Квадратний корінь з числа \(a\) — це число, квадрат якого дорівнює \(a\), а арифметичним квадратним коренем називають тільки його невід'ємне значення: \(\sqrt{25} = 5\). Витягати корінь можна лише з невід'ємних чисел, зате властивості кореня перетворюють громіздкі вирази на короткі. На цій сторінці — визначення та область визначення, усі властивості квадратного кореня з формулами, таблиця квадратних коренів від 1 до 20, прийоми вилучення кореня та винесення множника, розібрані приклади, часті помилки та інтерактивний тренажер.
Що таке квадратний корінь з числа
Квадратний корінь з числа \(a\) — це таке число, квадрат якого дорівнює \(a\). Вилучення кореня і піднесення до квадрата — взаємно обернені дії: з \(7^2 = 49\) одразу випливає, що квадратний корінь з 49 дорівнює 7.
Але у додатного числа квадратних коренів рівно два, і відрізняються вони лише знаком: \(5^2 = 25\) і \((-5)^2 = 25\), тобто квадратними коренями з 25 є і \(5\), і \(-5\). Щоб запис \(\sqrt{25}\) позначав одне-єдине число, домовилися: знаком \(\sqrt{\phantom{a}}\) записують тільки невід'ємний корінь. Його і називають арифметичним.
Запис має свої назви: знак \(\sqrt{\phantom{a}}\) — це радикал, а число або вираз під ним — підкореневий вираз.
Арифметичний квадратний корінь: визначення та область визначення
Арифметичним квадратним коренем з невід'ємного числа \(a\) називають невід'ємне число, квадрат якого дорівнює \(a\). Позначають його \(\sqrt{a}\) і читають «корінь з а».
У визначенні заховані дві умови, і обидві однаково важливі:
- підкореневий вираз невід'ємний: \(a \ge 0\);
- значення кореня невід'ємне: \(\sqrt{a} \ge 0\).
Звідси одразу отримуємо: \(\sqrt{25} = 5\), а не \(-5\); \(\sqrt{0} = 0\); а запис \(\sqrt{-9}\) у дійсних числах сенсу не має — немає числа, квадрат якого від'ємний.
Перша умова задає область визначення виразу з коренем. Наприклад, \(\sqrt{x-7}\) має зміст при \(x - 7 \ge 0\), тобто при \(x \ge 7\): будь-яке менше значення \(x\) заганяє під корінь від'ємне число.
З визначення випливає і рівність \((\sqrt{a})^2 = a\) при \(a \ge 0\): піднесення кореня до квадрата повертає підкореневе число. Воно працює навіть тоді, коли сам корінь ми точно порахувати не можемо: \((\sqrt{31})^2 = 31\).
Таблиця квадратних коренів: квадрати чисел від 1 до 20
Корінь витягується націло рівно тоді, коли підкореневе число — точний квадрат. Тому таблиця квадратів працює і як таблиця квадратних коренів: її читають в обидва боки — \(14^2 = 196\), отже \(\sqrt{196} = 14\).
Таблиця виручає не тільки з цілими числами:
- десяткові дроби: \(\sqrt{0{,}64} = 0{,}8\), тому що \(0{,}8^2 = 0{,}64\);
- звичайні дроби: \(\sqrt{\dfrac{16}{81}} = \dfrac{4}{9}\) — корінь витягують окремо з чисельника і окремо зі знаменника;
- круглі числа: \(\sqrt{2500} = 50\), адже \(2500 = 25 \cdot 100\), а корінь з кожного множника відомий.
Властивості квадратного кореня
Властивості квадратного кореня дозволяють обчислювати вирази, не витягаючи кожен корінь окремо, і спрощувати відповідь.
Корінь з добутку дорівнює добутку коренів: \(\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\) при \(a \ge 0\) і \(b \ge 0\). Наприклад, \(\sqrt{9 \cdot 16} = 3 \cdot 4 = 12\) — той самий результат, що й \(\sqrt{144}\).
Корінь з частки дорівнює частці коренів: \(\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\) при \(a \ge 0\) і \(b > 0\). Наприклад, \(\sqrt{\dfrac{36}{49}} = \dfrac{6}{7}\). Умова \(b > 0\) сувора: на нуль ділити не можна.
Корінь з квадрата дорівнює модулю: \(\sqrt{a^2} = |a|\), і це вірно для будь-якого числа \(a\). Тут головна тонкість усієї теми. Якщо \(a \ge 0\), нічого не змінюється: \(\sqrt{7^2} = 7\). Але при від'ємному \(a\) знак «випрямляється»: \(\sqrt{(-6)^2} = \sqrt{36} = 6\), а не \(-6\) — адже арифметичний корінь не буває від'ємним.
Квадрат кореня повертає підкореневе число: \((\sqrt{a})^2 = a\) при \(a \ge 0\).
А ось для суми та різниці схожих властивостей не існує: корінь із суми не дорівнює сумі коренів. Це найчастіша помилка теми, розбір — нижче.
| Властивість та умова | Приклад |
|---|---|
| √(a · b) = √a · √bпри a ≥ 0 і b ≥ 0 | √(4 · 25) = 2 · 5 = 10 |
| √(a / b) = √a / √bпри a ≥ 0 і b > 0 | √(81 / 16) = 9 / 4 |
| √(a²) = |a|при будь-якому a | √((−12)²) = 12 |
| (√a)² = aпри a ≥ 0 | (√13)² = 13 |
| √(a² · b) = |a| · √bпри b ≥ 0 | √(25 · 3) = 5√3 |
Як витягти квадратний корінь з числа
Калькулятор під рукою не завжди, а шкільні завдання майже завжди підібрані так, що корінь витягується. Порядок дій такий.
- Перевірити за таблицею квадратів. Якщо число стоїть у таблиці, відповідь готова: \(\sqrt{289} = 17\).
- Відокремити круглий множник. У чисел з нулями зручно виділити \(100\), \(10\,000\) і так далі: \(\sqrt{6400} = \sqrt{64 \cdot 100} = 8 \cdot 10 = 80\).
- Розкласти на прості множники. Це універсальний прийом: \(576 = 2^6 \cdot 3^2\), показники степенів ділимо навпіл і отримуємо \(\sqrt{576} = 2^3 \cdot 3 = 24\).
- Десятковий дріб перетворити на звичайний. \(\sqrt{1{,}44} = \sqrt{\dfrac{144}{100}} = \dfrac{12}{10} = 1{,}2\). Заодно це рятує від втрати розряду.
- Якщо точного квадрата немає — корінь ірраціональний. Тоді його або залишають у відповіді символом (так і пишуть: \(\sqrt{30}\)), або оцінюють між сусідніми квадратами.
Перевірка займає секунду: отримане число підносимо до квадрата і дивимося, чи повернулося підкореневе. \(24^2 = 576\) — вірно.
Винесення множника з-під знака кореня
Корінь рідко залишають «сирим» — з-під нього виносять усе, що витягується. Працює властивість \(\sqrt{a^2 b} = |a| \sqrt{b}\) при \(b \ge 0\): шукаємо найбільший квадратний дільник підкореневого числа.
- \(\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}\);
- \(\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}\);
- \(\sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = 10\sqrt{3}\).
Зворотна дія — внесення множника під корінь: \(a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}\) при \(a \ge 0\). Наприклад, \(3\sqrt{5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}\).
З від'ємним множником потрібна обережність: мінус під корінь не заходить і залишається зовні. Правильний запис — \(-2\sqrt{3} = -\sqrt{12}\), а не \(\sqrt{12}\).
Навіщо це потрібно: після винесення множника корені з однаковим підкореневим виразом стають подібними доданками, і їх можна складати. А внесення множника під корінь — найшвидший спосіб порівняти два вирази з коренями.
Чому дорівнює квадратний корінь, який не витягується
Якщо підкореневе число не є точним квадратом, корінь — ірраціональне число: його десятковий запис нескінченний і неперіодичний. Наприклад, \(\sqrt{2} \approx 1{,}4142\ldots\), і точне значення записують тільки символом \(\sqrt{2}\). Округлений результат пишуть лише тоді, коли про це просять у завданні.
Оцінити такий корінь можна без калькулятора: знайти два сусідні точні квадрати, між якими лежить підкореневе число. Працює правило порівняння: для \(a \ge 0\) і \(b \ge 0\) з \(a < b\) випливає \(\sqrt{a} < \sqrt{b}\) — більшому підкореневому числу відповідає більший корінь.
Приклади обчислень з квадратними коренями
Приклад 1. Значення виразу з коренями
Обчислити \(\sqrt{121} - \sqrt{0{,}36} + \sqrt{\dfrac{9}{25}}\).
Крок 1. \(\sqrt{121} = 11\), тому що \(11^2 = 121\).
Крок 2. \(\sqrt{0{,}36} = 0{,}6\), тому що \(0{,}6^2 = 0{,}36\).
Крок 3. Корінь з дробу витягуємо за чисельником і знаменником: \(\sqrt{\dfrac{9}{25}} = \dfrac{3}{5} = 0{,}6\).
Крок 4. Додаємо: \(11 - 0{,}6 + 0{,}6 = 11\).
Відповідь: 11.
Приклад 2. Корінь з добутку
Обчислити \(\sqrt{8} \cdot \sqrt{18}\).
Крок 1. Окремо ці корені не витягуються, тому об'єднуємо їх в один: \(\sqrt{8} \cdot \sqrt{18} = \sqrt{8 \cdot 18}\).
Крок 2. Рахуємо добуток під коренем: \(8 \cdot 18 = 144\).
Крок 3. \(\sqrt{144} = 12\).
Інший шлях — винести множники заздалегідь: \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\) і \(\sqrt{18} = 3\sqrt{2}\), тоді \(2\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2} = 6 \cdot (\sqrt{2})^2 = 6 \cdot 2 = 12\). Відповіді співпали.
Відповідь: 12.
Приклад 3. Вилучення кореня розкладанням на множники
Обчислити \(\sqrt{576}\) і \(\sqrt{6400}\).
Крок 1. Числа 576 немає в таблиці квадратів, тому розкладаємо його на прості множники: \(576 = 2^6 \cdot 3^2\).
Крок 2. Показники степенів ділимо навпіл: \(\sqrt{2^6 \cdot 3^2} = 2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24\).
Крок 3. Перевірка. \(24^2 = 576\) — вірно.
Крок 4. У числа 6400 зручніше відокремити круглий множник: \(\sqrt{6400} = \sqrt{64 \cdot 100} = 8 \cdot 10 = 80\). Перевірка: \(80^2 = 6400\).
Відповідь: \(\sqrt{576} = 24\), \(\sqrt{6400} = 80\).
Приклад 4. Винесення множника та зведення подібних
Спростити \(2\sqrt{98} - \sqrt{300} + \sqrt{72}\).
Крок 1. Виносимо множники з-під кожного кореня: \(\sqrt{98} = \sqrt{49 \cdot 2} = 7\sqrt{2}\), отже \(2\sqrt{98} = 14\sqrt{2}\).
Крок 2. \(\sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = 10\sqrt{3}\).
Крок 3. \(\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}\).
Крок 4. Складати можна тільки корені з однаковим підкореневим виразом: \(14\sqrt{2} + 6\sqrt{2} = 20\sqrt{2}\), а доданок з \(\sqrt{3}\) залишається окремо.
Відповідь: \(20\sqrt{2} - 10\sqrt{3}\).
Приклад 5. Корінь з квадрата зі змінною
Спростити \(\sqrt{(x-4)^2}\) при \(x < 4\).
Крок 1. За властивістю кореня з квадрата \(\sqrt{(x-4)^2} = |x-4|\) — одразу пишемо модуль, а не \(x - 4\).
Крок 2. Розкриваємо модуль за умовою. Якщо \(x < 4\), то різниця \(x - 4\) від'ємна, а модуль від'ємного числа — протилежне число: \(|x-4| = 4 - x\).
Крок 3. Перевірка. Візьмемо \(x = 1\): зліва \(\sqrt{(1-4)^2} = \sqrt{9} = 3\), справа \(4 - 1 = 3\) — збігається.
Відповідь: \(4 - x\). Для порівняння, при \(x \ge 4\) відповіддю було б \(x - 4\).
Приклад 6. Порівняння виразів з коренями
Порівняти \(3\sqrt{5}\) і \(5\sqrt{2}\).
Крок 1. Обидва числа додатні, тому вносимо множник під корінь: \(3\sqrt{5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}\).
Крок 2. \(5\sqrt{2} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{50}\).
Крок 3. Порівнюємо підкореневі числа: \(45 < 50\), а більшому підкореневому числу відповідає більший корінь.
Відповідь: \(3\sqrt{5} < 5\sqrt{2}\).
Часті помилки при роботі з квадратним коренем
-
Пишуть $\sqrt{a^2} = a$, забуваючи про модуль.
Вірна рівність — \(\sqrt{a^2} = |a|\). Для від'ємного числа це принципово: \(\sqrt{(-13)^2} = \sqrt{169} = 13\), а не \(-13\). Арифметичний корінь не може бути від'ємним, тому знак під коренем «випрямляється».
-
Вважають, що корінь із суми дорівнює сумі коренів: $\sqrt{9 + 16} = 3 + 4$.
Такої властивості немає. Спочатку виконуємо дію під коренем: \(\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\), а не 7. Властивості є тільки у добутку та частки: \(\sqrt{ab} = \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\) і \(\sqrt{a/b} = \sqrt{a}/\sqrt{b}\).
-
Відповідають, що $\sqrt{49} = \pm 7$.
\(\sqrt{49} = 7\) — арифметичний корінь завжди один і він невід'ємний. Два значення з'являються в іншому завданні: у рівняння \(x^2 = 49\) корені \(x = 7\) і \(x = -7\). Плутати запис кореня з розв'язанням рівняння не можна.
-
Пишуть $\sqrt{-16} = -4$, міркуючи «мінус на мінус».
Під коренем не може стояти від'ємне число: \((-4)^2 = 16\), а не \(-16\), тому \(\sqrt{-16}\) у дійсних числах не існує. А ось вираз \(-\sqrt{16} = -4\) цілком коректний — мінус стоїть перед коренем, а не під ним.
-
Вносять під корінь від'ємний множник: $-2\sqrt{3} = \sqrt{12}$.
Правило \(a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}\) працює тільки при \(a \ge 0\). Мінус залишається зовні: \(-2\sqrt{3} = -\sqrt{12}\). Перевірка знаком: \(-2\sqrt{3} \approx -3{,}46\), а \(\sqrt{12} \approx 3{,}46\) — числа протилежні.
-
Втрачають розряд у десятковому дробі: $\sqrt{0{,}04} = 0{,}02$.
Перевіряйте зворотною дією піднесення до квадрата: \(0{,}02^2 = 0{,}0004\), не збігається. Правильно \(\sqrt{0{,}04} = 0{,}2\), адже \(0{,}2^2 = 0{,}04\). Надійний спосіб — перейти до звичайного дробу: \(\sqrt{\dfrac{4}{100}} = \dfrac{2}{10} = 0{,}2\).
-
Впевнені, що корінь завжди менший за саме число.
Це вірно тільки для чисел, більших за одиницю. На відрізку від 0 до 1 усе навпаки: \(\sqrt{0{,}25} = 0{,}5\), і \(0{,}5\) більше, ніж \(0{,}25\). А для 0 і 1 корінь дорівнює самому числу.
Запитання та відповіді
Що таке арифметичний квадратний корінь простими словами?
Це невід'ємне число, яке при піднесенні до квадрата дає підкореневе число. Записують \(\sqrt{a}\), причому підкореневий вираз має бути невід'ємним: \(a \ge 0\). Наприклад, \(\sqrt{64} = 8\), тому що \(8 \ge 0\) і \(8^2 = 64\).
Чим квадратний корінь відрізняється від арифметичного квадратного кореня?
Квадратних коренів у додатного числа два — протилежні за знаком. Арифметичним називають тільки невід'ємний з них, і саме його позначає знак \(\sqrt{\phantom{a}}\). Тому \(\sqrt{25} = 5\), хоча рівняння \(x^2 = 25\) має два корені: 5 і \(-5\).
Як витягти квадратний корінь з числа без калькулятора?
Спочатку перевірте число за таблицею квадратів. Якщо його там немає — розкладіть на множники і виділіть точні квадрати: \(784 = 16 \cdot 49\), тому \(\sqrt{784} = 4 \cdot 7 = 28\). Відповідь завжди перевіряйте зворотною дією: \(28^2 = 784\).
Чи можна витягти квадратний корінь з від'ємного числа?
У дійсних числах — ні: квадрат будь-якого числа невід'ємний, тому вираз \(\sqrt{-9}\) сенсу не має. Саме з цієї умови шукають область визначення: наприклад, \(\sqrt{x-7}\) існує тільки при \(x \ge 7\).
Чому дорівнює корінь з квадрата числа?
Модулю цього числа: \(\sqrt{a^2} = |a|\). При невід'ємному \(a\) вийде саме число, при від'ємному — протилежне йому: \(\sqrt{(-6)^2} = 6\).
Як винести множник з-під знака кореня?
Знайдіть найбільший квадратний дільник підкореневого числа і застосуйте властивість \(\sqrt{a^2 b} = |a|\sqrt{b}\). Наприклад, \(\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}\). Зворотна дія — внесення множника під корінь: \(3\sqrt{5} = \sqrt{45}\).
Чому дорівнює квадратний корінь з 2?
Число \(\sqrt{2}\) ірраціональне: його десятковий запис нескінченний і неперіодичний, \(\sqrt{2} \approx 1{,}4142\). Точного значення у вигляді дробу не існує, тому у відповідях його так і залишають символом \(\sqrt{2}\), а округлюють тільки якщо цього вимагає умова.
Як порівняти два числа з коренями, не обчислюючи їх?
Внесіть множники під корінь і порівняйте підкореневі числа: більшому підкореневому числу відповідає більший корінь. Наприклад, \(\sqrt{17}\) і 4: оскільки \(4 = \sqrt{16}\) і \(17 > 16\), то \(\sqrt{17} > 4\).
В якому класі вивчають квадратні корені?
У 8 класі на уроках алгебри: спочатку визначення арифметичного квадратного кореня та його властивості, потім перетворення виразів з коренями та розв'язання рівнянь виду \(x^2 = a\). Далі корені зустрічаються у формулі дискримінанта та в завданнях ЗНО і ДПА.
