Các hằng đẳng thức đáng nhớ là những công thức đại số giúp chúng ta khai triển biểu thức hoặc phân tích đa thức thành nhân tử một cách nhanh chóng mà không cần nhân đa thức thủ công. Trang này cung cấp bảng tổng hợp 7 hằng đẳng thức cơ bản: bình phương của một tổng và một hiệu, hiệu hai bình phương, lập phương của một tổng và một hiệu, tổng và hiệu hai lập phương. Mỗi công thức đều có giải thích và ví dụ, kèm theo bài tập tương tác ở cuối trang để bạn luyện tập.
Hằng đẳng thức đáng nhớ là gì?
Hằng đẳng thức đáng nhớ là những công thức giúp ta tính toán nhanh kết quả của các phép nhân đa thức. Thay vì phải nhân từng hạng tử, bạn chỉ cần nhận diện "mẫu" và thay các số hoặc biến vào công thức.
Trong chương trình Đại số lớp 8, các hằng đẳng thức được dùng theo hai chiều:
- Từ trái sang phải — để khai triển biểu thức (bình phương hoặc lập phương);
- Từ phải sang trái — để phân tích đa thức thành nhân tử (cần thiết để rút gọn phân thức và giải phương trình).
Có tất cả 7 hằng đẳng thức cần ghi nhớ. Dưới đây là bảng tổng hợp và hướng dẫn chi tiết cho từng công thức.
Bảng các hằng đẳng thức đáng nhớ
Dưới đây là bảng tổng hợp 7 hằng đẳng thức đáng nhớ. Các chữ cái \(a\) và \(b\) có thể là bất kỳ biểu thức nào: số, biến hoặc đơn thức như \(2x\).
| Công thức | Biểu thức |
|---|---|
| Bình phương một tổng | (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 |
| Bình phương một hiệu | (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 |
| Hiệu hai bình phương | a2 − b2 = (a − b)(a + b) |
| Lập phương một tổng | (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 |
| Lập phương một hiệu | (a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3 |
| Tổng hai lập phương | a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2) |
| Hiệu hai lập phương | a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2) |
Bình phương của một tổng và bình phương của một hiệu
Bình phương của một tổng được tính bằng cách nhân \((a+b)\) với chính nó:
Phát biểu: Bình phương của một tổng bằng bình phương số thứ nhất cộng hai lần tích số thứ nhất với số thứ hai cộng bình phương số thứ hai. Tương tự với bình phương của một hiệu, dấu của hạng tử ở giữa sẽ là dấu trừ:
Điều quan trọng là không được quên hạng tử ở giữa \(2ab\): chính vì nó mà \((a+b)^2 \neq a^2 + b^2\). Bình phương của một tổng và một hiệu chỉ khác nhau ở dấu trước \(2ab\), còn các hạng tử \(a^2\) và \(b^2\) luôn mang dấu cộng.
Ví dụ. \((x+3)^2 = x^2 + 2\cdot x\cdot 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9.\)
Bình phương của một tổng có ý nghĩa hình học trực quan: đó là diện tích của một hình vuông lớn có cạnh là \((a+b)\).
Hiệu hai bình phương
Khi nhân tổng và hiệu của cùng hai biểu thức, các hạng tử ở giữa sẽ triệt tiêu lẫn nhau:
Ta có công thức hiệu hai bình phương: \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). Đây là hằng đẳng thức hữu ích nhất để phân tích đa thức thành nhân tử: ngay khi thấy hiệu của hai bình phương, hãy phân tích nó thành tích.
Ví dụ (khai triển). \((x-7)(x+7) = x^2 - 49.\)
Ví dụ (phân tích thành nhân tử). \(x^2 - 16 = x^2 - 4^2 = (x-4)(x+4).\)
Lưu ý: Tổng hai bình phương \(a^2 + b^2\) không thể phân tích thành nhân tử theo công thức này — chỉ có hiệu hai bình phương mới làm được.
Lập phương của một tổng, lập phương của một hiệu, tổng và hiệu hai lập phương
Lập phương của một tổng và lập phương của một hiệu có bốn hạng tử:
Ở lập phương của một hiệu, các dấu xen kẽ: \(+\,-\,+\,-\). Một lỗi thường gặp: \((a+b)^3 \neq a^3 + b^3\) — không được chỉ đơn giản là "chia" số mũ, các hạng tử ở giữa \(3a^2b\) và \(3ab^2\) không thể bỏ qua.
Ví dụ. \((x+2)^3 = x^3 + 3x^2\cdot 2 + 3x\cdot 2^2 + 2^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8.\)
Riêng tổng và hiệu hai lập phương lại dùng để phân tích đa thức thành nhân tử:
Nhân tử thứ hai được gọi là bình phương thiếu của một tổng hoặc một hiệu. Dấu của hạng tử ở giữa luôn ngược với dấu trong ngoặc đơn đầu tiên: tổng hai lập phương có \(-ab\), hiệu hai lập phương có \(+ab\).
Ví dụ. \(x^3 - 8 = x^3 - 2^3 = (x-2)(x^2 + 2x + 4).\)
Ví dụ áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ
Ví dụ 1. Khai triển biểu thức: Bình phương của một tổng
Đề bài. Tính \((2x+5)^2\).
Bước 1. Nhận diện công thức bình phương của một tổng: \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\), với \(a = 2x\), \(b = 5\).
Bước 2. Tính từng hạng tử:
- \(a^2 = (2x)^2 = 4x^2\);
- \(2ab = 2\cdot 2x\cdot 5 = 20x\);
- \(b^2 = 5^2 = 25\).
Kết quả. \((2x+5)^2 = 4x^2 + 20x + 25.\)
Ví dụ 2. Sử dụng công thức hiệu hai bình phương
Đề bài. Tính \((3x-4)(3x+4)\).
Bước 1. Đây là tích của hiệu và tổng của cùng hai biểu thức — công thức hiệu hai bình phương \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\), với \(a = 3x\), \(b = 4\).
Bước 2. Bình phương từng biểu thức: \(a^2 = (3x)^2 = 9x^2\), \(b^2 = 4^2 = 16\).
Kết quả. \((3x-4)(3x+4) = 9x^2 - 16.\)
Ví dụ 3. Phân tích thành nhân tử
Đề bài. Phân tích \(x^2 - 36\) và \(x^3 + 27\) thành nhân tử.
Hiệu hai bình phương. \(x^2 - 36 = x^2 - 6^2 = (x-6)(x+6).\)
Tổng hai lập phương. Ta thấy \(27 = 3^3\), nên \(x^3 + 27 = x^3 + 3^3\). Áp dụng công thức \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\) với \(a = x\), \(b = 3\):
Chú ý dấu \(-3x\) trong bình phương thiếu — ở tổng hai lập phương, hạng tử ở giữa mang dấu trừ.
Ví dụ 4. Lập phương của một tổng
Đề bài. Khai triển \((x+2)^3\).
Bước 1. Công thức lập phương của một tổng: \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\), với \(a = x\), \(b = 2\).
Bước 2. Tính các hạng tử theo thứ tự:
- \(a^3 = x^3\);
- \(3a^2b = 3\cdot x^2\cdot 2 = 6x^2\);
- \(3ab^2 = 3\cdot x\cdot 2^2 = 12x\);
- \(b^3 = 2^3 = 8\).
Kết quả. \((x+2)^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8.\)
Các lỗi thường gặp khi làm việc với hằng đẳng thức
-
Quên nhân đôi hạng tử ở giữa: viết $(a+b)^2 = a^2 + b^2$.
Trong bình phương của một tổng và một hiệu luôn có hạng tử ở giữa \(2ab\): \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\). Rất dễ kiểm tra — hãy nhân \((a+b)(a+b)\) theo cột dọc, hạng tử ở giữa sẽ xuất hiện.
-
Nhầm lẫn dấu trong bình phương của một hiệu và hiệu hai bình phương.
Trong bình phương của một hiệu, dấu trừ chỉ nằm ở hạng tử ở giữa: \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) (các hạng tử ngoài cùng mang dấu cộng). Còn trong hiệu hai bình phương, dấu trừ nằm giữa hai bình phương: \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b).\) Đây là hai công thức khác nhau.
-
"Chia" số mũ cho lập phương: $(a+b)^3 = a^3 + b^3$.
Không được làm như vậy. Lập phương của một tổng có bốn hạng tử: \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\). Công thức \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\) là tổng hai lập phương, dùng để phân tích thành nhân tử.
-
Trong bình phương thiếu của tổng/hiệu hai lập phương, lại nhân đôi hạng tử ở giữa $2ab$.
Bình phương thiếu là \(a^2 \pm ab + b^2\), không có số 2 trước \(ab\). Dấu của nó ngược với dấu trong ngoặc đơn đầu tiên: tổng hai lập phương \((a+b)(a^2 - ab + b^2)\), hiệu hai lập phương \((a-b)(a^2 + ab + b^2)\).
-
Cố gắng phân tích tổng hai bình phương $a^2 + b^2$ thành nhân tử.
Chỉ có hiệu hai bình phương \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\) mới phân tích được thành nhân tử. Tổng hai bình phương \(a^2 + b^2\) không phân tích được trong chương trình phổ thông.
Hỏi đáp
Có tất cả bao nhiêu hằng đẳng thức đáng nhớ?
Có bảy: bình phương một tổng, bình phương một hiệu, hiệu hai bình phương, lập phương một tổng, lập phương một hiệu, tổng hai lập phương và hiệu hai lập phương. Tất cả đều được tổng hợp trong bảng trên.
Bình phương của một tổng bằng gì?
Bằng bình phương số thứ nhất cộng hai lần tích số thứ nhất với số thứ hai cộng bình phương số thứ hai: \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\). Với bình phương của một hiệu, hạng tử ở giữa mang dấu trừ: \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).
Làm thế nào để phân tích hiệu hai bình phương thành nhân tử?
Theo công thức \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). Ví dụ, \(x^2 - 25 = x^2 - 5^2 = (x-5)(x+5)\). Chỉ cần nhận ra cả hai hạng tử đều là bình phương và ở giữa là dấu trừ.
Tại sao $(a+b)^2$ không bằng $a^2 + b^2$?
Vì khi nhân \((a+b)(a+b)\), sẽ xuất hiện thêm hai hạng tử \(ab\) giống nhau, tạo thành hạng tử ở giữa \(2ab\). Không được bỏ qua nó: công thức đúng là \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).
Lập phương của một tổng khác tổng hai lập phương như thế nào?
Lập phương của một tổng \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\) là dùng để khai triển. Tổng hai lập phương \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\) là dùng để phân tích thành nhân tử. Đây là hai công thức khác nhau, đừng nhầm lẫn.
Hằng đẳng thức đáng nhớ được học ở lớp mấy?
Thường là ở lớp 8 trong chương trình Đại số: bắt đầu với bình phương của một tổng và một hiệu, hiệu hai bình phương, sau đó là các công thức lập phương. Chúng được sử dụng thường xuyên để rút gọn biểu thức, rút gọn phân thức và giải phương trình.
