Ознаки подільності — це правила, які дозволяють дізнатися, чи ділиться число націло, не виконуючи ділення: достатньо поглянути на останні цифри або скласти всі цифри числа. На цій сторінці зібрано таблицю ознак подільності на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11 та 25, наочний розбір ознак на 3 та на 9 через суму цифр, приклади з розв'язанням, часті помилки та інтерактивний тренажер, де можна одразу перевірити себе.
Що таке ознака подільності
Ознака подільності — це правило, за яким можна дізнатися, чи ділиться число націло на інше число, не виконуючи самого ділення. Достатньо подивитися на останні цифри або скласти всі цифри числа.
Ознаки подільності виручають скрізь, де потрібно швидко зрозуміти «будову» числа:
- при скороченні дробів — одразу видно, на що скоротити чисельник і знаменник;
- при розкладанні числа на прості множники;
- при пошуку спільного дільника та спільного кратного;
- при швидкій перевірці відповіді в прикладах і задачах.
Важливо не плутати два різних питання. «Чи ділиться 3726 на 9?» — на це відповідає ознака подільності: сума цифр 3 + 7 + 2 + 6 = 18 ділиться на 9, отже так. А «скільки вийде?» — це вже саме ділення: 3726 : 9 = 414. Ознака дає тільки відповідь «так» чи «ні», але зате миттєво і в умі.
Таблиця ознак подільності
Усі шкільні ознаки подільності зручно тримати перед очима однією таблицею. Колір підказує, куди дивитися: на останню цифру, на суму цифр, на «хвіст» з двох-трьох останніх цифр або одразу на дві ознаки.
| На що | Признак делимости | Пример |
|---|---|---|
| 2 | остання цифра 0, 2, 4, 6 або 8 | 3726 → 6 |
| 3 | сума цифр ділиться на 3 | 4512 → 4+5+1+2 = 12 |
| 4 | дві останні цифри діляться на 4 | 1316 → 16 : 4 = 4 |
| 5 | остання цифра 0 або 5 | 1435 → 5 |
| 6 | ділиться і на 2, і на 3 одночасно | 5124 → 4 і 12 |
| 8 | три останні цифри діляться на 8 | 3512 → 512 : 8 = 64 |
| 9 | сума цифр ділиться на 9 | 3726 → 3+7+2+6 = 18 |
| 10 | остання цифра 0 | 2340 → 0 |
| 11 | цифри з кінця через + і −; сума ділиться на 11 | 2838 → 8−3+8−2 = 11 |
| 25 | дві останні цифри 00, 25, 50 або 75 | 1875 → 75 |
Ознаки подільності на 2, 5 та 10
Найпростіша група: дивимося тільки на останню цифру, решта не важливі.
- на 2 діляться всі парні числа — ті, що закінчуються на 0, 2, 4, 6 або 8;
- на 5 — числа, що закінчуються на 0 або 5;
- на 10 — числа, що закінчуються на 0.
Довжина числа ролі не грає: 987 654 320 ділиться і на 2, і на 5, і на 10, бо закінчується нулем. А 1435 ділиться на 5 (остання цифра 5), але не ділиться ні на 2, ні на 10 — число непарне.
Звідси корисний висновок: на 10 діляться рівно ті числа, які діляться і на 2, і на 5 одночасно.
Ознаки подільності на 3 та на 9: сума цифр
Тут остання цифра нічого не вирішує — працює сума всіх цифр числа:
- число ділиться на 3, якщо сума його цифр ділиться на 3;
- число ділиться на 9, якщо сума його цифр ділиться на 9.
Якщо сума вийшла великою, ознаку можна застосувати до неї ще раз: у числа 899 991 сума цифр 8 + 9 + 9 + 9 + 9 + 1 = 45, а у 45 сума 4 + 5 = 9 — отже, початкове число ділиться і на 9, і на 3.
Ознаки схожі, але не замінюють одна одну. Будь-яке число, яке ділиться на 9, ділиться і на 3 — адже сама дев'ятка ділиться на трійку. Зворотне ж невірно: сума цифр може ділитися на 3 і при цьому не ділитися на 9, і тоді число проходить тільки одну ознаку з двох. Обидва випадки розібрані нижче.
Ознаки подільності на 4, 8 та 25: дивимося на хвіст числа
Однієї останньої цифри тут замало — потрібен «хвіст» з кількох останніх цифр:
- на 4 ділиться число, у якого дві останні цифри утворюють число, що ділиться на 4;
- на 8 — якщо три останні цифри утворюють число, що ділиться на 8;
- на 25 — якщо дві останні цифри утворюють 00, 25, 50 або 75.
Чому вистачає хвоста: 100 ділиться і на 4, і на 25, а 1000 ділиться на 8. Тому все, що стоїть лівіше, вже саме ділиться на потрібне число і на відповідь не впливає.
Звідси важливий наслідок: парності для четвірки та вісімки недостатньо. Число може бути парним, але якщо його хвіст з двох або трьох цифр не ділиться націло, то не ділиться і все число. Розбір хвостів — у вставці нижче.
Ознака подільності на 6
Своєї окремої правила шістка не має: 6 = 2 · 3, і множники взаємно прості. Тому ознака складена — число ділиться на 6, якщо воно ділиться одночасно на 2 і на 3.
Перевіримо 5124: остання цифра 4 — число парне, отже ділиться на 2; сума цифр 5 + 1 + 2 + 4 = 12 ділиться на 3. Обидві умови виконані → 5124 : 6 = 854.
Однієї парності замало: 1000 — парне, але сума його цифр дорівнює 1 і на 3 не ділиться, тому на 6 число не ділиться. Не працює і зворотна половинка: у 4521 сума цифр 12 ділиться на 3, але саме число непарне — на 6 воно теж не ділиться.
Точно так само складаються інші складені ознаки: на 12 — ділиться на 3 і на 4, на 15 — на 3 і на 5, на 18 — на 2 і на 9, на 45 — на 5 і на 9.
Ознака подільності на 11
Ознака подільності на 11 використовує знакозмінну суму цифр. Цифри складають, починаючи з останньої, по черзі змінюючи знак: плюс, мінус, плюс, мінус. Якщо результат ділиться на 11 (зокрема, дорівнює нулю), то і все число ділиться на 11.
Ту ж ознаку часто формулюють інакше: різниця між сумою цифр, що стоять на непарних місцях, і сумою цифр на парних місцях повинна ділитися на 11. Це те саме правило.
Приклади на ознаки подільності
Приклад 1. На які числа ділиться 7254
Завдання. Визначити, на які з чисел 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10 ділиться 7254.
Крок 1. На 2. Остання цифра 4 — парна. Ділиться: 7254 : 2 = 3627.
Крок 2. На 5 та на 10. Число закінчується на 4, а не на 0 або 5. Не ділиться ні на 5, ні на 10.
Крок 3. На 3 та на 9. Сума цифр: 7 + 2 + 5 + 4 = 18. Вона ділиться і на 3, і на 9. Отже, 7254 : 3 = 2418 і 7254 : 9 = 806.
Крок 4. На 6. Число ділиться і на 2, і на 3 — отже, ділиться на 6: 7254 : 6 = 1209.
Крок 5. На 4. Дві останні цифри дають 54, а 54 на 4 не ділиться. Не ділиться.
Відповідь. 7254 ділиться на 2, 3, 6 і 9.
Приклад 2. Чи ділиться 4715 на 3 і на 9
Завдання. Перевірити подільність числа 4715 на 3 і на 9.
Крок 1. Складаємо цифри: 4 + 7 + 1 + 5 = 17.
Крок 2. На 3. 17 на 3 не ділиться (найближчі кратні — 15 і 18). Отже, і 4715 на 3 не ділиться.
Крок 3. На 9. 17 на 9 не ділиться тим паче. Отже, 4715 не ділиться і на 9.
Що число все ж таки вміє. Остання цифра 5 → число ділиться на 5: 4715 : 5 = 943. На 2 і на 10 не ділиться — воно непарне.
Відповідь. Ні на 3, ні на 9 число 4715 не ділиться.
Приклад 3. Подільність на 4 і на 8: число 6248
Завдання. Перевірити, чи ділиться 6248 на 4 і на 8.
Крок 1. На 4. Беремо дві останні цифри: 48. Число 48 ділиться на 4 (48 : 4 = 12), отже і 6248 ділиться: 6248 : 4 = 1562.
Крок 2. На 8. Беремо три останні цифри: 248. Ділимо: 248 : 8 = 31 — ділиться. Отже, 6248 : 8 = 781.
Обережно зі зворотним міркуванням. З подільності на 4 подільність на 8 не випливає: у числа 6244 хвіст 44 ділиться на 4 (6244 : 4 = 1561), а три останні цифри 244 на 8 не діляться — на 8 число не ділиться.
Відповідь. 6248 ділиться і на 4, і на 8.
Приклад 4. Ознака подільності на 11: число 2926
Завдання. Перевірити, чи ділиться 2926 на 11.
Крок 1. Записуємо цифри і розставляємо знаки з кінця: остання цифра зі знаком плюс, далі по черзі мінус і плюс.
Крок 2. Рахуємо знакозмінну суму: 6 − 2 + 9 − 2 = 11.
Крок 3. Результат 11 ділиться на 11 → ділиться і все число.
Перевірка діленням. 2926 : 11 = 266.
Відповідь. 2926 ділиться на 11.
Приклад 5. Скорочуємо дріб за ознаками подільності
Завдання. Скоротити дріб 270/378.
Крок 1. Рахуємо суми цифр: 2 + 7 + 0 = 9 і 3 + 7 + 8 = 18. Обидві діляться на 9 → і чисельник, і знаменник діляться на 9.
Крок 2. Скорочуємо на 9: 270 : 9 = 30, 378 : 9 = 42. Отримуємо 30/42.
Крок 3. Обидва числа парні → скорочуємо на 2: 30 : 2 = 15, 42 : 2 = 21. Отримуємо 15/21.
Крок 4. Суми цифр 6 і 3 діляться на 3 → скорочуємо на 3.
Відповідь. 270/378 = 5/7.
Часті помилки в ознаках подільності
-
Подільність на 6 перевіряють тільки за парністю: раз число парне — отже, ділиться на 6.
Потрібні обидві умови одночасно: і на 2, і на 3. Число 7124 парне, але сума його цифр 14 на 3 не ділиться, тому на 6 воно не ділиться. І навпаки: 3471 проходить ознаку трійки (сума 15, 3471 : 3 = 1157), але непарне — на 6 теж не ділиться.
-
Для подільності на 4 дивляться одну останню цифру: «8 ділиться на 4, отже і 9138 підійде».
Для четвірки беруть ДВІ останні цифри. У 9138 це 38, а 38 на 4 не ділиться. Правильний приклад: у 9136 хвіст 36, 36 : 4 = 9, отже 9136 : 4 = 2284. Для вісімки хвіст ще довший — три цифри.
-
Ознаку подільності на 9 перевіряють за останньою цифрою: шукають числа, що закінчуються на 9 або на 0.
Остання цифра для дев'ятки нічого не означає. Рахують суму всіх цифр: у 4563 це 18, сума ділиться на 9 — і число ділиться (4563 : 9 = 507), хоча закінчується на 3.
-
Рахують, що якщо число ділиться на 3, то ділиться і на 9.
Працює тільки в один бік: ділиться на 9 → ділиться і на 3. Зворотне невірно. У 8241 сума цифр 15: на 3 ділиться (8241 : 3 = 2747), а на 9 ні.
-
Для ознаки на 11 просто складають усі цифри, як для 3 і 9.
У одинадцяти сума знакозмінна: цифри складають з кінця, змінюючи знак через одну. Для 6479 це 9 − 7 + 4 − 6 = 0 → ділиться (6479 : 11 = 589). Звичайна сума цифр тут дорівнює 26 і ні про що не говорить.
-
Ознаку подільності плутають із самим діленням: на питання «чи ділиться 5391 на 9» відповідають «так, 18».
18 — це сума цифр, проміжний результат ознаки. Частку рахують окремо: 5391 : 9 = 599. Ознака відповідає тільки «ділиться / не ділиться».
Запитання та відповіді
Що таке ознака подільності простими словами?
Це правило, яке дозволяє дізнатися, чи поділиться число націло, без виконання самого ділення. Зазвичай достатньо подивитися на останні цифри числа або скласти всі його цифри.
Як дізнатися, чи ділиться число на 3?
Складіть усі цифри числа. Якщо отримана сума ділиться на 3, то і саме число ділиться на 3. Наприклад, у 2571 сума цифр 2 + 5 + 7 + 1 = 15, а 15 ділиться на 3 → 2571 : 3 = 857.
Чим ознака подільності на 3 відрізняється від ознаки на 9?
Правило однакове — рахуємо суму цифр, але перевіряємо її на різні числа: для трійки сума повинна ділитися на 3, для дев'ятки — на 9. Тому будь-яке число, що ділиться на 9, ділиться і на 3, а навпаки не завжди: у 9420 сума цифр 15 ділиться на 3 (9420 : 3 = 3140), але не на 9.
Що робити, якщо сума цифр вийшла великою?
Застосуйте ознаку ще раз — вже до суми. У числа 777 771 сума цифр 36, у 36 сума 3 + 6 = 9. Дев'ятка ділиться на 9, отже і початкове число ділиться на 9 (а заодно і на 3): 777 771 : 9 = 86 419.
Чи є ознака подільності на 7?
Простого правила на кшталт суми цифр у сімки немає, і до шкільної таблиці ознак її не включають. Є прийом: відкинути останню цифру, подвоїти її і відняти від числа, що залишилося. Наприклад, для 343: прибираємо 3, подвоюємо — 6, рахуємо 34 − 6 = 28. Число 28 ділиться на 7, отже і 343 ділиться: 343 : 7 = 49.
Які ознаки подільності на 12, 15 та 45?
Вони складені — число повинно пройти одразу дві ознаки: на 12 — ділитися на 3 і на 4, на 15 — на 3 і на 5, на 45 — на 5 і на 9. Важливо, щоб множники були взаємно простими: розклад 12 = 2 · 6 не годиться, адже 18 ділиться і на 2, і на 6, але на 12 не ділиться.
В якому класі вивчають ознаки подільності?
У 6 класі на уроках математики: спочатку ознаки на 10, 5 і 2, потім на 3 і на 9. Ознаки на 4, 8, 11 і 25 зазвичай розбирають додатково — вони знадобляться при скороченні дробів і на олімпіадах.
