Пропорція — це рівність двох відношень, наприклад \(2:3 = 8:12\). Щоб розв'язувати пропорції, потрібен лише один інструмент — основна властивість пропорції: добуток крайніх членів дорівнює добутку середніх. У школі його називають правилом «хрест-навхрест». Нижче — що таке відношення та пропорція, як знайти невідомий член, чим пряма пропорційність відрізняється від оберненої, розбір задач про рецепт, масштаб і ціну, вихід на відсотки та тренажер із 10 задач.
Що таке відношення та пропорція
Відношення двох чисел — це їхня частка. Відношення \(2:3\) (читається «два до трьох») показує, у скільки разів одне число більше за інше або яку частину одне становить від іншого. Записати його можна двома способами: \(2:3\) або дробом \(\frac{2}{3}\) — це одне й те саме.
Пропорція — це рівність двох відношень:
У пропорції всього чотири числа, і в них є імена. Числа по краях запису — крайні члени, числа в середині — середні члени. Пропорція правильна, коли обидва відношення дорівнюють одному й тому ж числу.
Основна властивість пропорції: правило «хрест-навхрест»
Основна властивість пропорції: добуток крайніх членів дорівнює добутку середніх.
Чому так виходить? Помножимо обидві частини рівності \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) на \(b \cdot d\). Зліва скоротиться \(b\), справа — \(d\), і залишиться рівно \(a \cdot d = c \cdot b\). Ніякої магії — звичайна властивість рівностей.
Саме це школярі й називають «розв'язувати пропорції хрестом»: числа перемножують по діагоналі, хрест-навхрест. Властивість працює і у зворотний бік: якщо для чотирьох чисел (жодне з них не нуль) виконується \(a \cdot d = b \cdot c\), то з них можна скласти правильну пропорцію.
Звідси одразу два вміння: перевірити, чи правильна пропорція, і знайти в ній невідоме число.
Як знайти невідомий член пропорції
З основної властивості випливають два коротких правила:
- невідомий крайній член = добуток середніх : відомий крайній;
- невідомий середній член = добуток крайніх : відомий середній.
Запам'ятовувати їх необов'язково. Достатньо одного універсального прийому: перемножити хрест-навхрест, отримати рівність вигляду «число \(\cdot\, x\) = число» і поділити. Розберемо це по кроках на пропорції \(x : 7 = 12 : 21\).
Останній крок — перевірка — займає п'ять секунд і ловить майже будь-яку арифметичну помилку, тому пропускати його не варто.
Пряма та обернена пропорційність
Дві величини називають прямо пропорційними, якщо при збільшенні однієї в кілька разів інша збільшується в стільки ж разів. Купили вдвічі більше зошитів — заплатили вдвічі більше. У таких величин постійне їх відношення.
Величини обернено пропорційні, якщо при збільшенні однієї в кілька разів інша в стільки ж разів зменшується. Вдвічі більше робітників — вдвічі менше днів на ту ж роботу. У таких величин постійне їх добуток.
Головна різниця видно в момент, коли ми записуємо пропорцію. Для прямої залежності вона складається «як є»: \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}\). Для оберненої друге відношення перевертається: \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_2}{b_1}\).
Чому? Для оберненої залежності постійний добуток: \(a_1 \cdot b_1 = a_2 \cdot b_2\). Поділимо обидві частини на \(a_2 \cdot b_1\) — і отримаємо якраз \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_2}{b_1}\). Отже, «переворот» — не заклинання, яке треба пам'ятати, а наслідок того, що постійним залишається добуток, а не відношення.
| Ознака | Пряма | Обернена |
|---|---|---|
| Зв'язок | більше → більше | більше → менше |
| Постійно | відношення a : b | добуток a × b |
| Запис | a₁ : a₂ = b₁ : b₂ | a₁ : a₂ = b₂ : b₁ |
| Приклад | 3 ручки — 90 ₽, 5 ручок — 150 ₽ | 4 маляри — 9 днів, 6 малярів — 6 днів |
Як скласти пропорцію до задачі: рецепт, масштаб, ціна
Текстові задачі «на пропорцію» розв'язуються за одним сценарієм:
- Виписати умову у дві колонки так, щоб однакові величини стояли одна під одною (порції під порціями, грами під грамами).
- Позначити шукане через \(x\).
- Визначити тип залежності: подумки збільшити першу величину і подивитися, чи зростає друга, чи спадає.
- Скласти пропорцію — для оберненої залежності перевернути друге відношення.
- Розв'язати хрест-навхрест і перевірити, чи розумною вийшла відповідь.
Покажемо на рецепті. На 4 порції млинців потрібно 300 г борошна — скільки борошна на 6 порцій? Порцій більше, отже, і борошна більше: залежність пряма, пропорція складається «як є»:
На 6 порцій потрібно 450 г борошна. Відповідь розумна: порцій стало в півтора раза більше, і борошна знадобилося в півтора раза більше.
Точно так само розв'язуються задачі на масштаб (відстань на карті відноситься до відстані на місцевості так само, як 1 до числа масштабу) і на ціну (кількість товару відноситься до кількості так само, як вартість до вартості). Повні розбори — у прикладах нижче.
Відсотки через пропорцію
Відсоток — це сота частка числа, тому будь-яка проста задача на відсотки перетворюється на пропорцію:
Десь одне з чотирьох чисел невідоме — його й знаходимо хрест-навхрест.
Знайти частину. Скільки буде 15% від 240? Складаємо \(x : 240 = 15 : 100\), отже \(100x = 240 \cdot 15 = 3600\) і \(x = 36\).
Знайти ціле. Число 21 становить 35% від якогось числа. Складаємо \(21 : x = 35 : 100\), отже \(35x = 21 \cdot 100 = 2100\) і \(x = 60\).
Знайти відсоток. Скільки відсотків становить 18 від 45? Складаємо \(18 : 45 = p : 100\), отже \(45p = 18 \cdot 100 = 1800\) і \(p = 40\), тобто 40%.
Один прийом — три різні типи задач, нічого додатково запам'ятовувати не потрібно. Окремо стоїть тільки питання «на скільки відсотків величина зросла або зменшилася»: там спочатку знаходять зміну, а потім ділять її на первоначальне значення — це вже формула відсоткової зміни, а не проста пропорція.
Приклади розв'язання пропорцій з розбором по кроках
Приклад 1. Невідомий середній член
Задача. Знайдіть невідомий член пропорції \(15 : x = 45 : 24\).
Крок 1. Визначаємо, де який член. Крайні — 15 і 24, середні — \(x\) і 45.
Крок 2. Застосовуємо основну властивість: \(15 \cdot 24 = x \cdot 45\), тобто \(360 = 45x\).
Крок 3. Ділимо: \(x = 360 : 45 = 8\).
Перевірка. \(15 : 8 = 1{,}875\) і \(45 : 24 = 1{,}875\) — відношення рівні.
Відповідь: \(x = 8\).
Приклад 2. Пряма пропорційність: ціна і кількість
Задача. Шість зошитів коштують 210 ₽. Скільки коштують 10 таких самих зошитів?
Крок 1. Зошитів більше — вартість більша, отже залежність пряма.
Крок 2. Записуємо умову так, щоб однакові величини були поруч, і складаємо пропорцію «як є»:
Крок 3. Хрест-навхрест: \(6x = 10 \cdot 210 = 2100\), отже \(x = 2100 : 6 = 350\).
Перевірка. Один зошит коштує \(210 : 6 = 35\) ₽, а десять — \(35 \cdot 10 = 350\) ₽. Сходиться.
Відповідь: 350 ₽.
Приклад 3. Обернена пропорційність: робітники і дні
Задача. Вісім робітників виконують замовлення за 15 днів. За скільки днів виконають те саме замовлення 12 робітників, якщо працюють вони з тією ж швидкістю?
Крок 1. Робітників стало більше — днів знадобиться менше. Залежність обернена.
Крок 2. Складаємо пропорцію, перевернувши друге відношення:
Тут \(x\) — дні для 12 робітників, а 15 — дні для 8 робітників: вони помінялися місцями, бо залежність обернена.
Крок 3. Хрест-навхрест: \(8 \cdot 15 = 12x\), тобто \(120 = 12x\) і \(x = 10\).
Перевірка. Постійний добуток: \(8 \cdot 15 = 120\) і \(12 \cdot 10 = 120\). Сходиться, і відповідь розумна — днів стало менше.
Відповідь: 10 днів.
Приклад 4. Масштаб карти
Задача. Масштаб карти \(1 : 200\,000\). Відстань між селищами на карті дорівнює 7 см. Яка відстань між ними на місцевості?
Крок 1. Масштаб \(1 : 200\,000\) означає: 1 см на карті відповідає 200 000 см на місцевості. Це готове відношення.
Крок 2. Складаємо пропорцію:
Крок 3. Хрест-навхрест: \(1 \cdot x = 200\,000 \cdot 7\), тобто \(x = 1\,400\,000\) см.
Крок 4. Переводимо у зручні одиниці: в одному кілометрі 100 000 см, тому \(1\,400\,000 : 100\,000 = 14\) км.
Відповідь: 14 км.
Приклад 5. Відсотки через пропорцію
Задача. У класі 25 учнів, у похід пішли 60% з них. Скільки людей пішло в похід?
Крок 1. Ціле — це всі 25 учнів, їм відповідає 100%. Шукана частина — \(x\) людей, їй відповідає 60%.
Крок 2. Складаємо пропорцію «частина : ціле = відсоток : 100»:
Крок 3. Хрест-навхрест: \(100x = 25 \cdot 60 = 1500\), отже \(x = 15\).
Перевірка. 15 людей з 25 — це \(15 : 25 = 0{,}6\), тобто рівно 60%.
Відповідь: 15 людей.
Часті помилки при розв'язанні пропорцій
-
Перемножують числа «вздовж», а не хрест-навхрест: у пропорції 5 : 2 = 20 : 8 рахують 5 · 2 і 20 · 8.
Основна властивість пов'язує крайні члени із середніми, тобто числа по діагоналі: 5 · 8 = 40 і 2 · 20 = 40. Добутки співпали — пропорція правильна. А 5 · 2 і 20 · 8 не рівні і ні про що не говорять.
-
У задачі на обернену залежність складають «пряму» пропорцію. Шість насосів наповнюють басейн за 10 годин; запис 6 : 15 = 10 : x дає 25 годин для 15 насосів.
Насосів стало більше — часу має стати менше, а вийшло більше: отже, пропорція складена не в той бік. Друге відношення треба перевернути: 6 : 15 = x : 10, тоді 15x = 60 і x = 4 години. Завжди перевіряйте відповідь на здоровий глузд.
-
Після «хрест-навхрест» ділять навпаки: з рівності 8x = 96 отримують x = 8 : 96.
Щоб знайти x, добуток ділять на множник, який стоїть поруч із x: x = 96 : 8 = 12. Корисна звичка — підставити знайдене число назад: 8 · 12 = 96, все правильно.
-
Не узгоджують одиниці вимірювання. У задачі з масштабом 1 : 50 000 при 3 см на карті пишуть відповідь «1,5» без одиниць або називають її метрами.
Спочатку рахуємо в тих одиницях, в яких дано масштаб: 3 · 50 000 = 150 000 см. І тільки потім переводимо: 150 000 см = 1500 м = 1,5 км. Одиниці у відповіді такі ж важливі, як саме число.
-
Плутають відношення і пропорцію: на прохання скласти пропорцію пишуть одне відношення «12 : 4».
Відношення — це одна частка: 12 : 4 = 3. Пропорція — це рівність двох відношень, у ній обов'язково чотири числа і знак рівності: 12 : 4 = 30 : 10 (перевіряємо: 12 · 10 = 120 і 4 · 30 = 120).
Запитання та відповіді
Чим відношення відрізняється від пропорції?
Відношення — це частка двох чисел, наприклад 12 : 4. Пропорція — це рівність двох відношень, у ній чотири числа: 12 : 4 = 30 : 10. Відношення відповідає на питання «у скільки разів», а пропорція стверджує, що два таких порівняння дають однаковий результат.
Що таке крайні та середні члени пропорції?
У записі a : b = c : d крайні члени — ті, що стоять по краях, тобто a і d. Середні — ті, що стоять у середині, тобто b і c. Якщо пропорція записана дробами, крайні члени — це чисельник першого дробу і знаменник другого, а середні — знаменник першого і чисельник другого.
Як перевірити, чи правильна пропорція?
Перемножити хрест-навхрест і порівняти добутки. Наприклад, для 9 : 12 = 15 : 20 рахуємо 9 · 20 = 180 і 12 · 15 = 180 — числа співпали, отже пропорція правильна. Якщо добутки різні, пропорція неправильна.
Чи можна міняти місцями члени пропорції?
Так, якщо робити це за правилами. У правильній пропорції можна поміняти місцями крайні члени, можна поміняти місцями середні, а можна перевернути обидві частини одразу — пропорція залишиться правильною. З 4 : 6 = 10 : 15 отримуємо 4 : 10 = 6 : 15 або 6 : 4 = 15 : 10 — добуток по діагоналі скрізь дорівнює 60. А от переставити тільки одне число не можна.
Що означає «розв'язувати пропорцію хрестом»?
Це розмовна назва основної властивості пропорції. Числа перемножують по діагоналі, хрест-навхрест: крайній на крайній і середній на середній. Виходить рівняння з одним невідомим, яке розв'язується одним діленням. Жодного окремого «методу хреста» окрім основної властивості не існує.
Як зрозуміти, пряма залежність у задачі чи обернена?
Подумки збільште першу величину в 2 рази і подивіться на другу. Якщо вона теж зросла вдвічі — залежність пряма, пропорція складається «як є». Якщо зменшилася вдвічі — залежність обернена, друге відношення потрібно перевернути. Ще одна ознака: у прямої залежності постійне відношення величин, у оберненої — їх добуток.
Як розв'язувати задачі на відсотки через пропорцію?
Складіть пропорцію «частина : ціле = відсоток : 100» і знайдіть невідоме хрест-навхрест. Наприклад, 12% від 350: отримуємо x : 350 = 12 : 100, отже 100x = 4200 і x = 42. Тим самим способом шукають і ціле за відомою частиною, і сам відсоток.
