các dấu hiệu chia hết trong chương trình học đều tiện lợi để có trong tầm mắt trong một bảng duy nhất. Màu sắc gợi ý nơi cần xem: vào chữ số cuối cùng, vào tổng các chữ số, vào 'đuôi' gồm hai-ba chữ số cuối cùng hoặc ngay vào hai dấu hiệu.
| Để làm gì | Dấu hiệu chia hết | Ví dụ |
|---|---|---|
| 2 | chữ số cuối cùng là 0, 2, 4, 6 hoặc 8 | 3726 → 6 |
| 3 | tổng các chữ số chia hết cho 3 | 4512 → 4+5+1+2 = 12 |
| 4 | hai chữ số cuối cùng chia hết cho 4 | 1316 → 16 : 4 = 4 |
| 5 | chữ số cuối cùng là 0 hoặc 5 | 1435 → 5 |
| 6 | chia hết cho cả 2 và 3 đồng thời | 5124 → 4 và 12 |
| 8 | ba chữ số cuối cùng chia hết cho 8 | 3512 → 512 : 8 = 64 |
| 9 | tổng các chữ số chia hết cho 9 | 3726 → 3+7+2+6 = 18 |
| 10 | chữ số cuối cùng là 0 | 2340 → 0 |
| 11 | các chữ số từ cuối đan xen + và −; tổng chia hết cho 11 | 2838 → 8−3+8−2 = 11 |
| 25 | hai chữ số cuối cùng là 00, 25, 50 hoặc 75 | 1875 → 75 |
Dấu hiệu chia hết cho 2, 5 và 10
Nhóm đơn giản nhất: chỉ cần xem chữ số cuối cùng, các chữ số khác không quan trọng.
- số chia hết cho 2 là tất cả các số chẵn — những số có chữ số cuối là 0, 2, 4, 6 hoặc 8;
- số chia hết cho 5 — là những số có chữ số cuối là 0 hoặc 5;
- số chia hết cho 10 — là những số có chữ số cuối là 0.
Độ dài của số không quan trọng: 987 654 320 chia hết cho cả 2, 5 và 10 vì nó có chữ số cuối là 0. Còn 1435 chia hết cho 5 (chữ số cuối là 5), nhưng không chia hết cho 2 hoặc 10 — vì nó là số lẻ.
Từ đó rút ra kết luận hữu ích: những số chia hết cho 10 là những số chia hết đồng thời cho cả 2 và 5.
Dấu hiệu chia hết cho 3 và 9: tổng các chữ số
Ở đây, chữ số cuối cùng không quyết định — mà là tổng của tất cả các chữ số của số đó:
- một số chia hết cho 3 nếu tổng các chữ số của nó chia hết cho 3;
- một số chia hết cho 9 nếu tổng các chữ số của nó chia hết cho 9.
Nếu tổng thu được lớn, bạn có thể áp dụng dấu hiệu này cho nó một lần nữa: với số 899 991, tổng các chữ số là 8 + 9 + 9 + 9 + 9 + 1 = 45, và với 45, tổng là 4 + 5 = 9 — nghĩa là số ban đầu chia hết cho cả 9 và 3.
Dấu hiệu này tương tự nhau nhưng không thay thế cho nhau. Bất kỳ số nào chia hết cho 9 thì cũng chia hết cho 3 — vì bản thân số 9 chia hết cho 3. Điều ngược lại không đúng: tổng các chữ số có thể chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9, và khi đó số chỉ thỏa mãn một trong hai dấu hiệu. Cả hai trường hợp đều được phân tích dưới đây.
Dấu hiệu chia hết cho 4, 8 và 25: xem 'đuôi' của số
Chỉ chữ số cuối cùng là không đủ — cần xem 'đuôi' gồm vài chữ số cuối cùng:
- số chia hết cho 4 là số mà hai chữ số cuối cùng tạo thành một số chia hết cho 4;
- số chia hết cho 8 — nếu ba chữ số cuối cùng tạo thành một số chia hết cho 8;
- số chia hết cho 25 — nếu hai chữ số cuối cùng tạo thành 00, 25, 50 hoặc 75.
Tại sao chỉ cần đuôi: 100 chia hết cho cả 4 và 25, còn 1000 chia hết cho 8. Do đó, phần đứng trước nó đã tự chia hết cho số cần tìm và không ảnh hưởng đến kết quả.
Từ đó suy ra một hệ quả quan trọng: tính chẵn lẻ là chưa đủ cho 4 và 8. Một số có thể là số chẵn, nhưng nếu 'đuôi' gồm hai hoặc ba chữ số của nó không chia hết, thì cả số đó cũng không chia hết. Phân tích các 'đuôi' — ở phần dưới.
Dấu hiệu chia hết cho 6
Số 6 không có dấu hiệu riêng: 6 = 2 · 3, và các thừa số này nguyên tố cùng nhau. Do đó, dấu hiệu này là tổng hợp — một số chia hết cho 6 nếu nó đồng thời chia hết cho 2 và 3.
Hãy kiểm tra số 5124: chữ số cuối cùng là 4 — số chẵn, vậy nó chia hết cho 2; tổng các chữ số 5 + 1 + 2 + 4 = 12 chia hết cho 3. Cả hai điều kiện đều được thỏa mãn → 5124 : 6 = 854.
Chỉ tính chẵn lẻ là chưa đủ: 1000 là số chẵn, nhưng tổng các chữ số của nó là 1 và không chia hết cho 3, do đó số này không chia hết cho 6. Nửa còn lại cũng không hoạt động: với 4521, tổng các chữ số là 12 chia hết cho 3, nhưng bản thân số này là số lẻ — nó cũng không chia hết cho 6.
Các dấu hiệu tổng hợp khác cũng được xây dựng tương tự: cho 12 — chia hết cho 3 và 4, cho 15 — cho 3 và 5, cho 18 — cho 2 và 9, cho 45 — cho 5 và 9.
Dấu hiệu chia hết cho 11
Dấu hiệu chia hết cho 11 sử dụng tổng các chữ số đan dấu. Các chữ số được cộng lại, bắt đầu từ chữ số cuối cùng, lần lượt thay đổi dấu: cộng, trừ, cộng, trừ. Nếu kết quả chia hết cho 11 (bao gồm cả bằng 0), thì toàn bộ số đó cũng chia hết cho 11.
Dấu hiệu này thường được phát biểu khác đi: hiệu giữa tổng các chữ số ở vị trí lẻ và tổng các chữ số ở vị trí chẵn phải chia hết cho 11. Đây là cùng một quy tắc.
Ví dụ về dấu hiệu chia hết
Ví dụ 1. Số 7254 chia hết cho những số nào
Bài tập. Xác định số 7254 chia hết cho những số nào trong các số 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10.
Bước 1. Cho 2. Chữ số cuối cùng là 4 — số chẵn. Chia hết: 7254 : 2 = 3627.
Bước 2. Cho 5 và 10. Số kết thúc bằng 4, không phải 0 hoặc 5. Không chia hết cho cả 5 và 10.
Bước 3. Cho 3 và 9. Tổng các chữ số: 7 + 2 + 5 + 4 = 18. Nó chia hết cho cả 3 và 9. Vậy, 7254 : 3 = 2418 và 7254 : 9 = 806.
Bước 4. Cho 6. Số chia hết cho cả 2 và 3 — vậy nó chia hết cho 6: 7254 : 6 = 1209.
Bước 5. Cho 4. Hai chữ số cuối cùng tạo thành 54, và 54 không chia hết cho 4. Không chia hết.
Đáp án. 7254 chia hết cho 2, 3, 6 và 9.
Ví dụ 2. Số 4715 có chia hết cho 3 và 9 không
Bài tập. Kiểm tra tính chia hết của số 4715 cho 3 và 9.
Bước 1. Cộng các chữ số: 4 + 7 + 1 + 5 = 17.
Bước 2. Cho 3. 17 không chia hết cho 3 (các bội số gần nhất là 15 và 18). Vậy, 4715 cũng không chia hết cho 3.
Bước 3. Cho 9. 17 càng không chia hết cho 9. Vậy, 4715 cũng không chia hết cho 9.
Số này vẫn chia hết cho cái gì. Chữ số cuối cùng là 5 → số này chia hết cho 5: 4715 : 5 = 943. Không chia hết cho 2 và 10 — vì nó là số lẻ.
Đáp án. Số 4715 không chia hết cho cả 3 và 9.
Ví dụ 3. Tính chia hết cho 4 và 8: số 6248
Bài tập. Kiểm tra xem 6248 có chia hết cho 4 và 8 không.
Bước 1. Cho 4. Lấy hai chữ số cuối cùng: 48. Số 48 chia hết cho 4 (48 : 4 = 12), vậy 6248 cũng chia hết: 6248 : 4 = 1562.
Bước 2. Cho 8. Lấy ba chữ số cuối cùng: 248. Chia: 248 : 8 = 31 — chia hết. Vậy, 6248 : 8 = 781.
Cẩn thận với suy luận ngược. Từ tính chia hết cho 4 không suy ra tính chia hết cho 8: với số 6244, 'đuôi' 44 chia hết cho 4 (6244 : 4 = 1561), nhưng ba chữ số cuối cùng 244 không chia hết cho 8 — số này không chia hết cho 8.
Đáp án. 6248 chia hết cho cả 4 và 8.
Ví dụ 4. Dấu hiệu chia hết cho 11: số 2926
Bài tập. Kiểm tra xem 2926 có chia hết cho 11 không.
Bước 1. Viết các chữ số và đặt dấu từ cuối: chữ số cuối cùng mang dấu cộng, tiếp theo lần lượt là trừ và cộng.
Bước 2. Tính tổng các chữ số đan dấu: 6 − 2 + 9 − 2 = 11.
Bước 3. Kết quả 11 chia hết cho 11 → toàn bộ số cũng chia hết.
Kiểm tra bằng phép chia. 2926 : 11 = 266.
Đáp án. 2926 chia hết cho 11.
Ví dụ 5. Rút gọn phân số bằng dấu hiệu chia hết
Bài tập. Rút gọn phân số 270/378.
Bước 1. Tính tổng các chữ số: 2 + 7 + 0 = 9 và 3 + 7 + 8 = 18. Cả hai đều chia hết cho 9 → cả tử số và mẫu số đều chia hết cho 9.
Bước 2. Rút gọn cho 9: 270 : 9 = 30, 378 : 9 = 42. Ta được 30/42.
Bước 3. Cả hai số đều là số chẵn → rút gọn cho 2: 30 : 2 = 15, 42 : 2 = 21. Ta được 15/21.
Bước 4. Tổng các chữ số là 6 và 3 chia hết cho 3 → rút gọn cho 3.
Đáp án. 270/378 = 5/7.
Lỗi thường gặp với dấu hiệu chia hết
-
Kiểm tra tính chia hết cho 6 chỉ dựa vào tính chẵn lẻ: vì số này chẵn — nên nó chia hết cho 6.
Cần cả hai điều kiện cùng lúc: chia hết cho cả 2 và 3. Số 7124 là số chẵn, nhưng tổng các chữ số của nó là 14 không chia hết cho 3, do đó nó không chia hết cho 6. Ngược lại: 3471 thỏa mãn dấu hiệu chia hết cho 3 (tổng là 15, 3471 : 3 = 1157), nhưng là số lẻ — nó cũng không chia hết cho 6.
-
Xem một chữ số cuối cùng cho tính chia hết cho 4: '8 chia hết cho 4, vậy 9138 cũng phù hợp'.
Đối với số 4, lấy HAI chữ số cuối cùng. Với 9138, đó là 38, và 38 không chia hết cho 4. Ví dụ đúng: với 9136, 'đuôi' là 36, 36 : 4 = 9, vậy 9136 : 4 = 2284. Đối với số 8, 'đuôi' còn dài hơn — ba chữ số.
-
Kiểm tra dấu hiệu chia hết cho 9 theo chữ số cuối cùng: tìm các số kết thúc bằng 9 hoặc 0.
Chữ số cuối cùng không có ý nghĩa đối với số 9. Tính tổng tất cả các chữ số: với 4563, tổng là 18, tổng chia hết cho 9 — và số đó chia hết (4563 : 9 = 507), mặc dù nó kết thúc bằng 3.
-
Cho rằng nếu một số chia hết cho 3 thì nó cũng chia hết cho 9.
Chỉ đúng theo một chiều: chia hết cho 9 → chia hết cho 3. Điều ngược lại không đúng. Với 8241, tổng các chữ số là 15: chia hết cho 3 (8241 : 3 = 2747), nhưng không chia hết cho 9.
-
Đối với dấu hiệu chia hết cho 11, chỉ cần cộng tất cả các chữ số, giống như đối với 3 và 9.
Với số 11, tổng là đan dấu: các chữ số được cộng lại từ cuối, thay đổi dấu sau mỗi chữ số. Với 6479, đó là 9 − 7 + 4 − 6 = 0 → chia hết (6479 : 11 = 589). Tổng các chữ số thông thường ở đây là 26 và không nói lên điều gì.
-
Nhầm lẫn dấu hiệu chia hết với chính phép chia: khi được hỏi '5391 có chia hết cho 9 không', trả lời 'có, 18'.
18 là tổng các chữ số, kết quả trung gian của dấu hiệu. Thương số được tính riêng: 5391 : 9 = 599. Dấu hiệu chỉ trả lời 'chia hết / không chia hết'.
Câu hỏi và trả lời
Dấu hiệu chia hết nói một cách đơn giản là gì?
Đó là một quy tắc cho phép xác định một số có chia hết cho một số khác hay không mà không cần thực hiện phép chia. Thông thường, chỉ cần nhìn vào các chữ số cuối cùng của số đó hoặc cộng tất cả các chữ số của nó.
Làm sao để biết một số có chia hết cho 3 không?
Cộng tất cả các chữ số của số đó lại. Nếu tổng thu được chia hết cho 3, thì bản thân số đó cũng chia hết cho 3. Ví dụ, với 2571, tổng các chữ số là 2 + 5 + 7 + 1 = 15, và 15 chia hết cho 3 → 2571 : 3 = 857.
Dấu hiệu chia hết cho 3 khác với dấu hiệu cho 9 như thế nào?
Quy tắc giống nhau — tính tổng các chữ số, nhưng kiểm tra nó với các số khác nhau: đối với số 3, tổng phải chia hết cho 3; đối với số 9 — tổng phải chia hết cho 9. Do đó, bất kỳ số nào chia hết cho 9 thì cũng chia hết cho 3, còn điều ngược lại không phải lúc nào cũng đúng: với 9420, tổng các chữ số là 15 chia hết cho 3 (9420 : 3 = 3140), nhưng không chia hết cho 9.
Phải làm gì nếu tổng các chữ số quá lớn?
Áp dụng dấu hiệu này một lần nữa — cho chính tổng đó. Với số 777 771, tổng các chữ số là 36, với 36, tổng là 3 + 6 = 9. Số 9 chia hết cho 9, vậy số ban đầu cũng chia hết cho 9 (và đồng thời cho 3): 777 771 : 9 = 86 419.
Có dấu hiệu chia hết cho 7 không?
Không có quy tắc đơn giản như tổng các chữ số cho số 7, và nó không được đưa vào bảng dấu hiệu chia hết trong chương trình học. Có một phương pháp: bỏ chữ số cuối cùng, nhân đôi nó và trừ khỏi số còn lại. Ví dụ, với 343: bỏ 3, nhân đôi — 6, tính 34 − 6 = 28. Số 28 chia hết cho 7, vậy 343 cũng chia hết: 343 : 7 = 49.
Dấu hiệu chia hết cho 12, 15 và 45 là gì?
Chúng là các dấu hiệu tổng hợp — một số phải thỏa mãn đồng thời hai dấu hiệu: cho 12 — chia hết cho 3 và 4, cho 15 — cho 3 và 5, cho 45 — cho 5 và 9. Quan trọng là các thừa số phải nguyên tố cùng nhau: phân tích 12 = 2 · 6 là không phù hợp, vì 18 chia hết cho cả 2 và 6, nhưng không chia hết cho 12.
Dấu hiệu chia hết được học ở lớp mấy?
Ở lớp 6 trong các tiết học toán: trước tiên là dấu hiệu cho 10, 5 và 2, sau đó là cho 3 và 9. Dấu hiệu cho 4, 8, 11 và 25 thường được phân tích thêm — chúng sẽ hữu ích khi rút gọn phân số và trong các kỳ thi.
