Арифметична прогресія — це послідовність, у якій кожен наступний член більший за попередній на одне й те саме число \(d\) (різниця прогресії). Будь-який її член знаходять за формулою \(a_n = a_1 + (n-1)d\), а суму перших \(n\) членів — за формулою \(S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2}\cdot n\). На цій сторінці розібрано визначення та різницю, обидві формули суми, характеристичну властивість, перевірку входження числа в прогресію, відмінність від геометричної прогресії, типові задачі ОДВ та інтерактивний тренажер для самоперевірки.
Що таке арифметична прогресія
Арифметична прогресія — це числова послідовність, у якій кожен наступний член утворюється з попереднього додаванням одного й того самого числа. Це число називають різницею прогресії і позначають літерою \(d\).
Визначення однією формулою: послідовність \(a_1, a_2, a_3, \dots\) називається арифметичною прогресією, якщо для будь-якого номера \(n\) виконується рівність
Візьмемо послідовність 3, 7, 11, 15, 19, … Перший член тут \(a_1 = 3\), а різниця \(d = 4\): кожне наступне число більше за попереднє рівно на 4. Тому наступний член дорівнює 23, а перед трійкою (якщо продовжити назад) стояла б одиниця зі знаком мінус.
Уся прогресія задається лише двома числами — першим членом \(a_1\) та різницею \(d\). Знаючи цю пару, можна назвати будь-який член, порахувати суму скількох завгодно перших членів і перевірити, чи зустрічається в послідовності задане число. Позначають прогресію значком \((a_n)\), а її члени — \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\) і так далі, де нижній індекс завжди означає номер, а не значення.
Різниця арифметичної прогресії: як знайти d
Різниця — це завжди наступний член мінус попередній:
Порядок віднімання важливий: якщо відняти навпаки, знак різниці вийде протилежним. Для послідовності 20, 17, 14, 11, 8 різниця дорівнює \(17 - 20 = -3\), а не \(+3\).
Знак \(d\) повністю визначає поведінку прогресії:
- \(d > 0\) — прогресія зростаюча, члени збільшуються;
- \(d < 0\) — прогресія спадна, члени зменшуються;
- \(d = 0\) — всі члени однакові, наприклад 6, 6, 6, 6, … Це теж арифметична прогресія, просто стала.
Якщо відомі два члени з різними номерами, різницю знаходять за формулою
Приклад. Нехай \(a_4 = 30\) і \(a_{10} = 6\). Тоді \(d = \dfrac{6 - 30}{10 - 4} = \dfrac{-24}{6} = -4\), а перший член дорівнює \(a_1 = a_4 - 3d = 30 + 12 = 42\). Перевіримо початок прогресії: 42, 38, 34, 30 — четвертий член справді 30.
Різниця не обов'язково має бути цілою: у послідовності 1; 1,5; 2; 2,5 різниця дорівнює 0,5, і це повноцінна арифметична прогресія.
Формула n-го члена арифметичної прогресії
Головна формула теми дозволяє знайти будь-який член, не виписуючи всі попередні:
Звідки береться \(n - 1\)? Щоб дійти від першого члена до \(n\)-го, різницю додають не \(n\) разів, а на один раз менше: до другого члена — один крок, до третього — два, до двадцятого — дев'ятнадцять.
Приклад. Для прогресії 3, 7, 11, 15, 19, … маємо \(a_1 = 3\) і \(d = 4\), отже
Такий згорнутий запис дуже зручний: одразу видно, що \(a_{20} = 4\cdot 20 - 1 = 79\), а \(a_{100} = 399\). Заодно він підказує різницю: у будь-якої арифметичної прогресії формула \(n\)-го члена — лінійна, виду \(a_n = dn + c\), і коефіцієнт перед \(n\) і є різниця.
Іноді перший член невідомий, зате дано якийсь інший. Тоді працює та сама ідея в загальному вигляді: \(a_n = a_k + (n - k)d\).
Характеристична властивість арифметичної прогресії
Будь-який член прогресії, крім першого, дорівнює середньому арифметичному своїх сусідів:
Саме тому прогресія і називається арифметичною. Ця рівність працює і у зворотний бік: якщо в послідовності кожен середній член дорівнює півсумі сусідів, то послідовність — арифметична прогресія. Таке твердження називають ознакою арифметичної прогресії, і в задачах його використовують, щоб довести, що три числа утворюють прогресію.
Приклад. Числа 7, \(x\), 23 — три послідовні члени прогресії. Тоді \(x = \dfrac{7 + 23}{2} = 15\). Перевірка: 7, 15, 23 — різниці 8 і 8, усе сходиться.
Зручна форма запису тієї самої властивості: \(2a_n = a_{n-1} + a_{n+1}\), тобто подвоєний середній член дорівнює сумі крайніх. У такому вигляді властивість простіше застосовувати, коли члени задані буквеними виразами.
Сума сума перших n членів арифметичної прогресії
Суму \(S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n\) рахують за однією з двох формул:
Ідея першої формули — та сама, яку, за легендою, знайшов школяр Гаусс, додаючи числа від 1 до 100. Якщо додати перший член з останнім, другий з передостаннім і так далі, всі пари дадуть одну й ту саму суму. Звідси \(1 + 2 + \dots + 100 = \dfrac{1 + 100}{2}\cdot 100 = 5050\).
Друга формула виходить з першої підстановкою \(a_n = a_1 + (n-1)d\) — вона потрібна, коли останній член не дано і рахувати його окремо не хочеться.
Приклад. Знайдемо суму перших двадцяти членів прогресії 3, 7, 11, 15, 19, …
За першою формулою: \(a_{20} = 79\), тому \(S_{20} = \dfrac{3 + 79}{2}\cdot 20 = 41\cdot 20 = 820\).
За другою: \(S_{20} = \dfrac{2\cdot 3 + 19\cdot 4}{2}\cdot 20 = \dfrac{6 + 76}{2}\cdot 20 = 41\cdot 20 = 820\).
Відповіді збіглися — це і є найкраща перевірка обчислень.
Як дізнатися, чи входить число в арифметичну прогресію
Питання «чи є число членом прогресії» вирішується рівнянням. Число входить у прогресію тоді й тільки тоді, коли його номер \(n\) виходить натуральним: 1, 2, 3 і так далі. Дробовий або недодатний \(n\) означає, що такого члена немає.
Приклад 1. Чи входить число 99 у прогресію 3, 7, 11, 15, 19, …? Формула \(n\)-го члена тут \(a_n = 4n - 1\), тому розв'язуємо \(4n - 1 = 99\), звідки \(4n = 100\) і \(n = 25\). Номер натуральний — значить, 99 у прогресії є, це її двадцять п'ятий член.
Приклад 2. А число 2026? З \(4n - 1 = 2026\) отримуємо \(4n = 2027\) і \(n = 506{,}75\). Номер дробовий, тому 2026 членом цієї прогресії не є.
Корисна підказка для усної прикидки: у прогресії з формулою \(a_n = 4n - 1\) усі члени при діленні на 4 дають остачу 3. Число 2026 дає остачу 2, тому «промахується» повз прогресію.
Типові задачі ОДВ з арифметичної прогресії
В ОДВ з математики прогресії зустрічаються щороку, і майже всі завдання зводяться до чотирьох сюжетів.
Знайти член за номером. Дано \(a_1\) і \(d\) (або кілька перших членів) — підставляємо в \(a_n = a_1 + (n-1)d\).
Знайти номер за значенням. Дано число — прирівнюємо до нього формулу \(n\)-го члена і розв'язуємо рівняння відносно \(n\).
Знайти суму. Рахуємо \(S_n\) за будь-якою з двох формул; якщо не вистачає \(a_n\) — спочатку знаходимо його.
Знайти кількість членів. З формули \(n\)-го члена виходить зручний наслідок: \(n = \dfrac{a_n - a_1}{d} + 1\).
Окремо варто виділити текстову задачу, де прогресія захована в сюжеті. Наприклад: у перший день робітник виготовив 12 деталей, а кожен наступний день — на 3 деталі більше, ніж у попередній; скільки деталей він зробить за 15 днів? Тут \(a_1 = 12\), \(d = 3\), \(n = 15\). Рахуємо останній член: \(a_{15} = 12 + 14\cdot 3 = 54\). Тоді \(S_{15} = \dfrac{12 + 54}{2}\cdot 15 = 33\cdot 15 = 495\) деталей.
Головна порада щодо таких завдань: спочатку випишіть окремим рядком, що дано (\(a_1\), \(d\), \(n\), \(a_n\), \(S_n\)) і що потрібно знайти. Половина помилок на іспиті трапляється не через формули, а через те, що номер переплутали зі значенням члена.
Арифметична та геометрична прогресія: у чому різниця
Обидві прогресії — правила, за якими з одного члена отримують наступний. Різниця в дії: в арифметичній до члена додають одне й те саме число \(d\), у геометричній — множать на одне й те саме число \(q\), яке називають знаменником прогресії.
Звідси й різна поведінка. Арифметична прогресія зростає рівномірно, «сходинками»: 3, 7, 11, 15 — кожен крок додає 4. Геометрична зростає лавиною: 3, 6, 12, 24 — кожен крок подвоює число, і вже через десять кроків член буде більшим за півтори тисячі.
Перевірити тип послідовності просто: порахуйте різниці сусідніх членів та їхні відношення. Однакові різниці — прогресія арифметична, однакові відношення — геометрична. Якщо не збіглося ні те, ні інше, перед вами просто послідовність: наприклад, 1, 4, 9, 16 — це квадрати натуральних чисел, і прогресією вона не є (різниці 3, 5, 7 різні, відношення теж).
У шкільній програмі обидві теми йдуть поспіль у 9 класі, тому формули легко переплутати. Тримайте в голові опору: в арифметичній різницю \(d\) віднімають, у геометричній знаменник \(q\) ділять. Усе інше — наслідки.
Приклади розв'язання задач на арифметичну прогресію
Приклад 1. Знайти перший член і різницю за двома членами
Дано. \(a_3 = 14\), \(a_7 = 30\). Знайти \(a_1\), \(d\) та \(a_{20}\).
Крок 1. Від третього члена до сьомого рівно \(7 - 3 = 4\) кроки, на кожному додається \(d\). Значить \(a_7 = a_3 + 4d\), тобто \(30 = 14 + 4d\), звідки \(4d = 16\) і \(d = 4\).
Крок 2. Повертаємося назад до першого члена: \(a_1 = a_3 - 2d = 14 - 8 = 6\).
Крок 3. Записуємо формулу \(n\)-го члена: \(a_n = 6 + (n-1)\cdot 4 = 4n + 2\).
Крок 4. Рахуємо потрібний член: \(a_{20} = 4\cdot 20 + 2 = 82\).
Перевірка. Випишемо початок прогресії: 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30. Третій член 14, сьомий 30 — збіглося.
Відповідь: \(a_1 = 6\), \(d = 4\), \(a_{20} = 82\).
Приклад 2. Сума перших 30 членів (обидві формули)
Дано. Прогресія \(-5,\ -2,\ 1,\ 4,\ \dots\) Знайти \(S_{30}\).
Крок 1. Визначаємо параметри: \(a_1 = -5\), \(d = -2 - (-5) = 3\).
Крок 2. Знаходимо тридцятий член: \(a_{30} = -5 + 29\cdot 3 = -5 + 87 = 82\).
Крок 3. Рахуємо за першою формулою: \(S_{30} = \dfrac{-5 + 82}{2}\cdot 30 = \dfrac{77}{2}\cdot 30 = 77\cdot 15 = 1155\).
Крок 4. Перевірка за другою формулою. Спочатку чисельник: \(2\cdot(-5) + 29\cdot 3 = -10 + 87 = 77\).
Далі як у третьому кроці: \(S_{30} = \dfrac{77}{2}\cdot 30 = 1155\).
Обидва шляхи дали 1155 — значить, арифметика вірна.
Відповідь: \(S_{30} = 1155\).
Приклад 3. Сума всіх двоцифрових чисел, кратних 7
Завдання. Знайти суму всіх двоцифрових чисел, які діляться на 7.
Крок 1. Такі числа самі утворюють арифметичну прогресію з різницею 7. Найменше двоцифрове кратне семи — це 14, найбільше — 98 (наступне, 105, уже трицифрове). Отримуємо \(a_1 = 14\), \(d = 7\), \(a_n = 98\).
Крок 2. Рахуємо кількість членів: \(n = \dfrac{98 - 14}{7} + 1 = \dfrac{84}{7} + 1 = 12 + 1 = 13\).
Крок 3. Рахуємо суму: \(S_{13} = \dfrac{14 + 98}{2}\cdot 13 = \dfrac{112}{2}\cdot 13 = 56\cdot 13 = 728\).
Крок 4. Перевірка другою формулою. \(S_{13} = \dfrac{2\cdot 14 + 12\cdot 7}{2}\cdot 13 = \dfrac{28 + 84}{2}\cdot 13 = 56\cdot 13 = 728\).
Відповідь: 728.
Приклад 4. Перевірити, чи входить число в прогресію
Завдання. Чи є число 145 членом прогресії \(7,\ 12,\ 17,\ \dots\)? А число 142?
Крок 1. Параметри прогресії: \(a_1 = 7\), \(d = 5\), значить \(a_n = 7 + (n-1)\cdot 5 = 5n + 2\).
Крок 2. Перевіряємо 145: рівняння \(5n + 2 = 145\) дає \(5n = 143\) і \(n = 28{,}6\). Номер дробовий, тому 145 членом прогресії не є.
Крок 3. Перевіряємо 142: \(5n + 2 = 142\), звідки \(5n = 140\) і \(n = 28\). Номер натуральний — число входить.
Крок 4. Перевірка підстановкою. \(a_{28} = 7 + 27\cdot 5 = 7 + 135 = 142\). Вірно.
Відповідь: 145 у прогресію не входить; 142 входить і є її 28-м членом.
Приклад 5. Характеристична властивість з буквеними членами
Завдання. При якому значенні \(x\) числа \(x - 3\), \(2x + 1\), \(4x - 1\) є трьома послідовними членами арифметичної прогресії?
Крок 1. За характеристичною властивістю подвоєний середній член дорівнює сумі крайніх:
Крок 2. Розкриваємо дужки: \(4x + 2 = 5x - 4\).
Крок 3. Розв'язуємо: \(2 + 4 = 5x - 4x\), тобто \(x = 6\).
Крок 4. Перевірка. Підставляємо \(x = 6\): перший член \(6 - 3 = 3\), другий \(2\cdot 6 + 1 = 13\), третій \(4\cdot 6 - 1 = 23\). Різниці: \(13 - 3 = 10\) і \(23 - 13 = 10\) — однакові.
Відповідь: \(x = 6\), прогресія 3, 13, 23 з різницею 10.
Приклад 6. Скільки від'ємних членів у прогресії
Завдання. Скільки від'ємних членів у прогресії \(-21,\ -18,\ -15,\ \dots\)?
Крок 1. Параметри: \(a_1 = -21\), \(d = 3\). Формула \(n\)-го члена: \(a_n = -21 + (n-1)\cdot 3 = 3n - 24\).
Крок 2. Записуємо умову «член від'ємний»: \(3n - 24 < 0\), звідки \(3n < 24\) і \(n < 8\).
Крок 3. Номери натуральні, тому підходять \(n = 1, 2, \dots, 7\) — всього сім членів.
Крок 4. Перевірка межі. \(a_7 = 3\cdot 7 - 24 = -3\) — від'ємний. \(a_8 = 3\cdot 8 - 24 = 0\) — нуль не є від'ємним числом, тому восьмий член уже не рахуємо. \(a_9 = 3\) — додатний.
Відповідь: сім від'ємних членів.
Часті помилки в задачах на арифметичну прогресію
-
У формулі $n$-го члена пишуть $a_n = a_1 + nd$ замість $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Від першого члена до \(n\)-го робиться на один крок менше, ніж номер. Для прогресії \(5,\ 9,\ 13,\ \dots\) десятий член дорівнює \(a_{10} = 5 + 9\cdot 4 = 41\), а не 45. Швидка перевірка формули: підстав \(n = 1\) — має вийти рівно \(a_1\).
-
Різницю рахують навпаки: $d = a_1 - a_2$, і знак виходить протилежним.
Різниця — це наступний член мінус попередній: \(d = a_2 - a_1\). Для прогресії \(40,\ 34,\ 28,\ \dots\) вірно \(d = 34 - 40 = -6\). Знак мінус тут не помилка, а ознака спадної прогресії.
-
У формулі суми забувають поділити на 2 або помножити на $n$: пишуть $S_n = (a_1 + a_n)\cdot n$.
Підсумовуються пари «перший з останнім», їх рівно \(\dfrac{n}{2}\), тому ділити на 2 обов'язково. Для прогресії \(2,\ 9,\ 16,\ \dots\) маємо \(a_{10} = 2 + 9\cdot 7 = 65\) і \(S_{10} = \dfrac{2 + 65}{2}\cdot 10 = 67\cdot 5 = 335\), а не 670.
-
При перевірці входження числа отримують $n = 0$ або від'ємний $n$ і все одно відповідають «входить».
Номер члена — натуральне число, рахунок починається з одиниці. Наприклад, для прогресії \(10,\ 14,\ 18,\ \dots\) рівняння \(10 + 4(n-1) = 6\) дає \(n = 0\), а значить 6 у прогресію не входить: це число стояло б перед першим членом.
-
Плутають, що знайдено: підставляють значення члена туди, де потрібен його номер, і навпаки.
\(a_n\) — це значення, \(n\) — порядковий номер. Якщо в задачі запитують «який за ліком член дорівнює 142», відповіддю буде 28, а не 142. Корисна звичка: виписувати перед розв'язанням рядок «дано: \(a_1 = \dots\), \(d = \dots\), знайти: \(n\)».
-
Вважають, що прогресія зобов'язана зростати і складатися з цілих чисел.
Різниця може бути від'ємною (\(20,\ 17,\ 14,\ \dots\)), дробовою (1; 1,5; 2; 2,5) і навіть нульовою (8, 8, 8, …). Усі три випадки — законні арифметичні прогресії, і всі формули для них працюють без змін.
Питання та відповіді
Що таке арифметична прогресія простими словами?
Це послідовність чисел, у якій кожне наступне число утворюється з попереднього додаванням одного й того самого числа \(d\) — різниці прогресії. Наприклад, 3, 7, 11, 15, 19, … — прогресія з першим членом 3 і різницею 4.
Яка формула n-го члена арифметичної прогресії?
\(a_n = a_1 + (n-1)d\), де \(a_1\) — перший член, \(d\) — різниця, \(n\) — номер. Якщо відомий не перший, а якийсь інший член, працює загальна форма \(a_n = a_k + (n-k)d\).
Як знайти різницю арифметичної прогресії?
Відняти з будь-якого члена попередній: \(d = a_n - a_{n-1}\). Якщо дані два члени з різними номерами, використовуйте \(d = \dfrac{a_k - a_m}{k-m}\). Наприклад, при \(a_5 = 23\) і \(a_9 = 43\) отримуємо \(d = \dfrac{43-23}{9-5} = 5\), а перший член дорівнює \(23 - 4\cdot 5 = 3\).
Як знайти перший член арифметичної прогресії?
З формули \(n\)-го члена: \(a_1 = a_n - (n-1)d\). Наприклад, якщо \(a_{12} = 60\) і \(d = 4\), то \(a_1 = 60 - 11\cdot 4 = 60 - 44 = 16\). Перевірка: \(16 + 11\cdot 4 = 60\).
Як знайти суму перших n членів арифметичної прогресії?
За формулою \(S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2}\cdot n\), якщо відомий останній член, або за формулою \(S_n = \dfrac{2a_1 + (n-1)d}{2}\cdot n\), якщо відомі тільки перший член і різниця. Обидві дають однаковий результат, тому другу зручно використовувати як перевірку першої.
Як знайти кількість членів арифметичної прогресії?
З формули \(n\)-го члена: \(n = \dfrac{a_n - a_1}{d} + 1\). Наприклад, у прогресії \(8,\ 13,\ 18,\ \dots,\ 98\) різниця дорівнює 5, тому \(n = \dfrac{98-8}{5} + 1 = 18 + 1 = 19\) членів.
Чим арифметична прогресія відрізняється від геометричної?
В арифметичній до кожного члена додають різницю \(d\), а в геометричній кожен член множать на знаменник \(q\). Формули \(n\)-го члена: \(a_n = a_1 + (n-1)d\) проти \(b_n = b_1 q^{\,n-1}\). Щоб визначити тип, порахуйте різниці сусідніх членів та їхні відношення: однакові різниці — арифметична, однакові відношення — геометрична.
Чи може різниця бути від'ємною або дорівнювати нулю?
Так. При \(d < 0\) прогресія спадає (наприклад, 20, 17, 14, 11), при \(d = 0\) усі члени однакові (6, 6, 6, …) — це стала прогресія. Різниця може бути і дробовою: 1; 1,5; 2; 2,5 — теж арифметична прогресія.
У якому класі вивчають арифметичну прогресію?
У 9 класі на уроках алгебри, разом із геометричною прогресією та числовими послідовностями. Завдання на прогресії входять в ОДВ: зазвичай потрібно знайти член за номером, номер за значенням, кількість членів або суму перших \(n\) членів.
