Cấp số cộng: công thức, công sai và tổng n số hạng đầu

Cấp số cộng là một dãy số mà mỗi số hạng sau được tạo ra từ số hạng trước bằng cách cộng thêm một số không đổi. Số này được gọi là công sai của cấp số cộng và ký hiệu là \(d\).

Định nghĩa bằng một công thức: dãy số \(a_1, a_2, a_3, \dots\) được gọi là cấp số cộng nếu với mọi chỉ số \(n\) ta có đẳng thức

Xét dãy số 3, 7, 11, 15, 19, … Số hạng đầu tiên ở đây là \(a_1 = 3\), và công sai \(d = 4\): mỗi số hạng sau lớn hơn số hạng trước đúng 4 đơn vị. Do đó, số hạng tiếp theo là 23, và trước số 3 (nếu kéo dài về phía trước) sẽ là số 1 với dấu trừ.

Toàn bộ cấp số cộng được xác định chỉ bởi hai số — số hạng đầu \(a_1\) và công sai \(d\). Biết cặp số này, ta có thể xác định bất kỳ số hạng nào, tính tổng của bao nhiêu số hạng đầu tùy ý và kiểm tra xem một số cho trước có xuất hiện trong dãy hay không. Cấp số cộng được ký hiệu là \((a_n)\), và các số hạng của nó là \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\) và vân vân, trong đó chỉ số dưới luôn biểu thị thứ tự, chứ không phải giá trị.

Công sai luôn là số hạng sau trừ đi số hạng trước:

Thứ tự phép trừ rất quan trọng: nếu trừ ngược lại, dấu của công sai sẽ bị đổi. Đối với dãy số 20, 17, 14, 11, 8, công sai là \(17 - 20 = -3\), chứ không phải \(+3\).

Dấu của \(d\) hoàn toàn xác định hành vi của cấp số cộng:

• \(d > 0\) — cấp số cộng tăng, các số hạng tăng dần;
• \(d < 0\) — cấp số cộng giảm, các số hạng giảm dần;
• \(d = 0\) — tất cả các số hạng bằng nhau, ví dụ 6, 6, 6, 6, … Đây cũng là cấp số cộng, chỉ là hằng số.

Nếu biết hai số hạng với các chỉ số khác nhau, công sai được tìm theo công thức

Ví dụ. Giả sử \(a_4 = 30\) và \(a_{10} = 6\). Khi đó \(d = \dfrac{6 - 30}{10 - 4} = \dfrac{-24}{6} = -4\), và số hạng đầu tiên là \(a_1 = a_4 - 3d = 30 + 12 = 42\). Kiểm tra phần đầu của cấp số cộng: 42, 38, 34, 30 — số hạng thứ tư đúng là 30.

Công sai không nhất thiết phải là số nguyên: dãy số 1; 1,5; 2; 2,5 có công sai là 0,5, và đây là một cấp số cộng hoàn chỉnh.

Công thức chính của chủ đề cho phép tìm bất kỳ số hạng nào mà không cần liệt kê tất cả các số hạng trước đó:

Tại sao lại là \(n - 1\)? Để đi từ số hạng thứ nhất đến số hạng thứ \(n\), ta cộng công sai không phải \(n\) lần, mà ít hơn một lần: đến số hạng thứ hai — một bước, đến số hạng thứ ba — hai bước, đến số hạng thứ hai mươi — mười chín bước.

Ví dụ. Đối với cấp số cộng 3, 7, 11, 15, 19, … ta có \(a_1 = 3\) và \(d = 4\), do đó

Biểu thức rút gọn như vậy rất tiện lợi: ta thấy ngay rằng \(a_{20} = 4\cdot 20 - 1 = 79\), và \(a_{100} = 399\). Đồng thời, nó gợi ý về công sai: công thức số hạng thứ \(n\) của bất kỳ cấp số cộng nào là một hàm tuyến tính, có dạng \(a_n = dn + c\), và hệ số đứng trước \(n\) chính là công sai.

Đôi khi số hạng đầu tiên không biết, nhưng biết một số hạng khác. Khi đó, ý tưởng tương tự hoạt động ở dạng tổng quát: \(a_n = a_k + (n - k)d\).

Mọi số hạng của cấp số cộng, trừ số hạng đầu tiên, bằng trung bình cộng của hai số hạng liền kề với nó:

Chính vì vậy cấp số cộng mới có tên gọi là cấp số cộng. Đẳng thức này cũng hoạt động theo chiều ngược lại: nếu trong một dãy số, mỗi số hạng ở giữa bằng nửa tổng của hai số hạng liền kề, thì dãy số đó là một cấp số cộng. Phát biểu như vậy được gọi là dấu hiệu của cấp số cộng, và trong các bài toán, nó được sử dụng để chứng minh ba số tạo thành một cấp số cộng.

Ví dụ. Ba số 7, \(x\), 23 là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng. Khi đó \(x = \dfrac{7 + 23}{2} = 15\). Kiểm tra: 7, 15, 23 — hiệu là 8 và 8, mọi thứ khớp.

Một cách viết khác tiện lợi của cùng tính chất: \(2a_n = a_{n-1} + a_{n+1}\), nghĩa là số hạng ở giữa nhân đôi bằng tổng hai số hạng ở hai đầu. Ở dạng này, tính chất dễ áp dụng hơn khi các số hạng được cho bởi các biểu thức chữ.

Tổng \(S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n\) được tính bằng một trong hai công thức:

Ý tưởng của công thức thứ nhất — chính là điều mà theo truyền thuyết, cậu bé Gauss đã tìm ra khi cộng các số từ 1 đến 100. Nếu cộng số hạng đầu với số hạng cuối, số hạng thứ hai với số hạng áp cuối, v.v., tất cả các cặp đều cho cùng một tổng. Từ đó \(1 + 2 + \dots + 100 = \dfrac{1 + 100}{2}\cdot 100 = 5050\).

Công thức thứ hai thu được từ công thức thứ nhất bằng cách thay thế \(a_n = a_1 + (n-1)d\) — nó cần thiết khi số hạng cuối cùng không được cho và ta không muốn tính riêng nó.

Ví dụ. Tìm tổng 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng 3, 7, 11, 15, 19, …

Theo công thức thứ nhất: \(a_{20} = 79\), do đó \(S_{20} = \dfrac{3 + 79}{2}\cdot 20 = 41\cdot 20 = 820\).

Theo công thức thứ hai: \(S_{20} = \dfrac{2\cdot 3 + 19\cdot 4}{2}\cdot 20 = \dfrac{6 + 76}{2}\cdot 20 = 41\cdot 20 = 820\).

Các kết quả trùng khớp — đây là cách kiểm tra tốt nhất các phép tính.

Câu hỏi «một số có phải là số hạng của cấp số cộng hay không» được giải bằng một phương trình. Một số thuộc cấp số cộng khi và chỉ khi chỉ số \(n\) của nó là một số tự nhiên: 1, 2, 3, v.v. Nếu \(n\) là số thập phân hoặc không dương thì có nghĩa là không có số hạng đó.

Ví dụ 1. Số 99 có thuộc cấp số cộng 3, 7, 11, 15, 19, … không? Công thức số hạng thứ \(n\) ở đây là \(a_n = 4n - 1\), do đó ta giải phương trình \(4n - 1 = 99\), từ đó \(4n = 100\) và \(n = 25\). Chỉ số là số tự nhiên — nghĩa là 99 có trong cấp số cộng, đó là số hạng thứ hai mươi lăm.

Ví dụ 2. Còn số 2026 thì sao? Từ \(4n - 1 = 2026\) ta có \(4n = 2027\) và \(n = 506{,}75\). Chỉ số là số thập phân, do đó 2026 không phải là số hạng của cấp số cộng này.

Một gợi ý hữu ích để ước lượng nhanh: cấp số cộng có công thức \(a_n = 4n - 1\) có tất cả các số hạng khi chia cho 4 đều cho số dư là 3. Số 2026 cho số dư là 2, do đó nó «trượt» khỏi cấp số cộng.

Trong kỳ thi OGE môn Toán, cấp số cộng xuất hiện hàng năm, và hầu hết các bài toán đều thuộc bốn dạng chính.

Tìm số hạng theo chỉ số. Cho \(a_1\) và \(d\) (hoặc một vài số hạng đầu tiên) — thay vào công thức \(a_n = a_1 + (n-1)d\).

Tìm chỉ số theo giá trị. Cho một số — cho nó bằng công thức số hạng thứ \(n\) và giải phương trình tìm \(n\).

Tìm tổng. Tính \(S_n\) theo một trong hai công thức; nếu thiếu \(a_n\) — trước tiên hãy tìm nó.

Tìm số lượng số hạng. Từ công thức số hạng thứ \(n\) ta có một hệ quả tiện lợi: \(n = \dfrac{a_n - a_1}{d} + 1\).

Một dạng riêng biệt là bài toán có lời văn, trong đó cấp số cộng được ẩn trong một câu chuyện. Ví dụ: ngày đầu tiên công nhân làm được 12 chi tiết, và mỗi ngày tiếp theo — nhiều hơn ngày trước 3 chi tiết; hỏi trong 15 ngày anh ta làm được bao nhiêu chi tiết? Ở đây \(a_1 = 12\), \(d = 3\), \(n = 15\). Tính số hạng cuối: \(a_{15} = 12 + 14\cdot 3 = 54\). Khi đó \(S_{15} = \dfrac{12 + 54}{2}\cdot 15 = 33\cdot 15 = 495\) chi tiết.

Lời khuyên chính cho các bài toán như vậy: trước tiên hãy ghi ra một dòng riêng những gì đã cho (\(a_1\), \(d\), \(n\), \(a_n\), \(S_n\)) và những gì cần tìm. Một nửa số lỗi trong kỳ thi xảy ra không phải do công thức, mà do nhầm lẫn giữa chỉ số và giá trị của số hạng.

Cả hai loại cấp số đều là quy tắc để tạo ra số hạng tiếp theo từ số hạng trước đó. Sự khác biệt nằm ở hành động: trong cấp số cộng, ta cộng một số không đổi \(d\) vào số hạng, trong cấp số nhân, ta nhân số hạng với một số không đổi \(q\), được gọi là công bội của cấp số nhân.

Từ đó dẫn đến các hành vi khác nhau. Cấp số cộng tăng trưởng đều đặn, «theo bậc thang»: 3, 7, 11, 15 — mỗi bước cộng thêm 4. Cấp số nhân tăng trưởng theo cấp số nhân: 3, 6, 12, 24 — mỗi bước nhân đôi số đó, và sau mười bước, số hạng sẽ lớn hơn một nghìn rưỡi.

Việc kiểm tra loại dãy số rất đơn giản: hãy tính hiệu của các số hạng liền kề và tỉ số của chúng. Hiệu giống nhau — là cấp số cộng, tỉ số giống nhau — là cấp số nhân. Nếu không khớp cả hai, đó chỉ là một dãy số thông thường: ví dụ, 1, 4, 9, 16 — là bình phương của các số tự nhiên, và nó không phải là cấp số cộng (hiệu 3, 5, 7 khác nhau, tỉ số cũng vậy).

Trong chương trình phổ thông, cả hai chủ đề đều được học liên tiếp trong lớp 9, do đó công thức dễ bị nhầm lẫn. Hãy ghi nhớ điểm mấu chốt: trong cấp số cộng, công sai \(d\) được trừ đi, trong cấp số nhân, công bội \(q\) được chia. Mọi thứ khác là hệ quả.