Trung bình cộng, trung vị, yếu vị và khoảng biến thiên là bốn cách để mô tả một tập hợp các số. Ba trong số đó — trung bình cộng, trung vị và yếu vị — là các số đo xu thế trung tâm: chúng cho biết giá trị "điển hình" trông như thế nào. Số thứ tư, khoảng biến thiên, đo lường mức độ phân tán của dữ liệu. Trên trang này, bạn sẽ tìm thấy định nghĩa rõ ràng cho từng khái niệm, cách tính chính xác (bao gồm cả trường hợp trung vị với số lượng phần tử chẵn), khi nào nên sử dụng từng loại, các ví dụ minh họa, những lỗi thường gặp và bài tập tương tác để thực hành.
Trung bình cộng, trung vị, yếu vị và khoảng biến thiên là gì?
Mỗi số đo trả lời một câu hỏi khác nhau về dữ liệu của bạn:
- Trung bình cộng — giá trị trung bình. Nó cân bằng tất cả các giá trị thành một con số duy nhất.
- Trung vị — giá trị ở giữa sau khi các số đã được sắp xếp.
- Yếu vị — giá trị xuất hiện nhiều lần nhất.
- Khoảng biến thiên — độ phân tán, từ giá trị nhỏ nhất đến giá trị lớn nhất.
Bảng dưới đây cho thấy mỗi số đo là gì và cách tính chính xác. Lưu ý rằng chỉ có yếu vị là liên quan đến tần suất, và chỉ có khoảng biến thiên mô tả sự phân tán thay vì giá trị trung tâm.
| Số đo | Định nghĩa | Cách tính |
|---|---|---|
| Trung bình cộng | Giá trị trung bình | Cộng tất cả các số lại, sau đó chia cho số lượng phần tử |
| Trung vị | Giá trị ở giữa sau khi sắp xếp | Sắp xếp các số; chọn số ở giữa. Nếu có hai số ở giữa, lấy trung bình cộng của chúng |
| Yếu vị | Giá trị xuất hiện nhiều nhất | Tìm giá trị xuất hiện thường xuyên nhất. Có thể không có, một hoặc nhiều yếu vị |
| Khoảng biến thiên | Độ phân tán của dữ liệu | Lấy giá trị lớn nhất trừ đi giá trị nhỏ nhất |
Cách tính trung bình cộng, trung vị và yếu vị
Hãy cùng tính cả bốn số đo trên một tập dữ liệu để thấy sự khác biệt. Lấy các số 4, 8, 8, 5, 3, 8, 6 (bảy giá trị).
Trung bình cộng. Cộng tổng: 4 + 8 + 8 + 5 + 3 + 8 + 6 = 42. Có 7 giá trị, vậy trung bình cộng là 42 ÷ 7 = 6.
Trung vị. Sắp xếp trước: 3, 4, 5, 6, 8, 8, 8. Với 7 giá trị, số ở giữa là số thứ 4, vậy trung vị là 6. (Luôn sắp xếp trước khi chọn số ở giữa — đây là lỗi phổ biến nhất.)
Yếu vị. Giá trị 8 xuất hiện ba lần, nhiều hơn bất kỳ giá trị nào khác, vậy yếu vị là 8.
Khoảng biến thiên. Giá trị lớn nhất là 8 và nhỏ nhất là 3, vậy khoảng biến thiên là 8 − 3 = 5.
Một tập dữ liệu, bốn câu trả lời khác nhau — đó là lý do tại sao chúng ta có bốn số đo.
Khi nào nên sử dụng từng số đo
Các số đo không cạnh tranh nhau — mỗi loại phù hợp nhất cho một loại câu hỏi khác nhau.
- Trung bình cộng là "trung bình" hàng ngày và rất tốt khi các giá trị khá đồng đều, như điểm kiểm tra trung bình hoặc nhiệt độ hàng ngày. Điểm yếu: một giá trị rất lớn hoặc rất nhỏ (giá trị ngoại lai) có thể kéo nó ra xa khỏi giá trị trung tâm.
- Trung vị là giá trị ở giữa, vì vậy các giá trị ngoại lai hầu như không làm thay đổi nó. Đó là lý do tại sao giá nhà và thu nhập thường được báo cáo dưới dạng trung vị — một căn biệt thự sẽ không làm sai lệch giá trị điển hình.
- Yếu vị là số đo duy nhất hoạt động cho những thứ bạn không thể tính trung bình, như cỡ giày bán chạy nhất hoặc màu sắc yêu thích trong lớp. Một tập dữ liệu có thể có một yếu vị, nhiều yếu vị hoặc không có yếu vị nào cả.
- Khoảng biến thiên không mô tả giá trị điển hình — nó cho biết dữ liệu phân tán như thế nào. Khoảng biến thiên nhỏ nghĩa là các giá trị gần nhau; khoảng biến thiên lớn nghĩa là chúng cách xa nhau.
Ví dụ minh họa: từng bước một
Ví dụ 1. Cả bốn số đo trên một tập dữ liệu
Tập dữ liệu: 7, 3, 7, 10, 3, 6, 3
Bước 1 — Sắp xếp các số. 3, 3, 3, 6, 7, 7, 10.
Bước 2 — Trung bình cộng. Cộng chúng lại: 3 + 3 + 3 + 6 + 7 + 7 + 10 = 39. Có 7 giá trị, vậy trung bình cộng là 39 ÷ 7 ≈ 5,57.
Bước 3 — Trung vị. Với 7 giá trị, số ở giữa là số thứ 4 trong danh sách đã sắp xếp: 3, 3, 3, 6, 7, 7, 10. Trung vị là 6.
Bước 4 — Yếu vị. Giá trị 3 xuất hiện ba lần, nhiều hơn bất kỳ giá trị nào khác, vậy yếu vị là 3.
Bước 5 — Khoảng biến thiên. Lớn nhất trừ nhỏ nhất: 10 − 3 = 7.
Kết quả: trung bình cộng ≈ 5,57, trung vị = 6, yếu vị = 3, khoảng biến thiên = 7.
Ví dụ 2. Trung vị với số lượng giá trị chẵn
Tập dữ liệu: 12, 5, 8, 20 (bốn giá trị — số lượng chẵn).
Bước 1 — Sắp xếp. 5, 8, 12, 20.
Bước 2 — Tìm hai giá trị ở giữa. Với số lượng chẵn, không có số ở giữa duy nhất. Ở đây hai giá trị ở giữa là 8 và 12.
Bước 3 — Tính trung bình cộng của chúng. (8 + 12) ÷ 2 = 20 ÷ 2 = 10. Trung vị là 10 — mặc dù 10 không phải là một trong những số ban đầu. Điều đó là bình thường đối với trung vị của tập dữ liệu có số lượng phần tử chẵn.
Ví dụ 3. Tập dữ liệu không có yếu vị
Tập dữ liệu: 2, 5, 9, 11, 14.
Mỗi giá trị xuất hiện đúng một lần, vì vậy không có giá trị nào lặp lại. Tập dữ liệu này không có yếu vị — đó là một câu trả lời hợp lệ, không phải lỗi.
Ngược lại, tập dữ liệu 4, 4, 7, 7, 9 có hai yếu vị (4 và 7) vì cả hai đều xuất hiện nhiều lần nhất. Một tập hợp có hai yếu vị được gọi là đa yếu vị.
Các lỗi thường gặp cần tránh
-
Tìm trung vị mà không sắp xếp các số trước.
Trung vị là giá trị ở giữa của các số theo thứ tự. Luôn sắp xếp từ nhỏ đến lớn trước khi chọn số ở giữa. Trong 7, 2, 9 trung vị là 7 (đã sắp xếp: 2, 7, 9), không phải 9.
-
Với số lượng giá trị chẵn, chỉ chọn một trong hai số ở giữa.
Với số lượng chẵn, không có số ở giữa duy nhất. Lấy hai giá trị ở giữa và tính trung bình cộng của chúng. Với 5, 8, 12, 20 trung vị là (8 + 12) ÷ 2 = 10, không phải 8 hoặc 12.
-
Giả định rằng mọi tập dữ liệu phải có chính xác một yếu vị.
Một tập dữ liệu có thể không có yếu vị (nếu không có gì lặp lại) hoặc nhiều yếu vị (nếu hai hoặc nhiều giá trị cùng xuất hiện nhiều nhất). Cả hai đều là câu trả lời đúng — đừng ép buộc phải có một yếu vị duy nhất.
-
Nhầm lẫn giữa trung bình cộng và trung vị, và coi chúng là một.
Trung bình cộng là giá trị trung bình (cộng tổng và chia); trung vị là giá trị ở giữa theo thứ tự. Chúng thường khác nhau, đặc biệt là khi có giá trị ngoại lai. Với 2, 3, 4, 100 trung bình cộng là 27,25 nhưng trung vị chỉ là 3,5.
-
Nhầm lẫn khoảng biến thiên với yếu vị hoặc quên phép trừ.
Khoảng biến thiên là một số đo độ phân tán: giá trị lớn nhất trừ giá trị nhỏ nhất. Nó là một con số duy nhất mô tả sự phân tán, không phải giá trị xuất hiện nhiều nhất. Với 4, 9, 15 khoảng biến thiên là 15 − 4 = 11.
Các câu hỏi thường gặp
Trung bình cộng, trung vị, yếu vị và khoảng biến thiên là gì?
Trung bình cộng là giá trị trung bình (cộng tất cả các giá trị và chia cho số lượng phần tử). Trung vị là giá trị ở giữa sau khi các số đã được sắp xếp. Yếu vị là giá trị xuất hiện nhiều nhất. Khoảng biến thiên là giá trị lớn nhất trừ đi giá trị nhỏ nhất. Trung bình cộng, trung vị và yếu vị mô tả giá trị điển hình; khoảng biến thiên mô tả dữ liệu phân tán như thế nào.
Làm thế nào để tìm trung bình cộng của một tập dữ liệu?
Cộng tất cả các số lại để có tổng, sau đó chia tổng cho số lượng các số. Ví dụ, trung bình cộng của 4, 6, 8, 2 là (4 + 6 + 8 + 2) ÷ 4 = 20 ÷ 4 = 5.
Làm thế nào để tìm trung vị khi có số lượng giá trị chẵn?
Sắp xếp các số, sau đó lấy hai giá trị ở giữa và tính trung bình cộng của chúng (cộng chúng lại và chia cho 2). Với 5, 8, 12, 20 hai giá trị ở giữa là 8 và 12, vậy trung vị là (8 + 12) ÷ 2 = 10. Kết quả có thể là một số không có trong tập ban đầu.
Sự khác biệt giữa trung bình cộng và trung vị là gì?
Trung bình cộng là trung bình của tất cả các giá trị, vì vậy mọi số đều ảnh hưởng đến nó. Trung vị chỉ là giá trị ở giữa theo thứ tự, vì vậy nó hầu như không bị ảnh hưởng bởi các số rất lớn hoặc rất nhỏ (giá trị ngoại lai). Khi một tập dữ liệu có giá trị ngoại lai, trung vị thường đưa ra giá trị điển hình hơn trung bình cộng.
Một tập dữ liệu có thể có nhiều hơn một yếu vị, hoặc không có yếu vị nào không?
Có. Nếu không có giá trị nào lặp lại, tập dữ liệu không có yếu vị. Nếu hai hoặc nhiều giá trị cùng xuất hiện nhiều nhất, tập hợp có nhiều yếu vị — hai yếu vị được gọi là đa yếu vị. Việc không có yếu vị hoặc có nhiều yếu vị là hoàn toàn hợp lệ.
Các số đo xu thế trung tâm là gì?
Các số đo xu thế trung tâm là những con số duy nhất mô tả tâm hoặc giá trị điển hình của một tập dữ liệu. Ba số đo chính là trung bình cộng, trung vị và yếu vị. Khoảng biến thiên không phải là số đo xu thế trung tâm — thay vào đó, nó đo lường sự phân tán.
