Квадратне рівняння — це рівняння вигляду \(ax^2 + bx + c = 0\), де \(a \neq 0\). Кількість його коренів визначає дискримінант \(D = b^2 - 4ac\), а самі корені знаходять за формулою \(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\). На цій сторінці зібрано все за темою: стандартна форма та коефіцієнти, три види неповних рівнянь, дискримінант і три випадки, формула коренів та її «парний» варіант, зведене рівняння та теорема Вієта, розкладання на множники та біквадратні рівняння — з покроковими прикладами, розбором частих помилок та інтерактивним тренажером.
Що таке квадратне рівняння
Квадратне рівняння — це рівняння вигляду
де \(x\) — невідоме, а \(a\), \(b\), \(c\) — числа (коефіцієнти), причому \(a \neq 0\). Такий запис називається стандартною формою квадратного рівняння: зліва доданки йдуть за спаданням степеня, справа стоїть нуль.
Умова \(a \neq 0\) — не формальність. Саме доданок \(ax^2\) робить рівняння квадратним: при \(a = 0\) залишається \(bx + c = 0\), тобто звичайне лінійне рівняння з одним коренем. Тому в задачах з параметром насамперед перевіряють, чи не перетворюється старший коефіцієнт на нуль.
Звести рівняння до стандартного вигляду можна майже завжди: розкрити дужки, перенести всі доданки в ліву частину та звести подібні. Наприклад, \(5x^2 = 3x - 2\) після перенесення перетворюється на \(5x^2 - 3x + 2 = 0\), звідки \(a = 5\), \(b = -3\), \(c = 2\). Слово «квадратичне рівняння» означає рівно те саме — це просто інший варіант назви.
Повні та неповні квадратні рівняння
Якщо всі три коефіцієнти відмінні від нуля, рівняння називають повним. Якщо \(b\) або \(c\) (або обидва) дорівнюють нулю — неповним. Неповних видів рівно три, і жоден з них не потребує дискримінанта: кожен розв'язується за один-два рядки, і це найшвидший спосіб заощадити час на контрольній.
Ключова ідея для \(ax^2 + bx = 0\) — винесення спільного множника. Добуток \(x(ax + b)\) дорівнює нулю тоді й лише тоді, коли нулю дорівнює хоча б один множник, звідси одразу два корені. Для \(ax^2 + c = 0\) ідея інша: виразити \(x^2\) і подивитися на знак отриманого числа — квадрат дійсного числа не буває від'ємним.
| Вид рівняння | Як розв'язувати |
|---|---|
| ax2 + c = 02x2 − 50 = 0 | Перенести c вправо і поділити на a: x2 = −c/a. Добути корінь, не загубивши другий знак.x = 5 та x = −5 |
| ax2 + bx = 0x2 + 7x = 0 | Винести x за дужки: x(ax + b) = 0. Добуток дорівнює нулю, коли нулю дорівнює один із множників.x = 0 та x = −7 |
| ax2 = 09x2 = 0 | Поділити на a і добути корінь з нуля. Корінь завжди рівно один.x = 0 |
Дискримінант: як знайти і скільки буде коренів
Дискримінант — це число, яке рахують за коефіцієнтами повного рівняння:
Саме слово означає «розрізнювач»: дискримінант нічого не розв'язує, він лише розрізняє три ситуації — коренів два, корінь один або коренів немає зовсім. Тому питання «скільки коренів у рівняння» вирішується без знаходження самих коренів.
Рахувати \(D\) потрібно акуратно: \(b^2\) завжди додатне, навіть якщо сам \(b\) від'ємний, а знаки \(a\) та \(c\) входять у добуток \(4ac\) як є. Візьмемо \(x^2 + 4x - 5 = 0\): тут \(a = 1\), \(b = 4\), \(c = -5\), отже \(D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36\). Дискримінант додатний, і коренів буде два.
Формула коренів квадратного рівняння
Коли \(D \ge 0\), корені знаходять за головною формулою теми:
Знак \(\pm\) означає два обчислення: один раз із додаванням, інший — із відніманням. При \(D = 0\) обидва обчислення дають одне й те саме число \(x = -\dfrac{b}{2a}\) — цей корінь називають двократним.
Два місця, де найчастіше помиляються: у чисельнику стоїть мінус \(b\) (для \(b = -7\) це \(+7\)), а в знаменнику — \(2a\), а не просто \(2\). При \(a = 1\) різниці не видно, тому помилка вилазить саме там, де старший коефіцієнт відрізняється від одиниці.
Розв'яжемо \(2x^2 - 9x - 5 = 0\): \(D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 81 + 40 = 121\), \(\sqrt{D} = 11\), тому \(x_1 = \dfrac{9 + 11}{4} = 5\) і \(x_2 = \dfrac{9 - 11}{4} = -0{,}5\).
Парний другий коефіцієнт: формула з D₁
Якщо \(b\) — парне число, його зручно записати як \(b = 2k\) і рахувати «зменшений» дискримінант:
Числа в обчисленнях стають у чотири рази меншими (\(D = 4D_1\)), а знак у \(D_1\) той самий, що у \(D\) — отже, висновок про кількість коренів не змінюється.
Приклад: \(3x^2 + 8x - 3 = 0\). Тут \(b = 8\), тобто \(k = 4\), і \(D_1 = 4^2 - 3 \cdot (-3) = 16 + 9 = 25\), \(\sqrt{D_1} = 5\). Тоді \(x_1 = \dfrac{-4 + 5}{3} = \dfrac{1}{3}\) і \(x_2 = \dfrac{-4 - 5}{3} = -3\). За звичайною формулою довелося б працювати з \(D = 100\) — результат той самий, а арифметики більше.
Зведене рівняння та теорема Вієта
Рівняння з \(a = 1\) називають зведеним і записують як \(x^2 + px + q = 0\). Будь-яке квадратне рівняння зводиться до такого вигляду діленням на \(a\): наприклад, \(4x^2 - 12x + 8 = 0\) після ділення на 4 стає \(x^2 - 3x + 2 = 0\).
Зведена форма цінна тим, що для неї працює теорема Вієта: сума коренів дорівнює \(-p\), а добуток дорівнює \(q\). Для \(x^2 - 7x + 10 = 0\) потрібні два числа з сумою 7 і добутком 10 — це 2 і 5, і дискримінант рахувати не довелося.
Підбір за Вієтом виручає, коли корені цілі й невеликі, а ще він безкоштовно перевіряє відповідь, знайдену через дискримінант: сума повинна дати \(-p\), добуток — \(q\). Формули для загального вигляду, обернена теорема та алгоритм підбору розібрані в окремому матеріалі — теорема Вієта.
Розкладання квадратного тричлена на множники
Якщо корені \(x_1\) і \(x_2\) знайдені, квадратний тричлен розкладається на множники:
Множник \(a\) забувати не можна — без нього рівність перестає бути правильною. Перевірити розкладання завжди легко: розкрити дужки й порівняти з початковим тричленом. Скажімо, у \(x^2 + 2x - 8\) корені дорівнюють 2 і \(-4\), тому \(x^2 + 2x - 8 = (x - 2)(x + 4)\).
Працює і зворотний хід: якщо тричлен вдалося розкласти усно, корені видно одразу і дискримінант не потрібен. Тут допомагають формули скороченого множення — наприклад, \(x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)\) дає корені \(4\) і \(-4\) миттєво.
Третій спосіб обійтися без формули коренів — виділення повного квадрата. У \(x^2 + 6x + 5 = 0\) перші два доданки доповнюють до квадрата суми: \((x + 3)^2 - 9 + 5 = 0\), тобто \((x + 3)^2 = 4\), звідки \(x + 3 = \pm 2\) і \(x = -1\) або \(x = -5\). Саме цим прийомом формула коренів і виводиться в загальному вигляді.
Рівняння, що зводяться до квадратних: біквадратні
Біквадратне рівняння має вигляд \(ax^4 + bx^2 + c = 0\): степені тільки парні. Воно розв'язується заміною \(t = x^2\), причому обов'язково з умовою \(t \ge 0\) — квадрат дійсного числа від'ємним не буває.
Після заміни виходить звичайне квадратне рівняння \(at^2 + bt + c = 0\). Його розв'язують дискримінантом, а потім для кожного невід'ємного кореня \(t\) повертаються до \(x = \pm\sqrt{t}\). Звідси й кількість коренів: до чотирьох.
Наприклад, \(x^4 - 5x^2 + 4 = 0\) після заміни дає \(t^2 - 5t + 4 = 0\) з коренями \(t = 1\) і \(t = 4\). Обидва додатні, тому \(x = \pm 1\) і \(x = \pm 2\) — всього чотири корені. Якби один із \(t\) виявився від'ємним, його просто відкинули б.
Тим самим прийомом розв'язують дробово-раціональні рівняння (після зведення до спільного знаменника і відкидання заборонених значень) та рівняння із заміною вигляду \(t = x^2 + 3x\).
Приклади розв'язання квадратних рівнянь
Приклад 1. Повне рівняння, D > 0
Розв'язати \(3x^2 - 7x + 2 = 0\).
Крок 1. Рівняння вже в стандартному вигляді: \(a = 3\), \(b = -7\), \(c = 2\).
Крок 2. \(D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25 > 0\) — коренів два.
Крок 3. \(\sqrt{D} = 5\), тому \(x_{1,2} = \dfrac{7 \pm 5}{6}\): \(x_1 = \dfrac{12}{6} = 2\), \(x_2 = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}\).
Крок 4. Перевірка підстановкою. \(3 \cdot 2^2 - 7 \cdot 2 + 2 = 12 - 14 + 2 = 0\); \(3 \cdot \left(\tfrac{1}{3}\right)^2 - 7 \cdot \tfrac{1}{3} + 2 = \tfrac{1}{3} - \tfrac{7}{3} + 2 = 0\).
Відповідь: \(x_1 = 2\), \(x_2 = \dfrac{1}{3}\).
Приклад 2. Дискримінант дорівнює нулю
Розв'язати \(4x^2 - 12x + 9 = 0\).
Крок 1. \(a = 4\), \(b = -12\), \(c = 9\).
Крок 2. \(D = (-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 144 - 144 = 0\) — корінь один.
Крок 3. \(x = -\dfrac{b}{2a} = \dfrac{12}{8} = 1{,}5\).
Крок 4. Перевірка. \(4 \cdot 1{,}5^2 - 12 \cdot 1{,}5 + 9 = 9 - 18 + 9 = 0\).
Відповідь: \(x = 1{,}5\). Зауваж: ліва частина — це повний квадрат \((2x - 3)^2\), тому корінь і вийшов один.
Приклад 3. Дискримінант від'ємний
Розв'язати \(2x^2 + 3x + 5 = 0\).
Крок 1. \(a = 2\), \(b = 3\), \(c = 5\).
Крок 2. \(D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 9 - 40 = -31 < 0\).
Крок 3. Дискримінант від'ємний, отже добути \(\sqrt{D}\) серед дійсних чисел не можна. Формулу коренів застосовувати не потрібно — розв'язання на цьому закінчено.
Відповідь: дійсних коренів немає. Це повноцінна відповідь, а не ознака помилки: графік функції \(y = 2x^2 + 3x + 5\) просто не перетинає вісь \(x\).
Приклад 4. Неповне рівняння вигляду ax² + c = 0
Розв'язати \(3x^2 - 27 = 0\).
Крок 1. Переносимо вільний член: \(3x^2 = 27\).
Крок 2. Ділимо на 3: \(x^2 = 9\).
Крок 3. Квадрат дорівнює 9 у двох чисел: \(x = 3\) і \(x = -3\). Другий знак втрачають найчастіше.
Крок 4. Перевірка. \(3 \cdot 3^2 - 27 = 0\); \(3 \cdot (-3)^2 - 27 = 27 - 27 = 0\).
Відповідь: \(x_1 = 3\), \(x_2 = -3\). Порівняй із рівнянням \(2x^2 + 8 = 0\): там \(x^2 = -4\), і дійсних коренів немає.
Приклад 5. Неповне рівняння вигляду ax² + bx = 0
Розв'язати \(5x^2 - 15x = 0\).
Крок 1. Виносимо спільний множник: \(5x(x - 3) = 0\).
Крок 2. Добуток дорівнює нулю, коли нулю дорівнює один із множників: \(5x = 0\) або \(x - 3 = 0\).
Крок 3. Звідси \(x_1 = 0\), \(x_2 = 3\).
Крок 4. Перевірка. \(5 \cdot 0^2 - 15 \cdot 0 = 0\); \(5 \cdot 3^2 - 15 \cdot 3 = 45 - 45 = 0\).
Відповідь: \(x_1 = 0\), \(x_2 = 3\). Якщо скоротити початкове рівняння на \(x\), залишиться тільки \(x = 3\) — корінь \(x = 0\) зникне. Ділити на вираз із невідомим не можна.
Приклад 6. Парний другий коефіцієнт
Розв'язати \(5x^2 - 22x + 8 = 0\).
Крок 1. \(b = -22\) — парне, тому \(k = -11\), а \(a = 5\), \(c = 8\).
Крок 2. \(D_1 = k^2 - ac = (-11)^2 - 5 \cdot 8 = 121 - 40 = 81\), \(\sqrt{D_1} = 9\).
Крок 3. \(x_{1,2} = \dfrac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a} = \dfrac{11 \pm 9}{5}\): \(x_1 = 4\), \(x_2 = \dfrac{2}{5} = 0{,}4\).
Крок 4. Перевірка. \(5 \cdot 4^2 - 22 \cdot 4 + 8 = 80 - 88 + 8 = 0\); \(5 \cdot 0{,}4^2 - 22 \cdot 0{,}4 + 8 = 0{,}8 - 8{,}8 + 8 = 0\).
Відповідь: \(x_1 = 4\), \(x_2 = 0{,}4\). Звичайний дискримінант дав би \(D = 324\) — та сама відповідь, але рахувати довелося б довше.
Приклад 7. Спочатку звести до стандартного вигляду
Розв'язати \((x - 3)(x + 5) = 9\).
Крок 1. Розкриваємо дужки: \(x^2 + 5x - 3x - 15 = 9\), тобто \(x^2 + 2x - 15 = 9\).
Крок 2. Переносимо дев'ятку вліво: \(x^2 + 2x - 24 = 0\). Тільки тепер можна виписувати коефіцієнти: \(a = 1\), \(b = 2\), \(c = -24\).
Крок 3. \(D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100\), \(\sqrt{D} = 10\), \(x_{1,2} = \dfrac{-2 \pm 10}{2}\): \(x_1 = 4\), \(x_2 = -6\).
Крок 4. Перевірка в початковому рівнянні. \((4 - 3)(4 + 5) = 1 \cdot 9 = 9\); \((-6 - 3)(-6 + 5) = (-9) \cdot (-1) = 9\).
Відповідь: \(x_1 = 4\), \(x_2 = -6\). Часта помилка тут — прирівняти кожну дужку до 9: правило «добуток дорівнює нулю» працює тільки для нуля.
Приклад 8. Розкладання тричлена на множники
Розкласти \(2x^2 - 5x - 3\) на множники.
Крок 1. Прирівнюємо тричлен до нуля і знаходимо корені: \(D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49\), \(\sqrt{D} = 7\), \(x_{1,2} = \dfrac{5 \pm 7}{4}\): \(x_1 = 3\), \(x_2 = -\dfrac{1}{2}\).
Крок 2. Підставляємо у формулу \(a(x - x_1)(x - x_2)\): \(2(x - 3)\left(x + \tfrac{1}{2}\right)\).
Крок 3. Двійку зручно занести в другу дужку: \((x - 3)(2x + 1)\).
Крок 4. Перевірка розкриттям дужок. \((x - 3)(2x + 1) = 2x^2 + x - 6x - 3 = 2x^2 - 5x - 3\).
Відповідь: \(2x^2 - 5x - 3 = (x - 3)(2x + 1)\).
Приклад 9. Біквадратне рівняння
Розв'язати \(x^4 - 13x^2 + 36 = 0\).
Крок 1. Заміна \(t = x^2\), де \(t \ge 0\). Рівняння перетворюється на \(t^2 - 13t + 36 = 0\).
Крок 2. \(D = (-13)^2 - 4 \cdot 36 = 169 - 144 = 25\), \(\sqrt{D} = 5\), \(t_{1,2} = \dfrac{13 \pm 5}{2}\): \(t_1 = 9\), \(t_2 = 4\).
Крок 3. Обидва значення невід'ємні, тому повертаємося до \(x\): з \(x^2 = 9\) отримуємо \(x = \pm 3\), з \(x^2 = 4\) — \(x = \pm 2\).
Крок 4. Перевірка. \(3^4 - 13 \cdot 3^2 + 36 = 81 - 117 + 36 = 0\); \(2^4 - 13 \cdot 2^2 + 36 = 16 - 52 + 36 = 0\). Для від'ємних значень парні степені дають ті самі числа.
Відповідь: \(x = \pm 2\) і \(x = \pm 3\) — чотири корені.
Часті помилки при розв'язанні квадратних рівнянь
-
Рахують дискримінант, не звівши рівняння до стандартного вигляду: для $2x^2 + 3x = x^2 + 5$ одразу беруть $a = 2$, $b = 3$, $c = 0$.
Спочатку переносимо все вліво і зводимо подібні: \(2x^2 + 3x - x^2 - 5 = 0\), тобто \(x^2 + 3x - 5 = 0\). Тільки звідси \(a = 1\), \(b = 3\), \(c = -5\). Формула коренів працює виключно зі стандартним виглядом.
-
Втрачають знак при піднесенні $b$ до квадрата: для $x^2 - 9x + 14 = 0$ пишуть $D = -81 - 56$.
Квадрат будь-якого числа невід'ємний: \((-9)^2 = 81\), а не \(-81\). Правильно \(D = 81 - 56 = 25\), корені \(x = \dfrac{9 \pm 5}{2}\), тобто 7 і 2. Перевірка: \(49 - 63 + 14 = 0\) і \(4 - 18 + 14 = 0\).
-
У чисельнику залишають $b$ замість $-b$: для $x^2 + 5x - 6 = 0$ рахують $x = \dfrac{5 \pm 7}{2}$.
У формулі стоїть \(-b\), тому при \(b = 5\) у чисельнику буде \(-5\): \(x = \dfrac{-5 \pm 7}{2}\), звідки \(x_1 = 1\), \(x_2 = -6\). Підстановка підтверджує: \(1 + 5 - 6 = 0\) і \(36 - 30 - 6 = 0\).
-
При $D = 0$ пишуть «коренів немає»: у $x^2 + 14x + 49 = 0$ дискримінант нульовий, і розв'язання обривають.
Коренів немає тільки при \(D < 0\). При \(D = 0\) корінь рівно один: \(x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{14}{2} = -7\). Перевірка: \(49 - 98 + 49 = 0\).
-
Скорочують рівняння $4x^2 - 9x = 0$ на $x$ і отримують єдиний корінь $x = 2{,}25$.
Ділити на вираз із невідомим не можна: \(x\) може бути нулем, і корінь \(x = 0\) втрачається. Правильно винести множник: \(x(4x - 9) = 0\), звідки \(x_1 = 0\) і \(x_2 = 2{,}25\). Перевірка: \(4 \cdot 2{,}25^2 - 9 \cdot 2{,}25 = 20{,}25 - 20{,}25 = 0\).
-
У рівнянні $x^2 = 16$ записують тільки $x = 4$.
Квадрат дорівнює 16 і у числа \(-4\). Записувати треба обидва корені: \(x = \pm 4\). Надійніше розв'язувати через стандартний вигляд \(x^2 - 16 = 0\), тобто \((x - 4)(x + 4) = 0\) — тоді обидва множники видно одразу.
-
Не перевіряють умову $a \neq 0$ у рівнянні з параметром: у $(m - 2)x^2 + 3x - 1 = 0$ одразу рахують дискримінант.
При \(m = 2\) старший коефіцієнт перетворюється на нуль, і рівняння стає лінійним \(3x - 1 = 0\) з єдиним коренем \(x = \dfrac{1}{3}\). Випадок \(m = 2\) розбирають окремо, а формулу коренів застосовують тільки при \(m \neq 2\).
Питання та відповіді
Що таке квадратне рівняння?
Це рівняння вигляду \(ax^2 + bx + c = 0\), де \(a\), \(b\), \(c\) — числа і \(a \neq 0\). Невідоме входить у нього в другому степені, тому коренів може бути два, один або жодного.
Як виглядає стандартна форма квадратного рівняння?
Стандартна (загальна) форма — \(ax^2 + bx + c = 0\): всі доданки зібрані зліва за спаданням степеня, справа нуль. До неї зводять будь-яке квадратне рівняння перед обчисленням дискримінанта.
Як знайти дискримінант?
За формулою \(D = b^2 - 4ac\), підставляючи коефіцієнти разом із їхніми знаками. Наприклад, для \(x^2 + 3x - 10 = 0\) отримуємо \(D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49\), а корені дорівнюють \(\dfrac{-3 \pm 7}{2}\), тобто 2 і \(-5\).
Яка формула коренів квадратного рівняння?
\(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), або коротше \(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\). Вона застосовується при \(D \ge 0\); у знаменнику саме \(2a\), а не 2.
Скільки коренів може бути у квадратного рівняння?
Не більше двох. При \(D > 0\) корені два, при \(D = 0\) — один (двократний), при \(D < 0\) дійсних коренів немає.
Що таке неповне квадратне рівняння?
Це рівняння, у якого \(b = 0\), \(c = 0\) або обидва одразу: \(ax^2 + c = 0\), \(ax^2 + bx = 0\), \(ax^2 = 0\). Усі три розв'язуються без дискримінанта — перенесенням доданка або винесенням \(x\) за дужки.
Як розв'язувати квадратні рівняння без дискримінанта?
Є три шляхи: підбір коренів за теоремою Вієта для зведеного рівняння, розкладання на множники та виділення повного квадрата. Найшвидше працює підбір, коли корені — невеликі цілі числа.
Що робити, якщо дискримінант від'ємний?
Записати, що дійсних коренів немає, і закінчити розв'язання. Від'ємний дискримінант — це нормальна відповідь: графік відповідної параболи не перетинає вісь \(x\). Корені в такому разі існують тільки серед комплексних чисел, а їх вивчають пізніше.
Як перевірити знайдені корені?
Підставити кожен корінь у початкове рівняння — має вийти правильна рівність. Для зведеного рівняння є і швидка перевірка за теоремою Вієта: сума коренів дорівнює \(-p\), добуток дорівнює \(q\).
Квадратне і квадратичне рівняння — це одне й те саме?
Так, це дві назви одного об'єкта \(ax^2 + bx + c = 0\). Не плутай його з квадратичною функцією \(y = ax^2 + bx + c\): корені рівняння — це якраз абсциси точок, де графік функції перетинає вісь \(x\).
У якому класі проходять квадратні рівняння?
У 8 класі на алгебрі: спочатку неповні рівняння, потім дискримінант, формула коренів і теорема Вієта. Далі тема зустрічається у квадратичній функції, нерівностях, задачах ОДІ та ЗНО.
